・約数関数での繋がり                      GAI 氏

 12には{1,2,3,4,6,12}の約数があり、そのおのおのを3乗して加えると、

   1^3+2^3+3^3+4^3+6^3+12^3=2044

となる。一般に、nの約数をそれぞれ r 乗して合計することを、sigma(n,r) で表すことにすると
き、3、5、7、9、13乗での思ってもいない関係式が起こっていることに、アイゼンシュタイン級
数とそれに伴うモジュラ形式の関係式から、次のものが成立することを導くことができました。

 他の冪乗では、このような繋がりは存在できないのでしょうか?

 一見無関係に見えるこれらの中に、深いところでこんな水脈が流れていることに感動です。

sigma(n,7)=sigma(n,3)+120*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,3)

11*sigma(n,9)=21*sigma(n,5)-10*sigma(n,3)+5040*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,5)

sigma(n,13)=11*sigma(n,9)-10*sigma(n,3)+2640*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,9)

sigma(n,13)=21*sigma(n,5)-20*sigma(n,7)+10080*Σ[k=1,n-1]sigma(k,5)*sigma(n-k,7)


(コメント) n=4 とすると、sigma(n,7)=1^7+2^7+4^7=1+128+16384=16513
      sigma(n,3)=1^3+2^3+4^3=1+8+64=73
      Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,3)
     =sigma(1,3)*sigma(3,3)+sigma(2,3)*sigma(2,3)+sigma(3,3)*sigma(1,3)
     =1*28+9*9+28*1
     =137
  よって、 sigma(n,3)+120*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,3)=73+120*137=16513 より、
    sigma(n,7)=sigma(n,3)+120*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,3)


 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。(平成28年12月20日付け)

 J.-P.Serre 著「A Course in Arithmetic」において、

  sigma(n,7)=sigma(n,3)+120*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,3)
 11*sigma(n,9)=21*sigma(n,5)-10*sigma(n,3)+5040*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,5)

が載っています。しかし、

 sigma(n,13)=11*sigma(n,9)-10*sigma(n,3)+2640*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,9)
 sigma(n,13)=21*sigma(n,5)-20*sigma(n,7)+10080*Σ[k=1,n-1]sigma(k,5)*sigma(n-k,7)

はどのように発見されたのでしょうか?


 GAI さんからのコメントです。(平成28年12月21日付け)

 そのサイトに合わせて記述すれば、 E2*E5=E7 、E3*E4=E7 も成立するので、この関係
式からそれぞれ導けることになります。


 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。(平成28年12月25日付け)

 参考サイトでは、上記の関係式は、E4*E10=E14 、E6*E8=E14となります。以下のGAIさん
とのやりとりは、セールの定義ではなく、参考サイトの定義でEを用いております。


 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。(平成28年12月24日付け)

 EVAN WARNER 著 「EISENSTEIN SERIES Ek AS POLYNOMIALS IN E4 AND E6」に、
EISENSTEIN SERIES に関する公式がたくさん載っています。(最初の一ページ目でお腹一
杯です。)


 GAI さんからのコメントです。(平成28年12月24日付け)

 全てのE2nは、E4、E6で構成可能との記事は読んでいたんですが、ここにその結果がある
のですね。情報ありがとうございます。

 E8 = E4^2 から、

  sigma(n,7)=sigma(n,3)+120*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,3)

 E10 = E4*E6 から、

  11*sigma(n,9)=21*sigma(n,5)-10*sigma(n,3)+5040*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,5)

の関係式は導けるんですが、

 E12=441/691*E4^3+250/691*E6^2 、E14 = E4^2*E6

からの関係式を導こうとしていますが、どうも成功しません。

(E14=E6*E8なら、
 sigma(n,13)=21*sigma(n,5)-20*sigma(n,7)+10080*Σ[k=1,n-1]sigma(k,5)*sigma(n-k,9)
は導けます。)

 E12に対しては、

sigma(n,11)=63/13*sigma(n,3)-50/13*sigma(n,5)+15120/13*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,3)
       +12600/3*Σ[k=1,n-1]sigma(k,5)*sigma(n-k,5)+129600/13*f(n)

 ただし、 f(n)=Σ[i=1,n-2]Σ[j=1,n-(i+1)]sigma(i,3)*sigma(j,3)*sigma(n-(i+j),3)

となるはずと思っているのですが、結果が一致しません。

 Seiichi Manyamaさん、sigma(n,11)に関する等式を考えてくれませんか?


 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。(平成28年12月24日付け)

 考え中なのですが、以下の方針はどうでしょうか?

 E14 = E4^2*E6 = E8*E6 から等式を導いたように、

  E12 = 441/691*E4^3 + 250/691*E6^2 = 441/691*E4*E8 + 250/691*E6^2

から等式を導き出せないかと考えております。

 話は脱線するのですが、sigma(n,7)、11*sigma(n,9) の2式は、数論U(黒川信重・栗原将人
・斉藤毅)の第9章の演習問題として載っていますね。

 検証中ですが、

273*sigma(n,11)=441*(sigma(n,3)+2*sigma(n,7)+480*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,7))
                 +25*(-42*sigma(n,5)+10584*Σ[k=1,n-1]sigma(k,5)*sigma(n-k,5))

だと思います。検証が終わり次第また報告します。

 検証した結果、これで大丈夫です。ちなみに少しだけ等式を書きかえておきます。

273*sigma(n,11)=441*(sigma(n,3)+2*sigma(n,7)+480*Σ[k=1,n-1]sigma(k,3)*sigma(n-k,7))
                   +1050*(-sigma(n,5)+252*Σ[k=1,n-1]sigma(k,5)*sigma(n-k,5))


 GAI さんからのコメントです。(平成28年12月25日付け)

 なるほど!次数を2乗まで落とせば作れていくのか。

 E16=1617/3617*E4^4+2000/3617*E4*E6^2=1617/3617*E8^2+2000/3617*E6*E10

でもあるので、sigma(n,15)は、sigma(n,7)、sigma(n,5)、sigma(n,9)との間で関係式が作れる。

E18=38367/43867*E4^3*E6+5500/43867*E6^3
   =38367/43867*E8*E10+5500/43867*(691/250*E6*E12-441/250*E8*E10)
   =15202/43867*E6*E12+28665/43867*E8*E10

でもあるので、sigma(n,17)は、sigma(n,5)、sigma(n,11)、sigma(n,7)、sigma(n,9)と繋がる関係式
を導けることになり、例のうんざりする関係式からはあらゆる奇数冪での約数和の繋がり式
が出現できそうですね。

 ついでに、seiichiさんは数論の文献に造詣が深そうなので、例のRamanujanが見つけたと
いう
    L(q)=E2(q) 、M(q)=E4(q) 、N(q)=E6(q)

での微分を絡ませた関係式

 q*dL/dq=(L^2-M)/12 、q*dM/dq=(L*M-N)/3 、q*dN/dq=(L*N-M^2)/2

は、正に数値計算的にはピタリと等式は確認できるのですが、それをどこから導いているの
かの背景を御存知なら教えて下さい。

 また、これに類する他のEで構成することは可能なのでしょうか?

 E8、E10、E14(E12は分数が入り込むので避けた)で同様に微分形式を含んだ関係式が作
れないものかと、Ramanujanを見習って挑戦していたんですが、とてもとても見出せるわけに
はいきませんでした。(そもそも存在するのかさえ不明)

 そのあたりの情報がありましたらお願いします。


 Seiichi Manyamaさんからのコメントです。(平成28年12月25日付け)

 数学専攻出身ですが、数論には詳しくありません。数学の書籍は宝物のように集めてはい
るのですが…。調べ事は専ら、プログラミング同様検索に頼っています。上記の件は時間は
かかるかもしれないです。

 P、Q、Rについて、ラマヌジャン<<ゼータ関数論文集>> 黒川信重、小山信也著 の論文番
号18の表T、表U、表Vに、それぞれ16個、7個、10個の等式が載っています。また、上
記の微分の式は、論文番号18の7(P.96)に載っています。



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