・ 意外な実験                   S.H氏

   左図のように、それぞれミルクとあずき餡の入った容器
  がある。ミルクとあずき餡は同量とする。
   いま、ミルクの入った容器からスプーン一杯を取り出し、
  それをあずき餡の容器に入れて、よくかき混ぜる。
   その後、今度は、あずき餡の入った容器から、スプーン
  一杯を取り出し、ミルクの容器に入れる。

 このとき、ミルクの容器の中のあずき餡の量と、あずき餡の容器の中のミルクの量では、
どちらが多いだろうか?

 この問題を初めて見た人にとっては、きっと、「ミルクの方が多い?」、いや、「あずき餡の
方が多い?」と悩むことだろう。私自身もそうだった。実は、答えは「同じ!」なのである。

 次のように考えると、明らかである。

最初に、ミルクとあずき餡がそれぞれスプーン2杯分入っているものとする。このとき、

  初期状態 1回目の移動 2回目の移動
ミルクの容器 ミルク 2杯分 ミルク 1杯分 ミルク   4/3杯分
      +あずき餡 
2/3杯分
 あずき餡の容器  あずき餡 2杯分 あずき餡 2杯分
      +ミルク 1杯分
あずき餡 4/3杯分
      +ミルク   
2/3杯分

 以上の計算から、確かに両者の量は同じである。この関係は、両者を何倍しても変わら
ない。


(参考文献:E.P.ノースロップ 著 松井政太郎 訳 ふしぎな数学(みすず書房))


 上記では分数計算をして問題を解いたが、次のように図式化すると分かりやすい。

 この操作をもう1回やったらどうなるだろうか?興味があったので実験してみた。

ミルクの容器のあずき餡の量は、 0 → 1/3 → 4/9 → ・・・ と移り変わる。

だんだんと、1/2 に収束するような...予感。(当たり前か!)

 漸化式を使って、計算してみよう。

 上記の操作を、n 回行った後のミルクの容器のミルクとあずき餡の量をそれぞれ、a

 とおく。このとき、あずき餡の容器のミルクとあずき餡の量はそれぞれ、b 、a と

なる。 また、 a0 =1 、b0 =0 である。

 漸化式  an+1=(2/3){(1/2)b+a}=(2/3)a+(1/3)b

       bn+1=(2/3){(1/2)a+b}=(1/3)a+(2/3)b

が成り立つので、b を消去して、

       3an+2−4an+1+a=0  、 a0 =1 、a1 =2/3

これより、 an+2−(1/3)an+1=an+1−(1/3)a から、 an+1−(1/3)a=1/3

 an+2−an+1=(1/3){an+1−a} から、 an+1−a=(1/3)(−1/3)=−(1/3)n+1

よって、  a=(1/2){1+(1/3)} となり、同様にして、 b=(1/2){1−(1/3)

 このことから、 n → ∞ のとき、確かに、 a → 1/2 、 b → 1/2 である。


(参考文献: 吉永良正 著  数学のセンス  (ダイヤモンド社))

(追記) 平成20年9月18日付け

 冒頭の問題では、液体の量が明示されていないので、多少レベルが高いが、次のように
具体的に問題設定がなされていれば計算してみようという気にもなるだろう。

 焼酎0.5リットル入った容器Aとお湯1.5リットル入った容器Bがある。まず、Aか

ら0.1リットルをBに移し、よくかき混ぜて逆に今度はBから0.1リットルをAに戻す。

 このとき、Aにおけるお湯の割合とBにおける焼酎の割合はどちらの方が多いだろ

うか?

 この操作を繰り返すとき、Bにおける焼酎の濃度はだんだん高くなるが、何%に近

づくだろうか?


 答えは、もちろん同じ割合で、操作を続けると、25%に近づく。

(コメント) 後半の問いかけが、目新しいですね!



                                             投稿一覧に戻る