・難しいことは易しく                       S.H氏

 平成27年7月10日付けのS(H)さんの話題の中で、作家の井上ひさしさんの言葉

 難しいことを易しく、易しいことを深く、深いことを面白く、

   面白いことを真面目に、真面目なことを愉快に、

     そして、愉快なことはあくまで愉快に


名言ですね!数学に真摯に向き合うときの姿勢そのものですね。

 S(H)さんから、

問題 x を11で割ると余りは2で、x を13で割ると余りは3となる。 x は何?

を難しく論ずるにはどうするのでしょうかとの問いかけに、DD++さんが考察されました。
                                      (平成27年7月11日付け)

 2X+7 を 11 で割った余りは、0 、2X+7 を 13 で割った余りは、0

 しかも、これは奇数なので、 2X+7= (2n+1)×11×13=143n+68

# 計算は簡単でも、どこから 2x+7 が登場したか説明するのは大変難しい!(はず)


(コメント) 私も一応難しく解いてみました。

  x=11a+2=13b+3 より、 11a−13b=1

   ユークリッドの互除法により、 13=11・1+2 、11=2・5+1 なので、

   1=11−2・5=11−(13−11)・5=11・6−13・5

 よって、 11(a−6)−13(b−5)=0 すなわち、 11(a−6)=13(b−5)

 11と13は互いに素なので、 a−6は13の倍数 すなわち、 a=13k+6 (kは整数)

 よって、 x=11a+2=11(13k+6)+2=143k+68 (kは整数)


 上記の解答は、現在の高校の教科書「数学A」に普通に載っているものであるが、私自身、
高校時代に上記のように解いた記憶が全くない。多分、次のように解いていたと思う。

(別解) x=11a+2=13b+3 より、 11a−13b=1 すなわち、11a=13b+1

    よって、 a=b+(2b+1)/11 より、2b+1=11k ( k は整数) とおける。

   このとき、 a=b+k で、 2b=11k−1 より、 b=5k+(k−1)/2

   よって、 k−1=2t ( t は整数) とおけるので、 b=5(2t+1)+t=11t+5

   このとき、 x=13b+3=13(11t+5)+3=143t+68  (終)  (→ 参考


 ユークリッドの互除法という言葉を出さないまでも、ユークリッドの互除法的な解答の流れ
に沿っていたんだな〜ということが今更ながら実感できました!


 S(H)さんの示された解答も、11a−13b=1 を式変形し、 b=(11a−1)/13 から、
a=6 を見いだしていますが、係数がもっと大きくなると、探すのも大変になりますね!

 私の塾生の中にも、ユークリッドの互除法を使わずに、山勘で整数解を見つけることに長
けたものがいますが、そういう山勘も数学のセンスの一つといっていいんでしょうネ。


 S(H)さんからの更なる問題(百五減算という著名な問題とのことです):

   「あなたの年齢を 3 で割った余りを教えて下さい」と聞いて、例えば「 1 です」という
答えを得る。同様に、5 と 7 で割った余りも尋ねてそれぞれ 4、5 であると教えても
らったとする。あなたの年齢は幾つか?


 DD++さんの発想で、解いてみました。

 x=3a+1 、x=5b+4 、 x=7c+5

 このとき、 x−19=3(a−6) 、x−19=5(b−3) 、 x−19=7(c−2)

  x−19=3・5・7k=105k より、 x=105k+19

 したがって、 124歳ということは考えないものとして、年齢は、 19歳


                         投稿一覧に戻る