・整数問題                            あるふぁ氏

 自作の問題ですが、きれいな解き方を思いつかないので、ご教授ください。
                                     (平成26年10月19日付け)

 方程式 x2+3xy+y2=2141 の自然数解を求めよ。


 S(H)さんが考察されました。(平成26年10月19日付け)

 計算から、解は、(x,y)=(13,29)、(29,13)


 あるふぁさんからのコメントです。(平成26年10月19日付け)

 132 + 3・13・29 + 292 = 2141

 素数だけでできた“きれい”な式。簡潔であるも、すぐには解答は見いだせない。まるで「逃
げ水」のようです。


 DD++さんからのコメントです。(平成26年10月19日付け)

 綺麗な解き方となるとなかなか難しいですね。一次方程式なら整数解を全部求めてから正
数解だけ選び出す手段がよく取られますが、この場合は、まず整数解を全部となると余計や
やこしくなりますし...。

 綺麗かと言われると疑問符ですが、私は以下で解きました。

 対称式なので、x≦y の解だけ求めればよい。このとき、2141=x2+3xy+y2 ≧ 5x2 から、
x≦20 で、あとは、y の二次方程式と見たときの判別式 5x2+8564 が平方数になることが
y が整数となる必要十分条件なので、1≦x≦20 のとき、 922 < 5x2+8564 < 1032
 また、5x2+8564 ≡ 4 (mod5) なので、5x2+8564 = 932 、972 、982 、1022
個別に解くと、972 の時だけ自然数解 x=13 が見つかり、このとき、y = 29 となります。
よって x≦y である解は、 (x,y) = (13,29) のみ。
大小関係の制約を解けば、(x,y) = (13,29)、(29,13)


 らすかるさんからのコメントです。(平成26年10月19日付け)

 2141≡2 (mod 3) から、x も y も 3 の倍数ではない。x = y とすると、5x2=2141<5・212
なることから、x、y のうち少なくとも一つは20以下なので、y≦20 とする。
 与式を変形すると、 (2x+3y)2=5y2+8564 となるので、5y2+8564は平方数。
922<8564<932 なので、 2x+3y≧93
 また、y≦20 から、5y2+8564<1032 なので、2x+3y<103
5y2+8564≡4 (mod 5) から、 2x+3y≡2,3 (mod 5)
 また、2x+3y は 3 の倍数ではない。
これらをすべて満たす2x+3yは97と98の二つしかない。
 2x+3y=97 のとき、 5y2=972-8564 から、 y=13 となり適。よって、 (x,y)=(29,13)
 2x+3y=98 のとき、 5y2=982-8564 から、 y=4√13 となり不適。
よって、求める解は、(13,29)、(29,13)
(後からDD++さんの解答を見ましたが、ほとんど一緒でした!)


 空舟さんからのコメントです。(平成26年10月20日付け)

 4x2+12xy+9y2-5y2=2141・4 から、(2x+3y)2 - 5y2 = 2141・4 より、
{(2x+3y)/2}2 - 5・(y/2)2 = 2141

 ペル方程式の類似として、2次体に関連付けて考察してみました。

 まず x2≡5 (mod 2141) を満たすxを求めるような時に、次のようなアルゴリズムを知りまし
た。

  (k+)1070-1 = A+B  (A、B∈Z) とおいたときに、
   B≡0 (mod 2141) だったら、kを変えて繰り返す
   B≠0 (mod 2141) となるものを得たら、Bx≡A (mod 2141) となるxが求めるもの

 k=1からスタートして1つずつ増やしていくと、k=4 のときに、
  2A ≡ 2139、2B ≡ 1611、x ≡ 1325 を得ます

 これより、 x2-5 ≡ (x+1325)(x-1325) (mod 2141)

 (1325+) と 2141 の最大公約元を求めることで、(2141)を含むZ((1+)/2)の素イデア
ルを得ることができます。幸いなことに、Q()はユークリッド整域なので互除法が使えて、

A=1325+
B=2141
C=A-B=-816+
D=A+2C=-307+3
E=C-3D=105-8
F=D+3E=8-21 ・・・ Fのノルム = 82-5・212 が -2141 となっています。

 次に必要なのは、Q()の単数群が e=(1+)/2 のべき乗であることです

 F・ek = ±A±B によって、 A2-5・B2 = ±2141 の解がすべて得られて、右辺の符号は
kが奇数のとき、プラス 、kが偶数のときにマイナスです

 A=(2x+3y)/2、 B=y/2 の関係は、 y=2B、 x=A-3B なので、x、y>0 の解を得るには、
|A|>|3B| となることが条件となる。

・・・
F/e3 = 121-50
F/e = -113/2-(29/2)
Fe = -97/2-(13/2)
Fe3 = -89-34
Fe5 = -437-191
・・・

 Fe = -97/2-(13/2)による A=97/2、 B=13/2 が今回の解 x=29、y=13を与えます。
他のA,Bを使うことで正とは限らない整数解をすべて得られると思います。
※ 計算はだいたい computer-assisted です


 あるふぁさんからのコメントです。(平成26年10月19日付け)

 成程。DD++さんの解答は、自分で解いた時よりもとてもきれいで感動しました。(どんなこと
でも)“ムズカシイ”と思われたものには“ウツクシイ”解決が似合いますね。

 高校生の時に思いついた問題でしたが、らすかるさんの、ここまできれいに解き得ようとは
当時も今も思いもよりませんでした。

 皆様、本当にありがとうございました。名もない“普通の女の子に戻り”ます。またの機会が
あれば、ぜひともよろしくお願いいたします。


 S(H)さんからの問題提起です。(平成26年10月19日付け)

 あるふぁ 様の問題の類題(対称美から非対称へ)

 方程式 5x2+2xy+17y2=2141 の自然数解を求めよ。


 DD++さんが考察されました。(平成26年10月20日付け)

 非対称でも楕円型なので楽ですね。x についての二次方程式と見たときの
判別式/4 = y2-5(17y2-2141) = 10705 - 84y2 が平方数になることが必要条件

 まず、 84y2 ≦ 10705 より、 y≦11
11 通りを順に試して、 y=8 のときだけ 10705 - 84・82 = 732
このとき、 x = (-8+73)/5 = 13 と自然数になる。 よって、 (x,y) = (13,8)
(元の問題同様正の解だけを要求と判断しました)


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