・ 世界の九九                     S.H氏

 小学校2年で九九を習って、数学への長く遠い茨の道が始まる。ある者は、できるまで
居残り指導なんていうのも昔はあった。最近新聞紙上では、日本の児童・生徒の学力低
下が叫ばれている。何をもって学力とするかは、判断の分かれるところだが、少なくとも、
計算力に限定すれば、確実に、その力は落ちている。繰り返しの計算練習、居残り指導
などが軽視され、児童・生徒は、その学年で学ぶことを完全に修得しないまま、上級学年
に進級している。その積もり積もったツケのために、結局は、本人が苦しむわけであるが、
気づくのが遅かったために、進路変更せざるをえない場合もある。
 誰が何と言おうと、計算の基本は、九九だろう。その九九が危機に瀕している。九九を
常習的に間違える高校生が少なからずいるのだ。
 日本では、「に〜いちがに、ににんがし、にさんがろく、にしがはち、・・・」と、口と耳を使
って、割と語呂よく覚えられるようになっている。多少いいにくい段もあるが、前後を変え
れば、何とか間違えずに全段いえる筈だ。九九の完全習得が、小学校卒業の最大の条
件だろうと、私は思う。 ところで、アメリカなどでは、日本のような覚え方はないそうだ。

 
10 12 14 16 18
12 15 18 21 24 27
12 16 20 24 28 32 36
10 15 20 25 30 35 40 45
12 18 24 30 36 42 48 54
14 21 28 35 42 49 56 63
16 24 32 40 48 56 64 72
18 27 36 45 54 63 72 81

  小学校2年相当で、Times Table なる
 ものを使って、九九を覚えると、知り合いの
 アメリカ人の方から伺った。(左図参照)
  1個1個について、例えば
       2×3=6
 は、「Two times three is six.」という
 が、これでは、九九全部を覚えるのは容易
 でない、と感じるのは、私だけだろうか?


 世界には、もっとすごい国がある。インドでは、22×20までの、いわゆる「九九」の表が
ある。

× 1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
21 21
22 22
× 2
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
7 14
8 16
9 18
10 20
11 22
12 24
13 26
14 28
15 30
16 32
17 34
18 36
19 38
20 40
21 42
22 44
× 3
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21
8 24
9 27
10 30
11 33
12 36
13 39
14 42
15 45
16 48
17 51
18 54
19 57
20 60
21 63
22 66
× 4
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20
6 24
7 28
8 32
9 36
10 40
11 44
12 48
13 52
14 56
15 60
16 64
17 68
18 72
19 76
20 80
21 84
22 88
× 5
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
6 30
7 35
8 40
9 45
10 50
11 55
12 60
13 65
14 70
15 75
16 80
17 85
18 90
19 95
20 100
21 105
22 110
× 6
1 6
2 12
3 18
4 24
5 30
6 36
7 42
8 48
9 54
10 60
11 66
12 72
13 78
14 84
15 90
16 96
17 102
18 108
19 114
20 120
21 126
22 132
× 7
1 7
2 14
3 21
4 28
5 35
6 42
7 49
8 56
9 63
10 70
11 77
12 84
13 91
14 98
15 105
16 112
17 119
18 126
19 133
20 140
21 147
22 154
× 8
1 8
2 16
3 24
4 32
5 40
6 48
7 56
8 64
9 72
10 80
11 88
12 96
13 104
14 112
15 120
16 128
17 136
18 144
19 152
20 160
21 168
22 176
× 9
1 9
2 18
3 27
4 36
5 45
6 65
7 63
8 72
9 81
10 90
11 99
12 108
13 117
14 126
15 135
16 144
17 153
18 162
19 171
20 180
21 189
22 198
× 10
1 10
2 20
3 30
4 40
5 50
6 60
7 70
8 80
9 90
10 100
11 110
12 120
13 130
14 140
15 150
16 160
17 170
18 180
19 190
20 200
21 210
22 220
× 11
1 11
2 22
3 33
4 44
5 55
6 66
7 77
8 88
9 99
10 110
11 121
12 132
13 143
14 154
15 165
16 176
17 187
18 198
19 209
20 220
21 231
22 242
× 12
1 12
2 24
3 36
4 48
5 60
6 72
7 84
8 96
9 108
10 120
11 132
12 144
13 156
14 168
15 180
16 192
17 204
18 216
19 228
20 240
21 252
22 264
× 13
1 13
2 26
3 39
4 52
5 65
6 78
7 91
8 104
9 117
10 130
11 143
12 156
13 169
14 182
15 195
16 208
17 221
18 234
19 247
20 260
21 273
22 286
× 14
1 14
2 28
3 42
4 56
5 70
6 84
7 98
8 112
9 126
10 140
11 154
12 168
13 182
14 196
15 210
16 224
17 238
18 252
19 266
20 280
21 294
22 308
× 15
1 15
2 30
3 45
4 60
5 75
6 90
7 105
8 120
9 135
10 150
11 165
12 180
13 195
14 210
15 225
16 240
17 255
18 270
19 285
20 300
21 315
22 330
× 16
1 16
2 32
3 48
4 64
5 80
6 96
7 112
8 128
9 144
10 160
11 176
12 192
13 208
14 224
15 240
16 256
17 272
18 288
19 304
20 320
21 336
22 352
× 17
1 17
2 34
3 51
4 68
5 85
6 102
7 119
8 136
9 153
10 170
11 187
12 204
13 221
14 238
15 255
16 272
17 289
18 306
19 323
20 340
21 357
22 374
× 18
1 18
2 36
3 54
4 72
5 90
6 108
7 126
8 144
9 162
10 180
11 198
12 216
13 234
14 252
15 270
16 288
17 306
18 324
19 342
20 360
21 378
22 396
× 19
1 19
2 38
3 57
4 76
5 95
6 114
7 133
8 152
9 171
10 190
11 209
12 228
13 247
14 266
15 285
16 304
17 323
18 342
19 361
20 380
21 399
22 418
× 20
1 20
2 40
3 60
4 80
5 100
6 120
7 140
8 160
9 180
10 200
11 220
12 240
13 260
14 280
15 300
16 320
17 340
18 360
19 380
20 400
21 420
22 440

 インドの人は、この440個の値を、本当に丸暗記するのだろうか?ここら辺の事情に詳しい
方、是非お教えください。(メールは、こちら

 最近、次のような速算術があることを知った。

 例えば、18×19=(18+9)×10+8×9=270+72=342

普通に計算して、18×19=18×9+18×10=162+180=342 とする場合に比べて、
3桁同士の足し算が、3桁と2桁の足し算に改良されているところが、若干「速い」ところなの
だろう。ただし、この速算術は、10a+b のタイプにしか応用できないことに注意する。

 数学の学習では、平方数の計算が頻出である。(平方根の計算、三平方の定理、余弦定
理、・・・) インドのように、22×20までの「九九」を覚えることは必要ないと思うが、11から
19までの平方数については、私自身の経験から言えば、多分知らないよりは知っている方
が得する場合が多いだろう。(速算術を用いると、容易に覚えられると思う。)
   11×11=121 ・・・・・ (11+1)×10+1×1=120+1=121
   12×12=144 ・・・・・ (12+2)×10+2×2=140+4=144
   13×13=169 ・・・・・ (13+3)×10+3×3=160+9=169
   14×14=196 ・・・・・ (14+4)×10+4×4=180+16=196
   15×15=225 ・・・・・ (15+5)×10+5×5=200+25=225
   16×16=256 ・・・・・ (16+6)×10+6×6=220+36=256
   17×17=289 ・・・・・ (17+7)×10+7×7=240+49=289
   18×18=324 ・・・・・ (18+8)×10+8×8=260+64=324
   19×19=361 ・・・・・ (19+9)×10+9×9=280+81=361

(参考文献:樺 旦純 著 数学がらくにわかる本(三笠書房))

        (追記) 平成19年5月6日付け
           5月5日、何とはなしにTVを見ていたら、インドの九九の話題が取り上
          げられていた。例えば、14×19 の計算を上述の速算術を用いて、
              (14+9)×10+4×9=230+36=266
          と説明されていた。(ただ、原理の説明に四苦八苦していたような...。)
         (参考:日本テレビ系 ウェークアップぷらす 5日(土) 8時〜9時25分)

        (追々記) 平成19年9月28日付け
           私の大好きな番組「ためしてガッテン」(NHK)の9月26日放送で、速算
          術の話題が取り上げられた。
           その中で、上記では述べていない次のような計算に心が引かれた。
            26×24=624  ((2+1)×2=6、後は6×4=24)
            63×67=4221  ((6+1)×6=42、後は3×7=21)
               ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
           十の位が同じで、一の位の和が10である2桁同士のかけ算に有効な方
          法である。
           その原理は、
          (10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc=100a(a+1)+c2
           である。 ( ← これは、よく知られた速算術ですね!)
            76×36=2736  (7×3=21に6を足して27、後は6×6=36)
            42×62=2604  (4×6=24に2を足して26、後は2×2=04)
               ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
           一の位が同じで、十の位の和が10である2桁同士のかけ算に有効な方
          法である。
           その原理は、
          (10a+c)(10b+c)=100ab+10(a+b)c+c2=100(ab+c)+c2
           である。 ( ← これは、初見でした!)
           また、格子掛け算の話題も取り上げられていた。
                    (番組では、三角マス目計算法として紹介されていた。)
            出演されていたインド人のニャンタさんが
               このような計算法は学校では教えない、国家機密である
            と仰っていた。
             番組を見ていて、インドの方々の抜群の計算力に圧倒されました!

(追記) ドイツ語では、次のような数詞が使われている。

数 詞 読み方 数 詞 読み方 数 詞 読み方
null ヌル 10 zehn ツェーン 20 zwanzig ツヴァンツィッヒ
eins アインス 11 elf エルフ 30 dreiβig ドライスィッヒ
zwei ツヴァイ 12 ツヴェルフ 40 vierzig フィアツィッヒ
drei ドライ 13 dreizehn ドライツェーン 50 フュンフツィッヒ
vier フィア 14 vierzehn フィアツェーン 60 sechzig ゼヒツィッヒ
フュンフ 15 フュンフツェーン 70 siebzig ズィープツィッヒ
sechs ゼクス 16 sechzehn ゼヒツェーン 80 achtzig アハツィッヒ
sieben ズィーベン 17 siebzehn ズィープツェーン 90 neunzig ノインツィッヒ
acht アハト 18 achtzehn アハツェーン 100 hundert フンダート
neun ノイン 19 neunzehn ノインツェーン

 ドイツ語の数詞は英語と同様な構造になっている。ただ、例えば、「21」という数は、英語では、
                   twenty-one
と上位の位から読んで簡明なのに対して、ドイツ語では、「1+20」、つまり、
                  einundzwanzig
と表現され、多少分かりにくい印象を受ける。100、200、300、・・・ などは、日本語に近い。
たとえば、             300 = dreihundert
 しかし、一般にドイツ語で数字を読む場合、私など、ほぼ「目がテン!」になってしまう。
              468 = vierhundertachtundsechzig
                     (フィアフンダートアハトウントゼヒツィッヒ)
              (ここは、やっぱり、「よんひゃく ろくじゅう はち」と読みたいですね!)
 さらに、日本では、桁数の多い数に対しては、3桁おきに、「カンマ」を打って、読みやすくする
のに対して、ドイツでは、「カンマ」は小数点を意味することから、日本のようなことはせず、わ
ずかに数字と数字の隙間を僅かに離して、読みにくい点を克服しているようである。
        4 382 = viertausenddreihundertzweiundachtzig
また、ドイツ語には、「万」という単位がないので、
                 10 000 = zehntausend
と表現しなければならないという難点もある。

 このように、ドイツ語の数字の読みにくさから、日本の「九九」のような覚え方があるとは期
待できない。しかも、ドイツ語では、乗算の「×」、除算の「÷」の記号は用いないらしい。

2・4=8 は、 Zweimal vier ist acht.(2 倍の 4 は 8 である)

18:3=6 は、
  Achtzehn durch drei ist sechs.(3 によって分たれた 18 は 6 である)


 フランス語は、ドイツ語以上にすごいようだ。たとえば、「81」などは、「20 × 4 + 1」
と読むので、フランス語にも、日本の「九九」のような覚え方など、到底期待できない。

 以上の観点からみると、日本語においては、十、百、千、万、・・・などの位を用いて、数字の
読み方を易しくしているところが、ほかの言語と違う点である。奈良時代から使われ始めたと
される日本の「九九」は、その後も不動の地位を占め、小学校教育の根幹として、現在に至っ
ている。日本の小学生の計算力が優れているのは、まさしく「九九」の覚えやすさにあると思う。

 このページは、全く私の独断と偏見で書かれているので、ドイツ語・フランス語に詳しい方で
「これは、違うぞ!」という点がありましたら、こちらにメールをお願いします。

(参考文献:藤原正彦 著 父の威厳 数学者の意地(新潮文庫)
       藤田五郎 著 現代ドイツ文典(郁文堂)
       田島 宏 著 初歩のフランス語(昇龍堂))

(追記) 当HPの読者の方から、数字の区切りについて、ご意見を頂いた。貴重なご意見に
     感謝いたします。                           (平成17年4月23日)

   上記で、「日本では、桁数の多い数に対しては、3桁おきに、「カンマ」を打って、読みや
  すくする」と書いたが、この流儀は、もともとは英語圏の発想とのことである。たしかに、英
  語圏では thousand、million、billion、trillion(米)というように3桁ずつ数詞が変わるので、
  25786542358456 を、25trillion786billion542million358thousand456 と読むと
  ころを、25,786,542,358,456 と表記するのはとても合理的に感じる。
   日本ではむしろ4桁おきに、「カンマ」を打った方が読みやすいかもしれない。
  25786542358456 を、25兆7865億4235万8456 と読まなければならないが、
  25,7865,4235,8456 と区切られていると、右側から、万、億、兆で読みやすい。
   私が小学生の頃は、このように4桁ずつ区切るように教わった覚えがあるのだが、いつ
  しか3桁ずつ区切ることに慣らされてしまった。



(追々記) 平成20年6月8日付け
  朝日新聞 7日付け夕刊で、「九九の秘密を探れ」という記事が目に止まった。
 杉並区立高井戸第三小学校の吉田映子さんの授業実践報告である。
  下図のような「九九ジオボード」を用意して、「0」から順次、九九の掛け算で答えの一の
 位の数字に紐をかけていく。
                   

  そうすると、同じような文様になるものが出来るという。面白そうなので、実際にやって
 みた。
         

         

         
 上図から、
      1の段と9の段  2の段と8の段  3の段と7の段  4の段と6の段
が同じ文様になる。
 今までこのようなことをしたことがなかったので、とても新鮮だ!
 上記の性質を一般化すれば、
   一桁の自然数 n に対して、 n の段と 10−n の段 は同じ文様になる
(証明) 自然数 k (1≦k≦9)に対して、
        n・k+(10−n)・k=10k≡0 (mod 10)
    よって、 n の段の一位の数と 10−n の段の一位の数は足すと必ず 10 になる。
     したがって、n の段の一位の数と 10−n の段の一位の数それぞれの取り得る値
    は一致する。 (証終)

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