・マチンの公式を真似して                  GAI 氏

 π/4=1−1/3+1/5−1/7+・・・=arctan(1) は見た目は美しいが、収束が遅いこと
が知られている。ジョン・マチンは、マチンの公式(1706年)

 π/4=4arctan(1/5)−arctan(1/239) (収束が速い!)

を用いて、円周率を100桁まで計算することに成功した。

 arctan(x)を用いた公式は、1970年代まで円周率の計算に貢献した。

 そこで、マチンの公式を意識して、

 arctan(1/1)=arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4 ・・・・・ (*)  (オイラー 1748年)

 arctan(1/1)=arctan(1/3)+arctan(1/2)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/4)+arctan(3/5)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/5)+arctan(2/3)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/6)+arctan(5/7)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/7)+arctan(3/4)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/8)+arctan(7/9)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/9)+arctan(4/5)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/10)+arctan(9/11)=π/4

 arctan(1/1)=arctan(1/11)+arctan(5/6)=π/4

 arctan(1/2)=arctan(1/3)+arctan(1/7) ・・・・・・・・・・ (**)

以下、

arctan(1/2)=arctan(1/4)+arctan(2/9) 、arctan(1/2)=arctan(1/5)+arctan(3/11)
arctan(1/2)=arctan(1/6)+arctan(4/13) 、arctan(1/2)=arctan(1/7)+arctan(1/3)
arctan(1/2)=arctan(1/8)+arctan(6/17) 、arctan(1/2)=arctan(1/9)+arctan(7/19)
arctan(1/2)=arctan(1/10)+arctan(8/21) 、arctan(1/2)=arctan(1/11)+arctan(9/23)
arctan(1/2)=arctan(1/12)+arctan(2/5) 、arctan(1/3)=arctan(1/4)+arctan(1/13)
arctan(1/3)=arctan(1/5)+arctan(1/8) 、arctan(1/3)=arctan(1/6)+arctan(3/19)
arctan(1/3)=arctan(1/7)+arctan(2/11) 、arctan(1/3)=arctan(1/8)+arctan(1/5)
arctan(1/3)=arctan(1/9)+arctan(3/14) 、arctan(1/3)=arctan(1/10)+arctan(7/31)
arctan(1/3)=arctan(1/11)+arctan(4/17) 、arctan(1/3)=arctan(1/12)+arctan(9/37)
arctan(1/3)=arctan(1/13)+arctan(1/4) 、arctan(1/4)=arctan(1/5)+arctan(1/21)
arctan(1/4)=arctan(1/6)+arctan(2/25) 、arctan(1/4)=arctan(1/7)+arctan(3/29)
arctan(1/4)=arctan(1/8)+arctan(4/33) 、arctan(1/4)=arctan(1/9)+arctan(5/37)
arctan(1/4)=arctan(1/10)+arctan(6/41) 、arctan(1/4)=arctan(1/11)+arctan(7/45)
arctan(1/4)=arctan(1/12)+arctan(8/49) 、arctan(1/4)=arctan(1/13)+arctan(9/53)
arctan(1/4)=arctan(1/14)+arctan(10/57) 、arctan(1/5)=arctan(1/6)+arctan(1/31)
arctan(1/5)=arctan(1/7)+arctan(1/18) 、arctan(1/5)=arctan(1/8)+arctan(3/41)
arctan(1/5)=arctan(1/9)+arctan(2/23) 、arctan(1/5)=arctan(1/10)+arctan(5/51)
arctan(1/5)=arctan(1/11)+arctan(3/28) 、arctan(1/5)=arctan(1/12)+arctan(7/61)
arctan(1/5)=arctan(1/13)+arctan(4/33) 、arctan(1/5)=arctan(1/14)+arctan(9/71)
arctan(1/5)=arctan(1/15)+arctan(5/38) 、arctan(1/6)=arctan(1/7)+arctan(1/43)
arctan(1/6)=arctan(1/8)+arctan(2/49) 、arctan(1/6)=arctan(1/9)+arctan(3/55)
arctan(1/6)=arctan(1/10)+arctan(4/61) 、arctan(1/6)=arctan(1/11)+arctan(5/67)
arctan(1/6)=arctan(1/12)+arctan(6/73) 、arctan(1/6)=arctan(1/13)+arctan(7/79)
arctan(1/6)=arctan(1/14)+arctan(8/85) 、arctan(1/6)=arctan(1/15)+arctan(9/91)
arctan(1/6)=arctan(1/16)+arctan(10/97) 、arctan(1/7)=arctan(1/8)+arctan(1/57)
arctan(1/7)=arctan(1/9)+arctan(1/32) 、arctan(1/7)=arctan(1/10)+arctan(3/71)
arctan(1/7)=arctan(1/11)+arctan(2/39) 、arctan(1/7)=arctan(1/12)+arctan(1/17)
arctan(1/7)=arctan(1/13)+arctan(3/46) 、arctan(1/7)=arctan(1/14)+arctan(7/99)
arctan(1/7)=arctan(1/15)+arctan(4/53) 、arctan(1/7)=arctan(1/16)+arctan(9/113)
arctan(1/7)=arctan(1/17)+arctan(1/12) 、arctan(1/8)=arctan(1/9)+arctan(1/73)
arctan(1/8)=arctan(1/10)+arctan(2/81) 、arctan(1/8)=arctan(1/11)+arctan(3/89)
arctan(1/8)=arctan(1/12)+arctan(4/97) 、arctan(1/8)=arctan(1/13)+arctan(1/21)
arctan(1/8)=arctan(1/14)+arctan(6/113) 、arctan(1/8)=arctan(1/15)+arctan(7/121)
arctan(1/8)=arctan(1/16)+arctan(8/129) 、arctan(1/8)=arctan(1/17)+arctan(9/137)
arctan(1/8)=arctan(1/18)+arctan(2/29) 、arctan(1/9)=arctan(1/10)+arctan(1/91)
arctan(1/9)=arctan(1/11)+arctan(1/50) 、arctan(1/9)=arctan(1/12)+arctan(3/109)
arctan(1/9)=arctan(1/13)+arctan(2/59) 、arctan(1/9)=arctan(1/14)+arctan(5/127)
arctan(1/9)=arctan(1/15)+arctan(3/68) 、arctan(1/9)=arctan(1/16)+arctan(7/145)
arctan(1/9)=arctan(1/17)+arctan(4/77) 、arctan(1/9)=arctan(1/18)+arctan(9/163)
arctan(1/9)=arctan(1/19)+arctan(5/86) 、arctan(1/10)=arctan(1/11)+arctan(1/111)
arctan(1/10)=arctan(1/12)+arctan(2/121) 、arctan(1/10)=arctan(1/13)+arctan(3/131)
arctan(1/10)=arctan(1/14)+arctan(4/141) 、arctan(1/10)=arctan(1/15)+arctan(5/151)
arctan(1/10)=arctan(1/16)+arctan(6/161) 、arctan(1/10)=arctan(1/17)+arctan(7/171)
arctan(1/10)=arctan(1/18)+arctan(8/181) 、arctan(1/10)=arctan(1/19)+arctan(9/191)
arctan(1/10)=arctan(1/20)+arctan(10/201) 、・・・・・・・・・・・・・・・

 これらを組み合わせることで円周率πをいろいろな式で表すことができる。

 例えば、(**)を(*)へ代入すると、π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7) から

   π=8arctan(1/3)+4arctan(1/7)

など...。


 らすかるさんからのコメントです。(平成26年1月31日付け)

 arctan(x)の x が小さいほど高速に収束しますので、

π/4=183arctan(1/239)+32arctan(1/1023)-68arctan(1/5832)
             +12arctan(1/110443)-12arctan(1/4841182)-100arctan(1/6826318)

のように x が小さい公式が作れれば、有名になれるかも知れませんよ。


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