・ 無理数乗の不思議                  S.H氏

 いま大学入試センター試験といわれるものが、共通一次試験といわれていた昭和59年1月の
本試験で、世の数学教育関係者(予備校も含む)を騒然とさせた問題が出題された。高校数学
の範囲を超えた問題であるとか、数の本質をつく良問であり高校生でも十分対処できるとか、い
ろいろ意見が出された。この種の問題がその後出題されていないことを考えると、相当出題者と
しても冒険だったのだろう。私個人としては、魅力的で好きな問題であったが・・・!?

 次の2つの数の大小を比較せよ。  (4)    (共通一次 昭和59年)

 は直ぐ分かるのだが、問題は  すなわち、  の方である。

分数指数は、累乗根という明確な意味付けがあるが、無理数乗は、高校数学では、グラフで誤
魔化し、あまり、はっきりした意味付けを与えていない。
 実際に、 の値を求めれば、簡単な対数計算と対数表から、おおよそ2.6651・・・位で
ある。もっとも、共通一次試験で要求されたことは、詳しい値を求めることにあるのではなくて、
単なる大小比較なので、次のように解かれるのが普通である。

 1<<1.5 より、2<<3  よって、

 無理数乗は、無理数に収束する数列を考え、そのべき乗の極限値として定義されるので、あ
まりしっくりこないが、値は厳然と存在する。次の無理数乗は特に面白い。

                    

漸化式  で定まる数列 を考える。左辺は、この数列の極限である。

           
           

であることから、数学的帰納法により、数列 は上に有界で、単調に増加する数列である。
したがって、収束するので、その極限値を α とおく。 α は、次の方程式を満たす。

                    

この方程式の解は、2 または 4 であるが、上の議論から、極限値 α の値は、2 であること
が分かる。


(参考文献:一松 信 著  の数学(海鳴社))


(追記) HN「GAI」さんから、無理数乗に関連する話題を頂きました。
                                       (平成25年1月2日付け)

 無理数の無理数乗は必ずしも無理数ではありません。例を上げて下さい。


 らすかるさんが考察されました。(平成25年1月2日付け)

 eとlog2は無理数ですが、elog2(=2)は有理数です。


 当HP読者のHN「V」さんが考察されました。(平成25年1月2日付け)

  {()}(=2) がその例になっていると思いますが、「() が無理数」の証明は、
結構難しいようですね。(初等的な証明をご存知なら教えてください)


(追記) 上記と同じ内容を、GAIさんよりご投稿いただいた。(平成29年6月19日付け)

 一般に、(無理数)^(無理数)が有理数の結果になる例をなるだけいろいろなパターン考え
てほしい。


 らすかるさんが考察されました。(平成29年6月19日付け)

 aを1でない正の有理数、bを有理数でない代数的数 とすると、a^(1/b) は無理数であり、
{a^(1/b)}^b=a で、 (無理数)^(無理数)=(有理数) の例になっている。


 DD++さんが考察されました。(平成29年6月19日付け)

 a を無理数、b を有理数として、a^(log[a]b) のほとんどのもの、とか...。



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