・ 式の値                        S.H氏

 私が高校に入学して最初に洗礼を受けた問題が次の問題である。

 y+1/z=z+1/x=1 のとき、 xyz+1 の値を求めよ。

 この問題は、入学した高校が取り組んでいた数学添削指導(年間の会費が500円!)の
第1回目のものである。高校数学に不慣れなのに、「これって、何?」という思いで取り組ん
だような...気がする?

 高校1年のときの私は、次のように解いたようだ。

 y=1−1/z に、z=1−1/x=(x−1)/x を代入して、y=1−x/(x−1)=−1/(x−1)

よって、 xyz+1=x・{−1/(x−1)}・(x−1)/x+1=0

 この解答について、添削のお言葉が「x、y を z で表した方が簡単」というものだった。

 (模範解答) 1/x=1−z より、 x=1/(1−z) 、 y=1−1/z=(z−1)/z

         よって、 xyz+1={1/(1−z)}・{(z−1)/z}・z+1=0

 今振り返ると、両者の解にそれほどの違いはないと思うのだが...?

 上記の計算で、「1/x=1−z より、 x=1/(1−z)」という式変形が出来ない高校生が
増えつつあることは危惧すべきことなのでしょう!

 この話題に関連して、S(H)さんが、「解けても気色悪い」「初体験にも拘わらず感激しな
い」ということで、次の問題をあげられた。(平成21年4月26日付け)

 正の数 x 、y 、z に対して、

 x+1/y=4 、y+1/z=1 、z+1/x=7/3 のとき、 xyz の値を求めよ。

 確かに冒頭の問題は与えられた式をいじくっているうちに何となく「出来ちゃった...!」
という感は否めないが、S(H)さんの問題は、ちょっとそれとは異質な雰囲気の予感。

(解) 1/y=4−x より、 y=1/(4−x) 、 

    1/z=1−y=(3−x)/(4−x) より、 z=(4−x)/(3−x)

   よって、 (4−x)/(3−x)+1/x=7/3 より、 4x2−12x+9=0

    すなわち、 (2x−3)2=0 より、 x=3/2

   したがって、 y=2/5 、z=5/3 より、 xyz=(3/2)(2/5)(5/3)=1  (終)

(コメント) 単なる方程式の問題と思いきや、最後の綺麗な約分を見ると、何か深遠な理
      論が潜んでいそうな...雰囲気ですね!

 S(H)さんによれば、次のような問題に拡張できるとのこと。

 正の数 x 、y 、z に対して、

 x+1/y=K 、y+1/z=L 、z+1/x=M のとき、 xyz が整数となるように、定

数 K、L、M の値を定めよ。

 上記の計算を活用して、 y=1/(K−x) 、

  1/z=L−y=(KL−1−Lx)/(K−x) より、 z=(K−x)/(KL−1−Lx)

 よって、 (K−x)/(KL−1−Lx)+1/x=M より、

     (LM−1)x2−(KLM−K+L−M)x+KL−1=0

という2次方程式が出来る。この解の1つを α とすると、

  xyz=α・{1/(K−α)}・(K−α)/(KL−1−Lα)=α/(KL−1−Lα)

が整数となるように、定数 K、L、M の値を定めればよい。


  以下、工事中



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