・ 赤いぼうし                      S.H氏

 このページは、平成21年1月1日に書いている。今年も多くの塾生達からメールで「謹賀
新年!」のご挨拶を頂いた。ある女子高生からは、「今度また絡みに行くね...!」などと
怖い一言も。また、歌手の岩崎宏美さんを始め多くの方から年賀状を頂いた。

 その中で毎年楽しみにしているのが北大の中村先生からの年賀状だ。定例的な挨拶は
簡単に済ませられて、いろいろな文献の紹介の方が中心なのだが、コンパクトに要点がま
とめられていて浅学な我が身は、いつもはっとさせられる。

 今年は「赤いぼうし」の話題であった。1984年に、「文 : 野崎昭弘 絵 : 安野光雅」で
童話屋から刊行された、「美しい数学」シリーズの中の絵本で、低学年向けとあるが、内
容は、大人でも読み解くことが楽しくなるような、「十分数学的」な書籍である。

 北大の近くの高校で昨年行った出前講義での話題とのことである。

 赤い帽子を3つ、白い帽子を2つ持った帽子屋さんが、太郎さん、花子さんともう一
人(例えば、これを読者のあなたとしよう!)の3人の前に現れた。

 3人が目をつぶっている間に帽子屋さんが3人に無作為に帽子を被せた。

 どの人も自分の帽子は見えないが、他の2人の帽子は見ることができる。

 帽子屋さんが、「太郎さん→花子さん→あなた」の順番で質問をする。

帽子屋さん:「太郎さん、あなたの帽子は何色ですか?」

 太 郎さん:「う〜む。分かりません!」

帽子屋さん:「花子さん、あなたの帽子は何色ですか?」

 花 子さん:「全然、分かりません!」

帽子屋さん:「それでは、あなたの帽子は何色ですか?」

 帽子屋さんの質問に対して、太郎さん、花子さんの答え方から、あなたは、自分の
帽子が何色か必ず分かる(筈)!

 さて、あなたの帽子の色は何色?


 かなり有名な問題で、以前、TVのクイズ番組でみたような...予感。

 答えは「赤い帽子」であるが、次のように論理的に考えると答えが導かれる。

 まず、起こりうる全ての場合は、下記の(1)〜(7)の7通りしかない。太郎さん、花子さん
の答え方から、「あなたの帽子の色」の起こりうる場合が絞られてくる。

  太郎さん   花子さん   あなた     備       考  
(1)        
(2)       起こり得ない
(3)        
(4)        
(5)       起こり得ない 
(6)       起こり得ない 
(7)        


(2)の場合、太郎さんから見て、「赤1、白1」なので、太郎さんが「分からない」と答えるの
は当然だ。ただ、次の花子さんから見て、「あなた」は白なので、もし、自分が白だったら、
太郎さんは「赤色」と答えるはずなのに「分からない」と答えている。ということは、花子さん
は自分の帽子が赤と答えられる筈だ。なのに、花子さんは「分からない」と答えている。
 よって、この場合は起こり得ない。

(5)の場合、太郎さんから見て、「白2」なので、太郎さんは「赤色」と答えられる筈なのに
「分からない」と答えている。
 よって、この場合は起こり得ない。

(6)の場合、太郎さんから見て、「赤1、白1」なので、太郎さんが「分からない」と答えるの
は当然だ。ただ、次の花子さんから見て、「白2」なので、花子さんは「赤色」と答えられるは
ずなのに「分からない」と答えている。
 よって、この場合は起こり得ない。

以上から、残りの場合全てにおいて、あなたの帽子の色は「赤色」であることを示している。

 厳密に、この問題に取り組むには上表のような吟味が必要と思うが、会話の中で、この
問題を考えるには仰々しい。

 次のように軽妙に考える方が、より実戦的であろう。

 「私が、白だと仮定する。最初に答えた太郎さんが分からないということで、花子さんは赤
と気がつくはずだ!ところが、花子さんは分からないという。ということは、私は赤なんだ!」

 同様の問題が巷間に流布しているようだ。

 3人 A、B、C がいて、Aの後にB、Bの後にCと、縦一列に並ぶ。前に並ぶ人の帽子の色
は分かるが、自分自身と自分の後ろに並ぶ人の帽子の色は分からないものとする。
 また、3人は、赤い帽子が3個、白い帽子が2個のうちのどれかを被っていることは知って
いる。

 誰かがCさんに聞いた。 「あなたの帽子は何色ですか?」

 Cさん:「分かりません。」

 また、誰かがBさんに聞いた。 「あなたの帽子は何色ですか?」

 Bさん:「分かりません。」

 Bさん、Cさんの返事を聞いて、Aさんは自分の帽子が何色か分かったという。

 さて、あなたはAさんの帽子が何色か分かりますか?



 Cさんが「分からない」ということは、Aさん、Bさんの帽子は、「赤、赤」 または 「赤、白」
の何れかである。
 だから、もし、Aさんが「白」と仮定すると、Bさんは「赤」と分かるはずである。それが分か
らないということなので、Aさんは「赤」と決まってしまうのだ。


(コメント) zk43 さんからの情報によると、「赤い帽子の問題」と同様の問題が、多胡 輝
      さんの「頭の体操」第1巻にあるそうです。何でも、

       「囚人3人に帽子をかぶせ、自分の帽子の色が分かったら出獄できる」

      というような設定だったとか...。制限時間10時間くらいの最難関問題だったら
      しいです。今度図書館に行って、のぞいてみようっと!



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