不思議な論理                         戻る

 人を巧妙に騙す数学が統計学ならば、人を巧妙に説得する数学が論理学だろう。
これは、あくまでも私見です。統計学を専門にしている方に他意はありません。アシカラズ!

 先日、大阪府の高校数学教師の件が新聞紙をはじめとするマスコミを賑わせた。「高校
入試の問題を解いてもらったところ、80点満点(受検生平均40点?)のところ、24点しか
とれなかった」とかで、分限免職(民間企業の「解雇」に相当)になった事例である。

 私の周辺でも、このことが随分話題になった。「24点」という数字だけが一人歩きして、

    「高校入試→易しいはずだ!」.....「24点→できないね!」

という図式で、一般大衆を翻弄するには十分であった。

 しかし、考えてみると、実際に、どのような問題を解いたのか、平均点40点の受検生は、
どのような学力レベルの生徒なのか、また、その先生が本当に積極的に問題を解こうとし
たのか、どのような環境のもとで解いたのかなど、分からない点が多い。ましてや、一般大
衆が何の準備もしないで、何点とれるものなのかすら分からないのに、なぜかしら「24点」
という数字だけに反応してしまうところが怖い。

 ここら辺が、統計のマジックで、慎重に判断しなければならないところである。

 次の問題は、論理学では有名な問題である。(ただし、超が付くくらいの難問である。)

問題    前方に分かれ道があり、右が天国に通じ、左が地獄に通じている。分かれ道

 
に、一人の道案内が立っている。この人は正直者か嘘つきのどち
らかであるが外見からは区別できない。正直者は、必ず真実を答
え、嘘つきは必ず嘘(真実の逆)を答える。

  今、ある人が、この分かれ道にさしかかった。この人には道案
 内に一回だけの質問が許されている。道案内は、「はい」 または
 「いいえ」としか答えない。

  この人が正しく天国に通じる道に行くためには、どのような質問
 をしたらよいだろうか?

 以前、テスト後のある時間に、「感動した数学の問題」と題して、何の準備もさせないで、
書いてもらったところ、上記のような問題を書いてきた女生徒がいた。確かに、人を魅了
する何かをもった問題である。

 いま、2つの命題を考える。

    P : 右は、天国に通じる道

    Q : あなたは、正直者

 この問題のポイントは、質問された道案内が、正直者であっても、嘘つきであっても、必
ず命題 P が「真」ならば、「はい」と答え、「偽」ならば、「いいえ」と答えてくれるような質問
を考えることにある。

 その質問のもとになる命題を R とする。次の4つの場合が考えられる。

(1) 命題 P が「真」で、命題 Q が「真」の場合
   この場合は、右が天国に通じる道で、正直者が「はい」と答えるためには、
  質問の命題 R の真偽は、「真」でなければならない。

(2) 命題 P が「真」で、命題 Q が「偽」の場合
   この場合は、右が天国に通じる道で、嘘つきが「はい」と答えるためには、
  質問の命題 R の真偽は、「偽」でなければならない。

(3) 命題 P が「偽」で、命題 Q が「真」の場合
   この場合は、右が地獄に通じる道で、正直者が「いいえ」と答えるためには、
  質問の命題 R の真偽は、「偽」でなければならない。

(4) 命題 P が「偽」で、命題 Q が「偽」の場合
   この場合は、右が地獄に通じる道で、嘘つきが「いいえ」と答えるためには、
  質問の命題 R の真偽は、「真」でなければならない。

 このような真理表を持つものを求めれば、どのような質問をすればいいのかが分かる。

たとえば、次のような命題が考えられる。(真理値については、こちらを参照)

         (P かつ Q) または (Pでない かつ Qでない)

  P   かつ   Q または Pでない かつ Qでない

 以上の論理の記号を、日常の言葉で言い表せば、次のような質問になるだろう。

   『 あなたは正直者で、右が天国に通じる道

      または

     あなたは嘘つきで、右が地獄に通じる道、

    この2つのうちのどちらかは正しいですね? 』

 上の真理表からも分かるように、この問題は、嘘つきが必ず嘘をつくという習性を利用し
ていて、気がつかないままに、2重に嘘をつくように仕向けるところがポイントである。

 記号論理学の知識を使うと、普段なかなか思いつかないような質問が思いつくのである。
ここら辺が、記号論理学の面白いところだろう。私自身、記号論理学を学んだのは、大学
1年の哲学の講義においてであったが、当時は、無味乾燥な記号の羅列で、あまり関心が
わかなかった。もっと真剣に勉強しておけばよかったと、今、後悔しているところである。

 ただ、上のような質問は、お世辞にも美しいとは言えない。実は、次のような考え方もある
らしい。こちらのほうが、より分かりやすい表現になっている。

 道案内に対して、次のような質問をする。

   『 あなたは、「右が天国に通じる道か」と聞かれれば、「はい」と答えますか? 』

 もし、右が天国に通じる道で、道案内が正直者のとき、正直者は、「はい」と答える。

 もし、右が天国に通じる道で、道案内が嘘つきのとき、嘘つきらしい答えは「いいえ」だが、
上の質問で、「いいえ」と言ってしまうと、正直者になってしまう。これは、嘘つきらしくないの
で、嘘つきは、「はい」と答えざるを得ない。

 もし、右が地獄に通じる道で、道案内が正直者のとき、正直者は、「いいえ」と答える。

 もし、右が地獄に通じる道で、道案内が嘘つきのとき、嘘つきらしい答えは、「はい」だが、
上の質問で、「はい」と言ってしまうと、正直者になってしまう。これは、嘘つきらしくないの
で、嘘つきは、「いいえ」と答えざるを得ない。

 したがって、上の質問をして、「はい」ならば右が天国に通じる道、「いいえ」ならば右が地
獄に通じる道だということが分かる。

(参考文献:吉田紀雄 著 入試数学と現代数学のあいだ (聖文社)
        野崎昭弘 著 詭弁論理学 (中公新書)
        野崎昭弘 著 逆説論理学 (中公新書))


(追記) 当HPの掲示板「出会いの泉」に当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さん
    が「嘘も使いよう」と題して、上記の問題の類題を出題された。
                                       (平成26年1月30日付け)

 あなたは、さる独房に監禁されたものとする。その部屋には2つの扉があり、一方は赤、他
方は黒に色が塗られている。そして、一方の扉を開けて出て行くと、死が待ち構えており他方
の扉なら自由の身になるという。
(もちろん、あなたはどちらの扉が自由の身に繋がるものか知らない。)

 部屋の中央に電話機が置いてあり、「あなたは、この電話で一度相手に質問することがで
きます。ただし、電話口の向こうに出る人物は常に真実しか言わないTさんか常に嘘しか言
わないFさんかが対応します。どちらが相手になるかは分かりません。」とメモが書かれてい
る。

 さてあなたは、この貴重なる生死をかける一回の質問にどんな問いを発しますか?もちろ
ん、各相談者は扉やもう一人の相談者の素性は知っているものとする。



 カルピスさんが考察されました。(平成26年1月30日付け)

 「他方の相談者は、【あなたは、赤(または黒)の扉は、自由への身に繋がりますか?】と聞
いたら【はい】と答えますか?」と質問します。

 【いいえ】と答えが返ってきたら、その色のドアが、【はい】と答えが返ってきたら、反対のド
アが、自由への扉。


(コメント) 質問される自分の判断ではなく、「他方の相談者」の判断を考慮する必要性を感
      じないので、やはり質問としては上記と同様に、

   あなたは、「赤の扉が自由への道に繋がりますか?」と質問されれば、「はい」と
  答えますか?


でいいのではないでしょうか?「はい」と返答があったら、赤の扉が自由への道、「いいえ」と
返答があったら、赤の扉は死への道になります。


 とんくまさんからのコメントです。(平成26年1月30日付け)

 「あなたとは別の人に、『赤の扉は、死への道ですか?』と質問した場合、答えはYesですか
Noですか?」と、TとFに質問を直列(?)につなげれば、答えは常に嘘。

という答えで良いですか?(少し自信が有りません)


(追記) 平成18年10月16日付け

  当HPの掲示板「出会いの泉」に、平成18年10月1日付けで、加俊さんから次のような
 問題提起がなされた。

   答えがのっていないある問題集で、このような問題がありました。

  『 ある村には、常に嘘をつく嘘つき者、常に正直に答える正直者、そして、時々
   嘘をつき時々正直になるよくわからない者がいる。これらの人々を、見分ける
   方法を述べよ。』


 この問題に対して、当HPがいつもお世話になっている、らすかるさんが解答を寄せられ
た。(平成18年10月1日付け) らすかるさんに感謝いたします。
この時期、いくつかの研修会の講師を務めるなど超多忙で掲示板の方は、ROMに徹していました。
まとめるのが遅くなってしまって申し訳ないです!


(解) それぞれに対して、 「3人のうち、常に正直に答える正直者は1人ですか?」 と

   質問すると、正直者は「はい」、嘘つき者は「いいえ」と答える。

   もし、「はい」と答えた人が2人いれば、そのうちどちらかが「よくわからない者」である。

   2人のうちから1人を選んで、「いいえ」と答えた嘘つき者に

    「この人は常に正直に答える正直者ですか?」と聞く。

    このとき、 「はい」 と答えたら、その人は、「よくわからない者」である。

           「いいえ」 と答えたら、その人が「正直者」である。

   もし「いいえ」と答えた人が2人いれば、そのうちどちらかが「よくわからない者」である。

   2人のうちから1人を選んで、「はい」と答えた正直者に

    「この人は常に嘘をつく嘘つき者ですか?」と聞く。

    このとき、 「はい」 と答えたら、その人は、「嘘つき者」である。

           「いいえ」 と答えたら、その人が「よくわからない者」である。 (終)

(コメント) 素朴な疑問なのですが、村人は3人だけなんですかね?


(追々記) 平成19年2月10日付け

 冒頭の問題を、もう少し考えやすい表現に言い換えると次のようになるらしい。

問題    前方に分かれ道があり、右が天国に通じ、左が地獄に通じている。分かれ道

 
に、2人の道案内が立っている。天国からきた人と地獄からきた人
であるが、外見上区別できない。天国からきた人は常に本当のこと
を言い、地獄からきた人は常に嘘を言う。

 今、ある人が、この分かれ道にさしかかった。この人は、道案内の
どちらか一方に一度しか質問できない。

道案内は、「はい」または「いいえ」としか答えない。

 この人が、正しく天国に通じる道に行くためには、どのような質問
をしたらよいだろうか?

 この場合は、どちらか一方を指さして、

   「こちらは、あなたがきたところですか?

と聞けば、天国へ通じる道かどうかが判断できる。

 質問した道案内が天国からきた人の場合は、示した道が天国へ通じる道かどうかを正し
く答えてくれる。

 質問した道案内が地獄からきた人の場合は、

    示した道が天国へ通じる道ならば、「あなたがきたところ」ではないので本当のことを
   言う人だったら「いいえ」だが、地獄からきた人は嘘を答えるので、「はい」と答えざるを
   得ない。

    示した道が地獄へ通じる道ならば、「あなたがきたところ」であるので本当のことを言
   う人だったら「はい」だが、地獄からきた人は嘘を答えるので、「いいえ」と答えざるを得
   ない。

 したがって、示した道に対して、「はい」なら、その道が「天国へ通じる道」であり、「いいえ」
なら、示した道と別の道が「天国へ通じる道」である。

(追々々記) 平成20年2月28日付け

 2月23日(土)に放送のあったNHK総合の「謎缶」(どうも再放送のよう...)で面白い論
理パズルを紹介していた。趣旨を生かして、若干設定を変えて考えてみよう。

 横一列に並ぶ A、B、C、D の4人が次のような証言をした。ただし、4人の内、一人のみ
が本当のことを言い、他の3人は嘘を言うものとする。また、男性は一人いるものとする。

  A:「私は、女性である。」
  B:「私の隣りに男性がいる。」
  C:「Bは男性である。」
  D:「Aは、嘘を言っている。」

 そこで、問題です。4人の内、男性は誰でしょうか?


 いま、Dさんが本当のことを言っているものとする。すると、A、B、C の証言は嘘なので、

  A:「私は、男性である。」
  B:「私の隣は、女性である。」
  C:「Bは、女性である。」

となるが、AとBの証言が矛盾しているので、Dさんは嘘を言っていることになる。

 すると、Aさんは本当のことを言っていることになり、B、C さんは嘘を言っていることに
なる。

 よって、

  A:「私は、女性である。」
  B:「私の隣は、女性である。」
  C:「Bは、女性である。」
  D:「Aは、本当のことを言っている。」

という証言から、男性は、Dさんであることが分かる。

(コメント) こういう論理パズルは、ちょっと苦手意識が前面に出てしまいますね!

 平成20年2月29日付けで、当HPがいつもお世話になっている、らすかるさんからメー
ルをいただいた。らすかるさんのご指摘で、文言に多少問題があることを気づかされた。
らすかるさんに感謝いたします。

 上記は、既に文言等を修正済みである。

 らすかるさんの手法を参考にさせていただくと、下記の表を作成して、男性を見いだすこ
ともできるようだ。この方が機械的な作業で簡単に答えが見つけられる。

Aの性別 Bの性別 Cの性別 Dの性別 証言A 証言B 証言C 証言D 嘘の人数
男性 男性 男性 男性 ×
男性 男性 男性 女性 ×
男性 男性 女性 男性 ×
男性 男性 女性 女性 ×
男性 女性 男性 男性 × ×
男性 女性 男性 女性 × ×
男性 女性 女性 男性 × ×
男性 女性 女性 女性 × ×
女性 男性 男性 男性 ×
女性 男性 男性 女性 ×
女性 男性 女性 男性 × ×
女性 男性 女性 女性 × ×
女性 女性 男性 男性 × ×
女性 女性 男性 女性 × ×
女性 女性 女性 男性 × × ×
女性 女性 女性 女性 × × ×

  ※ ○は本当、×は嘘の意味

 よって、「3人が嘘」という場合は下段の2通りあるが、「男性が一人だけ」という条件があ
るので、「Dが男性」という結果になる。

(追記) 平成21年5月8日付け

 当HPがいつもお世話になっている麻衣まいさんのブログ「新・かたつむりな日々」の記事
の中に面白い問題:数式も図形もない数学の問題が取り上げられた。

  【問題】  ここに「神様」、「悪魔」、「人間」が一者ずついる。

      「神様」は常に真実を言い、「悪魔」は常に嘘をつく。「人間」は状況により

      真実と嘘とを使い分けて言う。

       この三者を、A 、B 、C とし、それぞれが次のように発言した。

         A : 「私は神様ではない」

         B : 「私は悪魔ではない」

         C : 「私は人間ではない」

      このとき、A 、B 、C は何者になるかを特定せよ。


 この問題に対して、麻衣まいさんの解答は次のようであった。

   まず、「悪魔」は常に嘘をつくので、A や C が「悪魔」の発言ではないことがわかる。

  また、「神様」は常に真実を言うので、A が「神様」の発言ではないこともわかる。

   したがって、正解は、A が「人間」、B が「悪魔」、C が「神様」となる。


 麻衣まいさんのすばらしい解答に感動しました。麻衣まいさんは、この問題が数学の授業
で生徒に配布されたもので「数式も図形も全く出てこない数学の問題ってあるんですね〜!」
と驚かれているが、これは、数学というよりも論理学に分類される問題だと思います。多分、
数学の先生が、息抜きに生徒に考えさせるために用意したものではないでしょうか?

 私は、次のように考えました。

 三者の発言を表にまとめると、

 
 
神様  
悪魔  
人間  

 神様は、常に真実を言うので、「私は神様です」と発言していることになるBまたはCが神
様となる。

 ここで、注目すべき発言は、悪魔の発言だろう。上表の発言の否定を考えると、

 
 
神様    
悪魔    
人間    

 悪魔の発言の否定は必ず真実になるので、「私は悪魔です」と発言していることになるB
が悪魔となる。

 このとき、消去法により、Cが神様で、Aが人間となる。

(追記) 平成21年9月10日付け

 最近次のような論理の問題に遭遇した。

 犯人を含む5人の被疑者が次のような証言をした。犯人は一体誰であろうか?

ただし、5人の内、3人だけが真実を証言しているものとする。

         A : 「犯人はDである」

         B : 「私は無実である」

         C : 「Eは犯人ではない」


         D : 「Aの言うことは嘘である」

         E : 「Bの言うことは真実である」


 Aが真実を証言しているものとすると、Dが犯人で、他は無実となる。

このとき、B、C、Eも真実を証言していることになり、題意より、矛盾する。

 よって、Aの証言は嘘で、Dの証言は真実となる。

このとき、Bの証言が嘘とすると、Eの証言も嘘になり、題意より、矛盾するので、Bの証言

およびEの証言は真実となる。

 以上から、B、D、Eの3人だけが真実の証言をし、他のA、Cは嘘の証言をしている。

したがって、犯人は、Eである。


(追記) 平成25年12月4日付け

 論理パズルは公務員試験等に頻出ということもあるが、考えることが好きな人にとって最
高のパズルだろう。上記の加俊さんや麻衣まいさんの問題に類似するものに最近出会うこ
とができた。

 正直者は必ず真実を言い、嘘つきは必ず嘘をつく。普通の人間は、真実を言うときもあれ
ば嘘をつくときもある。

 今、広場に3人A、B、Cがいる。一人は正直者、一人は嘘つき、一人は普通の人間であ
る。

 3人の次のような発言を聞いて、A、B、Cが、「正直者」、「嘘つき」、「普通の人間」の何れ
であるか分かるだろうか?

 A:「私は正直者です。」

 B:「私は嘘つきです。」

 C:「私は普通の人間です。」

(参考文献: 石丸恵彦 著  論理パズル
       筑波大学付属駒場高校 数学科学研究会 編 「Cafe Boll Weck No.7」)


 Bが正直者とすると、Bの言うことは真実なので、Bは嘘つきとなり矛盾。Bが嘘つきとすると、
Bの言うことは嘘なのだが、「私は嘘つきです。」と真実を言っているので矛盾。

 よって、Bは普通の人間となる。このとき、Cは正直者または嘘つきとなるが、Cを正直者と
すると、Cは普通の人間となり、Bが普通の人間と矛盾するので、Cは嘘つきとなる。

 よって、Aが正直者となる。

(コメント) 正直者は必ず真実を言うので、「私は正直者です。」と言っているAが正直者であ
      ることは自明だろう。


 上記の問題をさらに深化させた次の問題も興味深い。

 正直者は必ず真実を言い、嘘つきは必ず嘘をつく。普通の人間は、真実を言うときもあれ
ば嘘をつくときもある。

 今、広場に3人A、B、Cがいる。一人は正直者、一人は嘘つき、一人は普通の人間であ
る。

 3人の次のような発言を聞いて、A、B、Cが、「正直者」、「嘘つき」、「普通の人間」の何れ
であるか分かるだろうか?

 A:「Bは正直者です。」

 B:「Cは嘘つきです。」

 C:「Aは普通の人間です。」


 Aが正直者とすると、Aの発言からBも正直者になり矛盾。よって、B、Cの何れかは正直者
だが、Aの発言からBは正直者でなく、Cが正直者。このとき、Aは普通の人間となり、Bは嘘
つきとなる。


(追記) 平成26年3月31日付け

 3月30日付け朝日新聞朝刊のコラム「高濱正伸の大人にも効く算数サプリ」に次のような
問題が出題された。

 「正直者」が1人以上いるように、8人が「嘘つき」と「正直者」の何れかに分かれた。8人が
何の役割か知らないある人が、「8人の中に『嘘つき』は何人いますか?」と8人に順に質問
したところ、
 「7人」、「7人」、「7人」、「4人」、「3人」、「3人」
と6人答えた時点で、誰が「正直者」か分かったという。さて、「正直者」は誰でしょう?
                                                 (一部改題)

(解) 「嘘つき」が7人と答えた3人が「正直者」とすると、「嘘つき」は最大で、8−3=5人。
  これは7人に足りず矛盾。

 「嘘つき」が4人と答えた1人が「正直者」とすると、「嘘つき」は最大で、8−1=7人。
 このとき、「嘘つき」が7人、3人と答えた5人は「嘘つき」となり、「嘘つき」が4人に矛盾。

 「嘘つき」が3人と答えた2人が「正直者」とすると、「嘘つき」は最大で、8−2=6人。
 このとき、「嘘つき」が7人、4人と答えた4人は「嘘つき」となり、「嘘つき」が3人に矛盾。

 以上から、答えてくれた6人は、何れも「嘘つき」となる。

 残りの2人の少なくとも一人が「正直者」となるが、一人でも「嘘つき」がいると、7人が「嘘
つき」になり、「嘘つき」が7人と答えた3人が「嘘つき」でなくなるので矛盾。

 したがって、残りの2人は何れも「正直者」であることが分かる。  (終)


(コメント) 新聞発表の解答では、「嘘つき」が1人、2人、5人、6人の場合に言及していま
      すが、若干遠回りの解答に感じましたので解答を少し整理させていただきました。


  以下、工事中!