数学の論理                              戻る

 数学の問題を解くとき、「正攻法でやると多少めんどうになりそうだな〜」と感じるときがある。
そんなとき、問題を同値な、そして考えやすい別な問題に刷りかえることは、問題解決の常套
手段である。このページでは、その基本的な方策について、まとめてみたい。

 いくつかの予備知識を確認しながら、話を進める。

命題について

 客観的に、真偽が判定できるような文章を命題という。

(例) 1+1=2 ・・・ 命題で、真
    日本の人口は、1億である ・・・ 命題で、偽
    あなたは、数学が好きですか? ・・・ 真偽判定不能で、命題とならない

 いくつかの命題から、別な命題を作ることを、命題の合成という。
次の、3つのタイプが基本的である。命題 P、Q に対して、
   (離接) P または Q  記号では、P∨Q と書く。
   (合接) P かつ Q   記号では、P∧Q と書く。
   (否定) P でない    記号では、¬P と書く。

(例) 2つの命題 P: X<2 、Q: X>0 に対して、
   P∨Q : Xは、全ての実数 、P∧Q : 0<X<2 、¬P : X≧2

命題の真理表について

 命題 P、Q の真偽によって、合成命題 P∨Q、P∧Q、¬P の真偽が次の表に従って定め
られる。表において、真は 「1」、偽は 「0」で表される。

P∨Q P∧Q ¬P

   左の表によって定められた真理表は、日常
  の感覚と大体同じなので、違和感なく覚えら
  れることと思う。ただ、「または」は、日常使っ
  ている感覚(排他的)と異なるので、注意を要
  する。日常で「ハンバーガーまたはジュースを
  頼む」と言われたら、どちらか一方を頼むのが
  普通だが、数学では、両方頼むのも可となる。

(参考) 「∨」は、ラテン語の vel (どちらか少なくとも一方)からとられたらしい。日常使って
    いる排他的な「または」としては、別な単語 aut を使うようだ。
    (参考文献:足立恒夫 著 数 体系と歴史 (朝倉書店))   

(例) ¬P∨Q の真理表を作れ。

¬P ¬P∨Q

 真理値が全て、0(偽)である命題を、矛盾命題といい、真理値が全て、1(真)である命題を、
トートロジーという。
 また、2つの命題の真理表が全く同一のとき、これらの命題は、論理的に同値であるといい、
等号を用いて表される。

(論理的に同値な命題の例)  1.(2重否定)  ¬(¬P)=P
                                  (Pでないことはないは、Pそのもの)
                    2.(ド・モルガンの法則)
                               ¬(P∨Q)=(¬P)∧(¬Q)
                                  (またはの否定は、かつ)
                               ¬(P∧Q)=(¬P)∨(¬Q)
                                  (かつの否定は、または)
                    3.(分配の法則)
                               P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R)
                               P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R)

条件命題について

 数学では、「P ならば Q である」という形式の命題が多い。記号で、P → Q と書く。この命
題も、合成命題の一つであり、次のように、真理表が定められる。

P → Q

   この真理表と、先の(例)における ¬P∨Q の真理
  表を比較して分かるように、両者は、論理的に同値で
  ある。すなわち、
          P → Q = ¬P∨Q
  が成り立つ。
  (覚え方としては、「PかつQでない、ことはない」の方
  がいいかもしれない。私自身は、そう覚えている。)

(参考) 両者が論理的に同値であることに違和感を抱く人は多い。次のように考えてはどう
    だろうか。
    「P ならば Q である」の否定が、「P であるのに Q でない」と理解できれば、それは、
    暗黙のうちに、¬(P → Q) = P∧¬Q すなわち、P → Q = ¬P∨Q ということを
    認めざるをえないということである。
    (参考文献:足立恒夫 著 数 体系と歴史 (朝倉書店))

 この命題で大切なポイントは、仮定Pが偽ならば、結論Qの真偽に関わらず、P → Q が
真になるところである。
 「雨が降れば、傘を差す」という命題において、雨が降っているのに傘を差さないのは、変
であるが、雨が降らなければ、傘を差しても差さなくても変ではない。お天気なのに、傘を差
していることを咎められたら、「これは、日傘です。」とでも言っておけばよい。

この場合の応用例として、次の問題は有名である。

(例) 空集合は、すべての集合の部分集合である。

  B⊂A であるとき、BはAの部分集合である。ところで、B⊂A とは、「X∈B ならば、
X∈A」が成り立つことをいう。いま、Bが空集合のとき、X∈Bは偽なので、命題「X∈B なら
ば、X∈A」は真である。よって、空集合Bは、任意の集合Aの部分集合である。

このように、仮定が偽のとき、命題 P → Q は、無内容的に成り立つという。

(参考) 「偽」の命題からは、どんな命題も導けるといった、ラッセルの講演の話が知られて
    いる。例えば、「2=1」の命題から、「私は、日本の総理大臣」という命題は、次のよう
    に証明される。
      「2≠1」は、「真」の命題なので、
        「2≠1」∨「私は、日本の総理大臣」は、「真」の命題
      ところで、「2=1」の命題が成り立つと仮定するということは、「2=1」が「真」の命
      題、すなわち、「2≠1」は、「偽」の命題と仮定するということである。
      「2≠1」∨「私は、日本の総理大臣」は、「真」の命題であったので、
      「私は、日本の総理大臣」が「真」の命題ということになる。
      したがって、「2=1」ならば、「私は、日本の総理大臣」である。
      (参考文献:足立恒夫 著 数 体系と歴史 (朝倉書店))

(例) 三段論法がトートロジーであることを示せ。

P → Q Q → R P → R (P→Q)∧(Q→R) (P→Q)∧(Q→R)→(P→R)

 このことから、三段論法(P ならば、Q で Q ならば、R のとき、P ならば R)による推論
は、常に有効である。

(例) アリバイの原理がトートロジーであることを示せ。

P → Q ¬P ¬Q (P → Q)(¬Q) (P → Q)(¬Q) → (¬P)

 このことから、「P ならば Q だが、Q でなければ、P でない」という推論は、常に有効である。

必要条件と十分条件

 命題 P → Q が常に真であるとき、記号 P ⇒ Q で表す。
このとき、Pは、Qであるための十分条件といい、Qは、Pであるための必要条件であるという。

(例) X=1 ⇒ X2=1 において、
  「X=1」は、「X2=1」であるための十分条件・・・X2=1であるためには、X=1であれば
                                十分!
  「X2=1」は、「X=1」であるための必要条件・・・X=1であるためには、とりあえず X2=1
                                であることが必要!

逆・裏・対偶

 命題 P → Q に対して、次の命題を、それぞれ、もとの命題の逆、裏、対偶という。
      逆 : Q → P
      裏 : ¬P → ¬Q
    対偶 : ¬Q → ¬P

(例) もとの命題とその対偶は、論理的に同値であることを示せ。

P → Q ¬Q ¬P ¬Q → ¬P

 このことから、ある命題を証明するかわりに、その対偶を証明してもよいことになる。しか
も、問題によっては、対偶を証明する方が、非常に楽な場合がある。これは、経験的に、
確かな真実である。

(例) 3つの数 X、Y、Z について、X+Y+Z>3 ならば、少なくとも一つは、1 より大きい。

  この命題の対偶は、
   「3つの数 X、Y、Z について、どれも1以下ならば、X+Y+Z≦3」
  明らかに、X≦1、Y≦1、Z≦1 ならば、X+Y+Z≦1+1+1=3 
  なので、対偶命題は真。よって、もとの命題も真である。

命題関数

 集合 U 上で定義された命題 P(X) を考える。命題 P(X) が真となるような集合 Uの要素 X
の集合を、命題関数 P(X) の真理集合といい、Pで表す。

 それぞれの命題関数の真理集合は次のようになる。
     P(X)∨Q(X) ・・・ P∪Q (PとQの結び(和集合))
     P(X)∧Q(X) ・・・ P∩Q (PとQの共通部分)
      ¬P(X)   ・・・  Pc 
 (Pの補集合)
     P(X) → Q(X) ・・・ ∪Q

 この真理集合の考えを用いると、P ⇒ Q の証明は視覚的に行うことができる。すなわち、

   P(X) ⇒ Q(X) を証明するには、P⊂Q であることを確かめればよい。

 実際に、P(X) → Q(X) の真理集合は、P∪Q であり、命題がトートロジーであることから
∪Q=U に等しい。このとき、
 P=P∩U=P∩(P∪Q)=(P∩P)∪(P∩Q)=P∩Q⊂Q から、P⊂Q
逆に、P⊂Q とすると、U=P∪P⊂P∪Q⊂U から、P∪Q=U
よって、命題 P(X) → Q(X) は、トートロジーである。

(例) |X|+|Y|<1 ならば、X2+Y2<1 であることを証明せよ。

 この問題は、真理集合を調べることにより、簡単に示される。

  
  左図より、正方形の内部:|X|+|Y|<1 は、
 円の内部:X2+Y2<1 に含まれるので、命題は成り立つ。











反例の作り方

 命題 P(X) → Q(X) が偽であることを示すには、反例をあげるのが手っ取り早い方法であ
る。P⊂Q が成り立たないことから、P(X)であるが、Q(X)でないようなXを一つ探せばよい。

(例) 命題「X2=1 ならば X=1」は偽である。なぜなら、X=−1という反例があるから。

全称命題と存在命題

 数学において、「すべての〜」とか「〜であるものが存在する」という形式の命題は数多い。

「すべてのXに対して、P(X)である」という命題を全称命題といい、記号で、∀X:P(X) と書く。
全称命題の真理集合は、全体集合Uである。(∀:全称記号(universal quantifier))
「あるXに対して、P(X)である」という命題を存在命題といい、記号で、∃X:P(X) と書く。
存在命題の真理集合は、空でない集合である。(∃:存在記号(existential quantifier))

(例) すべての実数Xに対して、X2≧0
    ある実数Xに対して、2X−4=0
    a≦b は、存在命題 ∃X≧0 : a+X=b で表される。

全称命題と存在命題について、次の関係式は基本的である。
          ¬(∀X:P(X))=∃X:¬P(X)    (「すべて」の否定は「ある」)

           ¬(∃X:P(X))=∀X:¬P(X)    (「ある」の否定は「すべて」)

複雑な命題を考えるとき、文章で与えられたままでは頭が混乱するので、記号化して考えた
方がよい。単純作業で、いろいろな命題に変換できる。

(例) 命題「すべての実数Xについて、X2>1 ならば、X>1 である。」の否定命題を作り、
   その真偽を判定せよ。
  
   ¬(∀X:(X2>1→X>1))=∃X:¬(X2>1→X>1)
                    =∃X:¬(¬(X2>1)∨(X>1))

                      =∃X:(¬¬(X2>1))∧(¬(X>1))
                    =∃X:(X2>1)∧(X≦1)
   
これを、翻訳すれば、「X2>1 かつ X≦1 となる実数Xがある。」となる。
   たとえば、X=−2 が該当するので、この命題は、真である。
   (よって、もとの命題は偽ということになる。)

(例) 命題「P ならば、QまたはR」は、命題「Pかつ(Qでない) ならば、R」と論理的
   に同値である。

    
    実際に、P → Q∨R =(¬P)∨(Q∨R)
                   =((¬P)∨Q)∨R
                   =((¬P)∨(¬(¬Q)))∨R
                   =(¬(P∧(¬Q))∨R
                   =P∧(¬Q) → R
    これを、「XY=0 ならば、X=0 または Y=0 」に適用してみると、「XY=0 かつ
    X≠0 ならば Y=0 」という形になり、納得されやすい表現になる。

  この(例)における言い換えは、大学入試でよく用いられる技法で、知っている者だけが
非常に有利になる魔法の論理である。

(参考文献:茂木 勇 著 集合と論証(科学新興社)
        秋山 仁 著 真理表(数学ライブラリー))


 平成27年度入試 東京大学前期文系で真偽を問う問題が出題された。

問題 以下の命題A、Bそれぞれに対し、その真偽を述べよ。また、真ならば証明を与え、偽
   ならば反例を与えよ。

命題A nが正の整数ならば、n3/26+100≧n2が成り立つ。

命題B 整数n、m、p が5n+5m+3p=1を満たすならば、10nm+3mp+3np<0が成
    り立つ。


 グラフ描画ソフトにお助けいただくと、F(x)=x3/26+100−x2 のグラフは下図の通り。

15<x<20 の周辺が微妙で、ズームして見ると、

     

   グラフから、x=17 が怪しい!!






(確かめ) F(17)=4913/26+100−289=−0.0384616・・・

 から、ほんの一瞬、x3/26+100<x2 となるので、命題Aは偽となる。反例は、n=17。


(コメント) グラフ描画ソフトを活用して「偽」を示したが、実際の試験場では微分のお世話に
      なるしかないだろう。

(命題Aの解) F(x)=x3/26+100−x2 とおくと、F(x)は微分可能な3次関数である。

ここで、 F’(x)=3x2/26−2x=0 とおくと、 x=52/3=17.333・・・で極小かつ最小

F(17)=173/26+100−172=4913/26+100−289=−0.0384616・・・<0

よって、x=17 のとき負で、正の整数nに対して、いつも n3/26+100≧n2 が成り立

つとは限らない。したがって、命題Aは偽で、反例は、n=17。  (終)


 およそ受験でともに「偽」となることはないだろうと高をくくれれば命題Bは「真」だろうと予想
がつく。

実際に、整数n、m、p が5n+5m+3p=1を満たすならば、10nm+3mp+3np<0が成

り立つ。

(証明)  10nm+3mp+3np=10nm+3p(m+n)
     =10nm+(1−5(n+m))(m+n)=10nm+m+n−5(n+m)2
     =m+n−5n2−5m2

ここで、 m−5m2=−5(m−1/10)2+1/20 で、

  m=0 のとき、 m−5m2=0 、m=1 のとき、 m−5m2=−4

同様に、 n−5n2=−5(n−1/10)2+1/20 で、

  n=0 のとき、 n−5n2=0 、n=1 のとき、 n−5n2=−4

 m=0 かつ n=0 とすると、 3p=1 で、この式を満たす整数pは存在しない。

 よって、m、nが同時に0になることはなく、 m+n−5n2−5m2<0 が成り立つ。

 以上から、命題Bは真である。  (証終)