数学の論理 
数学の問題を解くとき、「正攻法でやると多少めんどうになりそうだな〜」と感じるときがある。
そんなとき、問題を同値な、そして考えやすい別な問題に刷りかえることは、問題解決の常套
手段である。このページでは、その基本的な方策について、まとめてみたい。
いくつかの予備知識を確認しながら、話を進める。
命題について
客観的に、真偽が判定できるような文章を命題という。
（例） １＋１＝２ ・・・ 命題で、真
日本の人口は、１億である ・・・ 命題で、偽
あなたは、数学が好きですか？ ・・・ 真偽判定不能で、命題とならない
いくつかの命題から、別な命題を作ることを、命題の合成という。
次の、３つのタイプが基本的である。命題 Ｐ、Ｑ に対して、
（離接） Ｐ または Ｑ 記号では、Ｐ∨Ｑ と書く。
（合接） Ｐ かつ Ｑ 記号では、Ｐ∧Ｑ と書く。
（否定） Ｐ でない 記号では、¬Ｐ と書く。
（例） ２つの命題 Ｐ： Ｘ＜２ 、Ｑ： Ｘ＞０ に対して、
Ｐ∨Ｑ ： Ｘは、全ての実数 、Ｐ∧Ｑ ： ０＜Ｘ＜２ 、¬Ｐ ： Ｘ≧２
命題の真理表について
命題 Ｐ、Ｑ の真偽によって、合成命題 Ｐ∨Ｑ、Ｐ∧Ｑ、¬Ｐ の真偽が次の表に従って定め
られる。表において、真は 「１」、偽は 「０」で表される。
| Ｐ |
Ｑ |
Ｐ∨Ｑ |
Ｐ∧Ｑ |
¬Ｐ |
| １ |
１ |
１ |
１ |
０ |
| １ |
０ |
１ |
０ |
０ |
| ０ |
１ |
１ |
０ |
１ |
| ０ |
０ |
０ |
０ |
１ |
左の表によって定められた真理表は、日常
の感覚と大体同じなので、違和感なく覚えら
れることと思う。ただ、「または」は、日常使っ
ている感覚（排他的）と異なるので、注意を要
する。日常で「ハンバーガーまたはジュースを
頼む」と言われたら、どちらか一方を頼むのが
普通だが、数学では、両方頼むのも可となる。
（参考） 「∨」は、ラテン語の ｖｅｌ （どちらか少なくとも一方）からとられたらしい。日常使って
いる排他的な「または」としては、別な単語 ａｕｔ を使うようだ。
（参考文献：足立恒夫 著 数 体系と歴史 （朝倉書店））
（例） ¬Ｐ∨Ｑ の真理表を作れ。
| Ｐ |
¬Ｐ |
Ｑ |
¬Ｐ∨Ｑ |
| １ |
０ |
１ |
１ |
| １ |
０ |
０ |
０ |
| ０ |
１ |
１ |
１ |
| ０ |
１ |
０ |
１ |
真理値が全て、０（偽）である命題を、矛盾命題といい、真理値が全て、１（真）である命題を、
トートロジーという。
また、２つの命題の真理表が全く同一のとき、これらの命題は、論理的に同値であるといい、
等号を用いて表される。
（論理的に同値な命題の例） １．（２重否定） ¬（¬Ｐ）＝Ｐ
（Ｐでないことはないは、Ｐそのもの）
２．（ド・モルガンの法則）
¬（Ｐ∨Ｑ）＝（¬Ｐ）∧（¬Ｑ）
（またはの否定は、かつ）
¬（Ｐ∧Ｑ）＝（¬Ｐ）∨（¬Ｑ）
（かつの否定は、または）
３．（分配の法則）
Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ）＝（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）
Ｐ∨（Ｑ∧Ｒ）＝（Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨Ｒ）
条件命題について
数学では、「Ｐ ならば Ｑ である」という形式の命題が多い。記号で、Ｐ →
Ｑ と書く。この命
題も、合成命題の一つであり、次のように、真理表が定められる。
| Ｐ |
Ｑ |
Ｐ → Ｑ |
| １ |
１ |
１ |
| １ |
０ |
０ |
| ０ |
１ |
１ |
| ０ |
０ |
１ |
この真理表と、先の（例）における ¬Ｐ∨Ｑ の真理
表を比較して分かるように、両者は、論理的に同値で
ある。すなわち、
Ｐ → Ｑ ＝ ¬Ｐ∨Ｑ
が成り立つ。
（覚え方としては、「ＰかつＱでない、ことはない」の方
がいいかもしれない。私自身は、そう覚えている。）
（参考） 両者が論理的に同値であることに違和感を抱く人は多い。次のように考えてはどう
だろうか。
「Ｐ ならば Ｑ である」の否定が、「Ｐ であるのに Ｑ でない」と理解できれば、それは、
暗黙のうちに、¬（Ｐ → Ｑ） ＝ Ｐ∧¬Ｑ すなわち、Ｐ → Ｑ ＝
¬Ｐ∨Ｑ ということを
認めざるをえないということである。
（参考文献：足立恒夫 著 数 体系と歴史 （朝倉書店））
この命題で大切なポイントは、仮定Ｐが偽ならば、結論Ｑの真偽に関わらず、Ｐ
→ Ｑ が
真になるところである。
「雨が降れば、傘を差す」という命題において、雨が降っているのに傘を差さないのは、変
であるが、雨が降らなければ、傘を差しても差さなくても変ではない。お天気なのに、傘を差
していることを咎められたら、「これは、日傘です。」とでも言っておけばよい。
この場合の応用例として、次の問題は有名である。
（例） 空集合は、すべての集合の部分集合である。
Ｂ⊂Ａ であるとき、ＢはＡの部分集合である。ところで、Ｂ⊂Ａ とは、「Ｘ∈Ｂ ならば、
Ｘ∈Ａ」が成り立つことをいう。いま、Ｂが空集合のとき、Ｘ∈Ｂは偽なので、命題「Ｘ∈Ｂ なら
ば、Ｘ∈Ａ」は真である。よって、空集合Ｂは、任意の集合Ａの部分集合である。
このように、仮定が偽のとき、命題 Ｐ → Ｑ は、無内容的に成り立つという。
（参考） 「偽」の命題からは、どんな命題も導けるといった、ラッセルの講演の話が知られて
いる。例えば、「２＝１」の命題から、「私は、日本の総理大臣」という命題は、次のよう
に証明される。
「２≠１」は、「真」の命題なので、
「２≠１」∨「私は、日本の総理大臣」は、「真」の命題
ところで、「２＝１」の命題が成り立つと仮定するということは、「２＝１」が「真」の命
題、すなわち、「２≠１」は、「偽」の命題と仮定するということである。
「２≠１」∨「私は、日本の総理大臣」は、「真」の命題であったので、
「私は、日本の総理大臣」が「真」の命題ということになる。
したがって、「２＝１」ならば、「私は、日本の総理大臣」である。
（参考文献：足立恒夫 著 数 体系と歴史 （朝倉書店））
（例） 三段論法がトートロジーであることを示せ。
| Ｐ |
Ｑ |
Ｒ |
Ｐ → Ｑ |
Ｑ → Ｒ |
Ｐ → Ｒ |
（Ｐ→Ｑ）∧（Ｑ→Ｒ） |
（Ｐ→Ｑ）∧（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ→Ｒ） |
| １ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
| １ |
１ |
０ |
１ |
０ |
０ |
０ |
１ |
| １ |
０ |
１ |
０ |
１ |
１ |
０ |
１ |
| １ |
０ |
０ |
０ |
１ |
０ |
０ |
１ |
| ０ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
| ０ |
１ |
０ |
１ |
０ |
１ |
０ |
１ |
| ０ |
０ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
| ０ |
０ |
０ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
このことから、三段論法（Ｐ ならば、Ｑ で Ｑ ならば、Ｒ のとき、Ｐ ならば Ｒ）による推論
は、常に有効である。
（例） アリバイの原理がトートロジーであることを示せ。
| Ｐ |
Ｑ |
Ｐ → Ｑ |
¬Ｐ |
¬Ｑ |
（Ｐ → Ｑ）∧（¬Ｑ） |
（Ｐ → Ｑ）∧（¬Ｑ） → （¬Ｐ） |
| １ |
１ |
１ |
０ |
０ |
０ |
１ |
| １ |
０ |
０ |
０ |
１ |
０ |
１ |
| ０ |
１ |
１ |
１ |
０ |
０ |
１ |
| ０ |
０ |
１ |
１ |
１ |
１ |
１ |
このことから、「Ｐ ならば Ｑ だが、Ｑ でなければ、Ｐ でない」という推論は、常に有効である。
必要条件と十分条件
命題 Ｐ → Ｑ が常に真であるとき、記号 Ｐ ⇒ Ｑ で表す。
このとき、Ｐは、Ｑであるための十分条件といい、Ｑは、Ｐであるための必要条件であるという。
（例） Ｘ＝１ ⇒ Ｘ2＝１ において、
「Ｘ＝１」は、「Ｘ2＝１」であるための十分条件・・・Ｘ2＝１であるためには、Ｘ＝１であれば
十分！
「Ｘ2＝１」は、「Ｘ＝１」であるための必要条件・・・Ｘ＝１であるためには、とりあえず
Ｘ2＝１
であることが必要！
逆・裏・対偶
命題 Ｐ → Ｑ に対して、次の命題を、それぞれ、もとの命題の逆、裏、対偶という。
逆 ： Ｑ → Ｐ
裏 ： ¬Ｐ → ¬Ｑ
対偶 ： ¬Ｑ → ¬Ｐ
（例） もとの命題とその対偶は、論理的に同値であることを示せ。
| Ｐ |
Ｑ |
Ｐ → Ｑ |
¬Ｑ |
¬Ｐ |
¬Ｑ → ¬Ｐ |
| １ |
１ |
１ |
０ |
０ |
１ |
| １ |
０ |
０ |
１ |
０ |
０ |
| ０ |
１ |
１ |
０ |
１ |
１ |
| ０ |
０ |
１ |
１ |
１ |
１ |
このことから、ある命題を証明するかわりに、その対偶を証明してもよいことになる。しか
も、問題によっては、対偶を証明する方が、非常に楽な場合がある。これは、経験的に、
確かな真実である。
（例） ３つの数 Ｘ、Ｙ、Ｚ について、Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＞３ ならば、少なくとも一つは、１
より大きい。
この命題の対偶は、
「３つの数 Ｘ、Ｙ、Ｚ について、どれも１以下ならば、Ｘ＋Ｙ＋Ｚ≦３」
明らかに、Ｘ≦１、Ｙ≦１、Ｚ≦１ ならば、Ｘ＋Ｙ＋Ｚ≦１＋１＋１＝３
なので、対偶命題は真。よって、もとの命題も真である。
命題関数
集合 Ｕ 上で定義された命題 Ｐ(Ｘ) を考える。命題 Ｐ(Ｘ) が真となるような集合
Ｕの要素 Ｘ
の集合を、命題関数 Ｐ(Ｘ) の真理集合といい、Ｐで表す。
それぞれの命題関数の真理集合は次のようになる。
Ｐ(Ｘ)∨Ｑ(Ｘ) ・・・ Ｐ∪Ｑ （ＰとＱの結び（和集合））
Ｐ(Ｘ)∧Ｑ(Ｘ) ・・・ Ｐ∩Ｑ （ＰとＱの共通部分）
¬Ｐ(Ｘ) ・・・ Ｐｃ （Ｐの補集合）
Ｐ(Ｘ) → Ｑ(Ｘ) ・・・ Ｐｃ∪Ｑ
この真理集合の考えを用いると、Ｐ ⇒ Ｑ の証明は視覚的に行うことができる。すなわち、
Ｐ(Ｘ) ⇒ Ｑ(Ｘ) を証明するには、Ｐ⊂Ｑ であることを確かめればよい。
実際に、Ｐ(Ｘ) → Ｑ(Ｘ) の真理集合は、Ｐｃ∪Ｑ であり、命題がトートロジーであることから
Ｐｃ∪Ｑ＝Ｕ に等しい。このとき、
Ｐ＝Ｐ∩Ｕ＝Ｐ∩（Ｐｃ∪Ｑ）＝（Ｐ∩Ｐｃ）∪（Ｐ∩Ｑ）＝Ｐ∩Ｑ⊂Ｑ から、Ｐ⊂Ｑ
逆に、Ｐ⊂Ｑ とすると、Ｕ＝Ｐｃ∪Ｐ⊂Ｐｃ∪Ｑ⊂Ｕ から、Ｐｃ∪Ｑ＝Ｕ
よって、命題 Ｐ(Ｘ) → Ｑ(Ｘ) は、トートロジーである。
（例） ｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜＜１ ならば、Ｘ2＋Ｙ2＜１ であることを証明せよ。
この問題は、真理集合を調べることにより、簡単に示される。
左図より、正方形の内部：｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜＜１ は、
円の内部：Ｘ2＋Ｙ2＜１ に含まれるので、命題は成り立つ。
反例の作り方
命題 Ｐ(Ｘ) → Ｑ(Ｘ) が偽であることを示すには、反例をあげるのが手っ取り早い方法であ
る。Ｐ⊂Ｑ が成り立たないことから、Ｐ(Ｘ)であるが、Ｑ(Ｘ)でないようなＸを一つ探せばよい。
（例） 命題「Ｘ2＝１ ならば Ｘ＝１」は偽である。なぜなら、Ｘ＝−１という反例があるから。
全称命題と存在命題
数学において、「すべての〜」とか「〜であるものが存在する」という形式の命題は数多い。
「すべてのＸに対して、Ｐ(Ｘ)である」という命題を全称命題といい、記号で、∀Ｘ：Ｐ(Ｘ) と書く。
全称命題の真理集合は、全体集合Ｕである。（∀：全称記号（ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ））
「あるＸに対して、Ｐ(Ｘ)である」という命題を存在命題といい、記号で、∃Ｘ：Ｐ(Ｘ) と書く。
存在命題の真理集合は、空でない集合である。（∃：存在記号（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌ ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ））
（例） すべての実数Ｘに対して、Ｘ2≧０
ある実数Ｘに対して、２Ｘ−４＝０
ａ≦ｂ は、存在命題 ∃Ｘ≧０ ： ａ＋Ｘ＝ｂ で表される。
全称命題と存在命題について、次の関係式は基本的である。
¬（∀Ｘ：Ｐ(Ｘ)）＝∃Ｘ：¬Ｐ(Ｘ) （「すべて」の否定は「ある」）
¬（∃Ｘ：Ｐ(Ｘ)）＝∀Ｘ：¬Ｐ(Ｘ) （「ある」の否定は「すべて」）
複雑な命題を考えるとき、文章で与えられたままでは頭が混乱するので、記号化して考えた
方がよい。単純作業で、いろいろな命題に変換できる。
（例） 命題「すべての実数Ｘについて、Ｘ2＞１ ならば、Ｘ＞１ である。」の否定命題を作り、
その真偽を判定せよ。
¬（∀Ｘ：（Ｘ2＞１→Ｘ＞１））＝∃Ｘ：¬（Ｘ2＞１→Ｘ＞１）
＝∃Ｘ：¬（¬（Ｘ2＞１）∨（Ｘ＞１））
＝∃Ｘ：（¬¬（Ｘ2＞１））∧（¬（Ｘ＞１））
＝∃Ｘ：（Ｘ2＞１）∧（Ｘ≦１）
これを、翻訳すれば、「Ｘ2＞１ かつ Ｘ≦１ となる実数Ｘがある。」となる。
たとえば、Ｘ＝−２ が該当するので、この命題は、真である。
（よって、もとの命題は偽ということになる。）
（例） 命題「Ｐ ならば、ＱまたはＲ」は、命題「Ｐかつ（Ｑでない） ならば、Ｒ」と論理的
に同値である。
実際に、Ｐ → Ｑ∨Ｒ ＝（¬Ｐ）∨（Ｑ∨Ｒ）
＝（（¬Ｐ）∨Ｑ）∨Ｒ
＝（（¬Ｐ）∨（¬（¬Ｑ）））∨Ｒ
＝（¬（Ｐ∧（¬Ｑ））∨Ｒ
＝Ｐ∧（¬Ｑ） → Ｒ
これを、「ＸＹ＝０ ならば、Ｘ＝０ または Ｙ＝０ 」に適用してみると、「ＸＹ＝０ かつ
Ｘ≠０ ならば Ｙ＝０ 」という形になり、納得されやすい表現になる。
この（例）における言い換えは、大学入試でよく用いられる技法で、知っている者だけが
非常に有利になる魔法の論理である。
（参考文献：茂木 勇 著 集合と論証（科学新興社）
秋山 仁 著 真理表（数学ライブラリー））