計算する図                        戻る

 レンズは、両側の面が球面になっている透明体である。レンズの軸上にある光点Aから出た
光が、どこに像を生じるかは、光学での一つの興味あるテーマとなっている。

       
 レンズの中心Oから光源Aまでの距離を a、レンズの中心Oから像Bまでの距離を b、レン
ズの中心Oから焦点Fまでの距離を f とすると、次のようなレンズの公式が成り立つ。

             

 ただし、a、b、f は正負をつけて考えるものとする。
光源については、レンズの前方のとき・・・・・ a>0
           レンズの後方のとき・・・・・ a<0
像については、レンズの後方(実像)のとき・・・・・ b>0
          レンズの前方(虚像)のとき・・・・・ b<0
焦点距離(像空間焦点距離)については、凸レンズのとき・・・・・ f>0
                          凹レンズのとき・・・・・ f<0
練習問題を一つやってみよう。

例 焦点距離50cmの凸レンズの前方25cmにある光点の像の位置を求めよ。また、実像か
虚像かを明らかにせよ。
(解) レンズの公式より、b=−50  よって、レンズの前方50cmのところに虚像ができる。
 
 このように、光学の世界では、レンズの公式を解くことが多い。これに対して、次のような計算
図表が知られている。

 上図で、X軸とZ軸、Y軸とZ軸はそれぞれ 60°の角をなす。また、各軸の目盛は同じも
のとする。

計算図表の使い方
 例えば、a=3.8、b=2.3 のとき、 を満たすc の値を求めるには、上図
の赤線に定規をあわせ、c の値を読み取ればよい。 c=1.42 位と読み取れるでしょう。
(実際に、計算で求めると、c=1.432 位

数学的背景    △OAB=△OAC+△OBC より
         (1/2)absin120°=(1/2)acsin60°+(1/2)bcsin60°である。
        よって、ab=ac+bc となり、両辺を abc で割って、
                   
 私が高校のときに学んだ教科書に、次のような問題があった。

 点Oから出る3つの半直線OX、OY、OZがあって、∠XOZ=∠ZOY=60°とする。1つ
の直線が、OX、OY、OZと交わる点をそれぞれA、B、Cとし、OA=a、OB=b、OC=c とお
くとき、
             
が成り立つことを示せ。

 在学中は、単なる面積の公式の応用問題という認識しかなく、その重要性にあまり気づ
かなかった。今はじめてその意味を知り、その性質の素晴らしさに驚いている。

(参考文献:コロソフ著 木村君男 訳 数学課外よみもの(東京図書))


(追記) レンズの公式を用いる問題に最近遭遇した。(平成27年2月16日付け)

 焦点距離 f の凸レンズの左方15cmのところに長さaのローソクをおいたら、凸レンズの右
方に長さ2aの像ができた。このとき、f の値を求めよ。

(解) レンズの公式より、 1/15+1/3f=1/f が成り立つので、両辺を15f 倍して、

   f+5=15  よって、求める焦点距離は、f=10(cm)  (終)