計算する図　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　レンズは、両側の面が球面になっている透明体である。レンズの軸上にある光点Ａから出た
光が、どこに像を生じるかは、光学での一つの興味あるテーマとなっている。

　　　　　　　
　レンズの中心Ｏから光源Ａまでの距離を ａ、レンズの中心Ｏから像Ｂまでの距離を ｂ、レン
ズの中心Ｏから焦点Ｆまでの距離を ｆ とすると、次のようなレンズの公式が成り立つ。

　　　　　　　　　　　　　

　ただし、ａ、ｂ、ｆ は正負をつけて考えるものとする。
光源については、レンズの前方のとき・・・・・　ａ＞０
　　　　　　　　　　　レンズの後方のとき・・・・・　ａ＜０
像については、レンズの後方（実像）のとき・・・・・　ｂ＞０
　　　　　　　　　 レンズの前方（虚像）のとき・・・・・　ｂ＜０
焦点距離（像空間焦点距離）については、凸レンズのとき・・・・・　ｆ＞０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 凹レンズのとき・・・・・　ｆ＜０
練習問題を一つやってみよう。

例　焦点距離５０ｃｍの凸レンズの前方２５ｃｍにある光点の像の位置を求めよ。また、実像か
虚像かを明らかにせよ。
（解）　レンズの公式より、ｂ＝−５０　　よって、レンズの前方５０ｃｍのところに虚像ができる。
　
　このように、光学の世界では、レンズの公式を解くことが多い。これに対して、次のような計算
図表が知られている。

　上図で、Ｘ軸とＺ軸、Ｙ軸とＺ軸はそれぞれ ６０°の角をなす。また、各軸の目盛は同じも
のとする。

計算図表の使い方
例えば、ａ＝３．８、ｂ＝２．３　のとき、		を満たすｃ の値を求めるには、上図
の赤線に定規をあわせ、ｃ の値を読み取ればよい。　ｃ＝１．４２ 位と読み取れるでしょう。 (実際に、計算で求めると、ｃ＝１．４３２　位）

数学的背景　　　　△OAB＝△OAC＋△OBC より
　　　　　　　　　(１/２)ａｂsin１２０°＝(１/２)ａｃsin６０°＋(１/２)ｂｃsin６０°である。
　　　　　　　　よって、ａｂ＝ａｃ＋ｂｃ　となり、両辺を ａｂｃ で割って、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　私が高校のときに学んだ教科書に、次のような問題があった。

　点Ｏから出る３つの半直線ＯＸ、ＯＹ、ＯＺがあって、∠ＸＯＺ＝∠ＺＯＹ＝６０°とする。１つ
の直線が、ＯＸ、ＯＹ、ＯＺと交わる点をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとし、ＯＡ＝ａ、OB＝ｂ、OＣ＝ｃ とお
くとき、
　　　　　　　　　　　　　
が成り立つことを示せ。

　在学中は、単なる面積の公式の応用問題という認識しかなく、その重要性にあまり気づ
かなかった。今はじめてその意味を知り、その性質の素晴らしさに驚いている。

（参考文献：コロソフ著　木村君男　訳　数学課外よみもの（東京図書））