垂線の足の距離                            戻る

 △ABCの辺BC上の点Pより、辺AB、ACに下ろした垂線の足を、それぞれM、Nとおく。

  このとき、

     MN=AP・sinA

 が成り立つ。


(コメント) 何となくスッキリした定理で、知っていると得す
      るような...予感。



 証明は、余弦定理を用いて容易に示すことができる。

(証明) AM=AP・cos α 、 AN=AP・cos β であるので、余弦定理により、

  MN2=AM2+AN2−2AM・AN・cos( α + β )

     =AP2・cos2 α+AP2・cos2 β

        −2AP2・cos α・cos β・cos( α + β )

 ここで、

  cos( α + β )=cos α・cos β−sin α・sin β

 なので、

MN2=AP2・(cos2 α+cos2 β−2cos2 α・cos2 β+2sin α・sin β・cos α・cos β)

   =AP2・(cos2 α・(1−cos2 β)+cos2 β・(1−cos2 α)
                                 +2sin α・sin β・cos α・cos β)

   =AP2・(cos2 α・sin2 β+sin2 α・cos2 β+2sin α・sin β・cos α・cos β)

   =AP2・(sin α・cos β+cos α・sin β)2

   =AP2・sin2( α + β )

      sin( α + β )>0 なので、  MN=AP・sin( α + β )=AP・sinA

が成り立つ。 (証終)

 証明を書き上げて、ボーッと図を眺めていると、上記の証明よりも易しい証明があること
に気づいた。


(別証) 題意より、四角形AMPNは円に内接する四角形で、APが直径である。

    よって、△AMNに正弦定理を適用して、 MN=AP・sinA が成り立つ。 (別証終)


(コメント) こんな別証があるなんて、「ガ〜ン!」ですね!もっとも、こちらの方を先に思い
      浮かぶ方の方が多いかも...。