垂線の足の距離 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　△ＡＢＣの辺ＢＣ上の点Ｐより、辺ＡＢ、ＡＣに下ろした垂線の足を、それぞれＭ、Ｎとおく。

　　このとき、

　　　　　ＭＮ＝ＡＰ・ｓｉｎＡ

　が成り立つ。


（コメント）　何となくスッキリした定理で、知っていると得す
　　　　　　るような．．．予感。



　証明は、余弦定理を用いて容易に示すことができる。

（証明）　ＡＭ＝ＡＰ・ｃｏｓ α　、　ＡＮ＝ＡＰ・ｃｏｓ β　であるので、余弦定理により、

ＭＮ2＝ＡＭ2＋ＡＮ2−２ＡＭ・ＡＮ・ｃｏｓ（ α ＋ β ） 　　　　　＝ＡＰ2・ｃｏｓ2 α＋ＡＰ2・ｃｏｓ2 β 　　　　　　　　−２ＡＰ2・ｃｏｓ α・ｃｏｓ β・ｃｏｓ（ α ＋ β ） 　ここで、 　　ｃｏｓ（ α ＋ β ）＝ｃｏｓ α・ｃｏｓ β−ｓｉｎ α・ｓｉｎ β 　なので、

ＭＮ²＝ＡＰ²・（ｃｏｓ² α＋ｃｏｓ² β−２ｃｏｓ² α・ｃｏｓ² β＋２ｓｉｎ α・ｓｉｎ β・ｃｏｓ α・ｃｏｓ β）

　　　＝ＡＰ²・（ｃｏｓ² α・（１−ｃｏｓ² β）＋ｃｏｓ² β・（１−ｃｏｓ² α）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋２ｓｉｎ α・ｓｉｎ β・ｃｏｓ α・ｃｏｓ β）

　　　＝ＡＰ²・（ｃｏｓ² α・ｓｉｎ² β＋ｓｉｎ² α・ｃｏｓ² β＋２ｓｉｎ α・ｓｉｎ β・ｃｏｓ α・ｃｏｓ β）

　　　＝ＡＰ²・（ｓｉｎ α・ｃｏｓ β＋ｃｏｓ α・ｓｉｎ β）²

　　　＝ＡＰ²・ｓｉｎ²（ α ＋ β ）

　　　　　　ｓｉｎ（ α ＋ β ）＞０　なので、　　ＭＮ＝ＡＰ・ｓｉｎ（ α ＋ β ）＝ＡＰ・ｓｉｎＡ

が成り立つ。　（証終）

　証明を書き上げて、ボーッと図を眺めていると、上記の証明よりも易しい証明があること
に気づいた。


（別証）　題意より、四角形ＡＭＰＮは円に内接する四角形で、ＡＰが直径である。

　　　　よって、△ＡＭＮに正弦定理を適用して、　ＭＮ＝ＡＰ・ｓｉｎＡ　が成り立つ。　（別証終）


（コメント）　こんな別証があるなんて、「ガ〜ン！」ですね！もっとも、こちらの方を先に思い
　　　　　　浮かぶ方の方が多いかも．．．。