直角三角形の三辺が全て整数となるものを、ピタゴラス数という。（詳しくは、こちらを参照）
また、そのような三角形は、ピタゴラス三角形と呼ばれる。
任意の自然数 α＞β に対して、ピタゴラス数は、次の３つの数の組で与えられる。
α2＋β2 、 α2−β2 、 ２αβ
このピタゴラス数を用いて、ヘロン数といわれるものが作られることを最近知った。
三角形の三辺とその面積が全て整数となるものを、ヘロン数といい、そのような三角形は、
ヘロン三角形と呼ばれる。
任意の自然数 α≧β＞γ に対して、次の４つの数の組：
ａ＝（α2＋γ2）β、ｂ＝（β2＋γ2）α、ｃ＝（αβ−γ2)(α＋β）、
Ｓ＝αβγ（αβ−γ2)(α＋β）
は、ヘロン数となる。このヘロン数は、ピタゴラス数を用いて、次のように考えることで容易に
得られる。
（注意） ヘロン数に関して、広島工業大学の大川研究室より、以下のことをご教示頂きま
した。
上記のヘロン数の構成では、ピタゴラス三角形を２つ考えて合成した。したがって、
少なくとも一つの底辺に対する高さが整数となる。しかし、一般のヘロン三角形では、
いつもそうなるとは限らない。どの辺を底辺としても、それに対する高さが整数となら
ない場合がある。例えば、ａ＝５、ｂ＝２９、ｃ＝３０、Ｓ＝７２ の場合である。
ところで、この三角形は、５倍すると、ピタゴラス三角形を２つ組み合わせた三角形
になる。
一般に、ヘロン三角形は、何倍かすると、ピタゴラス三角形の組み合わせとなる。
（追記） 三角形の三辺とその面積が全て整数となるものを、ヘロン数といったが、その
中で、三辺の長さの和（三角形の周の長さ）が面積と等しくなる場合がある。
ピタゴラス数からは、 （５ ， １２ ， １３）、（６ ， ８ ， １０）
実際に、三角形の三辺の長さが、（５ ， １２ ， １３）のとき、
周の長さは、５＋１２＋１３＝３０
面積は、 ５×１２÷２＝３０
で、確かに成り立つ。 （６ ， ８ ， １０）も同様である。
ヘロン数からは、 （７ ， １５ ， ２０）、（６ ， ２５ ， ２９）、（９ ， １０ ， １７）
実際に、三角形の三辺の長さが、（７ ， １５ ， ２０）のとき、
周の長さは、７＋１５＋２０＝４２
面積はヘロンの公式を用いて、
Ｓ2＝２１×１４×６×１＝４２2 より、 Ｓ＝４２
で、確かに成り立つ。 他も同様である。
（コメント） 作問の時に、この事実を知っていると便利ですね！
（追々記） 任意の自然数 α＞β に対して、Ｘ＝α2−β2 、Ｙ＝２αβ とおくと、
Ｘ2＋Ｙ2＝（α2−β2）2＋（２αβ）2=（α2＋β2）2
が成り立つ。
この性質を利用すると、次のような問題にも即答できるだろう。
問題
が自然数となるような ｘ 、 ｙ を求めよ。答は、明らかに、ｘ＝α2−β2、ｙ＝２αβ （α、βは自然数）である。
この問題を少しだけ一般化した次の問題も同様である。
問題
が自然数となるような ｘ 、 ｙ 、ｚ を求めよ。答は、ｘ＝α2＋β2−γ2、ｙ＝２αγ、ｚ＝２βγ （α、β、γは自然数）である。
実際に、
ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＝（α2＋β2−γ2）2＋（２αγ）2＋（２βγ）2
＝α4＋β4＋γ4＋２α2β2−２β2γ2−２γ2α2＋４γ2α2＋４β2γ2
＝α4＋β4＋γ4＋２α2β2＋２β2γ2＋２γ2α2
＝（α2＋β2＋γ2）2
から明らかだろう。
左図のような直方体で、辺と対角線の長さをともに整
数にしたい場合、上記公式は有効である。
（左図では、α＝２、β＝γ＝１ としている。）
（参考文献：深川英俊、ダン・ソコロフスキー 著
日本の数学 何題解けますか？（上） （森北出版））
（追々々記） 平成１９年３月３１日付け
上記の問題で考えた
各辺の長さ、対角線の長さがともに自然数である直方体を見いだす
ことは、いろいろな問題設定で活用出来るだろう。
この話題をもう少し掘り下げることにする。
を、Ｔ とおいて、方程式 ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＝Ｔ2 を考える。上記で、自然数 α、β、γに対して、
ｘ＝α2＋β2−γ2 、 ｙ＝２αγ 、 ｚ＝２βγ 、 Ｔ＝α2＋β2＋γ2
が方程式を満たすことを確認した。 したがって、解は無数にある。
この解の様子から、次の性質の成り立つことが分かる。
（１） ３数 ｘ 、 ｙ 、 ｚ のうち、少なくとも２つは偶数である。
実際に、 自然数の平方数を、４で割った余りは、０ または １ であることから