三角形の面積の公式                   戻る

 三角形の面積の公式といえば、(底辺)×(高さ)÷2 で、お馴染みである。基本的に、面
積の公式は全て、この公式が出発点である。

例1.(三角形の2辺 a 、b とその間の角 θ が分かっているとき)

      S=(1/2)ab・sinθ   ((底辺)=a、(高さ)=b sinθ)


例1.の変形バージョンとしては次の公式が有名だろう。

  △ABC の外接円、内接円の半径をそれぞれ R 、r とすると、

      S=abc/4R=rs

    ただし、sは、三角形の周の長さの半分。



             (証明) S=abc/4R を示すには、正弦定理を用いればよい。

                正弦定理より、 sinθ=c/2R なので、

                  S=(1/2)ab・sinθ=(1/2)ab・(c/2R)=abc/4R

                 S=rs を示すには、△ABCを内接円の中心を頂点とする

                3つの小三角形に分割し、その面積の総和を求めればよい。

                即ち、S=ar/2+br/2+cr/2=(a+b+c)r/2=rs  (証終)

  上記では、正弦定理を用いて、S=abc/4R を示したが、直接的に示す方法も知ら
 れている。

  左図において、 △ABH∽△AKC なので、

      AB : AK = AH : AC

   すなわち、 c : 2R = h : b より、 h=bc/2R

   よって、 S=ah/2=abc/4R

(コメント) 正弦定理を示す手法と同じですね!


例2.(座標平面上で、A( a , b )、B( c , d )、O( 0 ,0 ) のとき)

      S=(1/2)| ad−bc |   (|  |は絶対値を表す)

例3.(ベクトルを用いたとき)

   例2.の3点において、 とおくと、

           

  例3.を用いて、例2.は簡単に導かれる。

例4.(行列式を用いたとき)

   

  その行列式 det(A) は、det(A)=ad−bc なので、

           S=(1/2)|det(A)|

例5.(三角形の三辺 a 、b 、c が分かっているとき)

   ヘロンの公式  

       ただし、sは、三角形の周の長さの半分。

  余弦定理と、例1.の公式を用いて示される。ただ少しばかり、因数分解が大変かもしれ
 ない。

例6.(例5.を初等的に導入)

  △ABHで、三平方の定理より、h2=c2−x2
  △AHCで、三平方の定理より、h2=b2−(a−x)2
 
この2つの式より、
             


 この x を、第1式に代入して、hが求まる。(因数分解の知識を要する。)

 実際に、 4a22=4a22−(c2+a2−b22

           =(2ac+c2+a2−b2)(2ac−c2−a2+b2

           ={(c+a)2−b2}{b2−(c−a)2

           =(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(−a+b+c)

    2s=a+b+c とおくと、

   4a22=2s(2s−2b)(2s−2c)(2s−2a)=16s(s−a)(s−b)(s−c) より、

     a22=4s(s−a)(s−b)(s−c)

  この結果を、S=(1/2)ah に代入して、

     ヘロンの公式   が得られる。


(参考文献: 石谷 茂 著 行列と行列式で楽しむ(現代数学社))


(追記) 平成25年11月25日付け

 今までヘロンの公式というと、

      (ただし、 2s=a+b+c )

の形でしか認識していなかったが、もっと別な形があることを、ある計算をしているときに気
づかされた。すなわち、次の式が成り立つ。

  16S2=(a2+b2+c22−2(a4+b4+c4

(証明) ヘロンの公式より、 2s=a+b+c に対して、

  16S2=2s(2s−2a)(2s−2b)(2s−2c)

      =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

      ={(b+c)2−a2}{a2−(b−c)2

      =−a4+{(b+c)2+(b−c)2}a2−(b+c)2(b−c)2

      =−a4+2(b2+c2)a2−b4+2b22−c4

      =−a4−b4−c4+2a22+2b22+2c22

      =(a2+b2+c22−2(a4+b4+c4)  (証明)


(コメント) この式変形により、ヘロンの公式に解析的な手法が適用可となる。今、そのよう
      な問題を考察中である。

 ヘロンの公式が適用されるのは、辺の長さがすべて整数の場合と相場が決まっているが、
上記のような公式の形であれば、辺の長さに多少平方根などの無理数があっても計算の大
変さはそれほどでもないだろう。

例 △ABCにおいて、3辺の長さが であるとき、△ABCの面積を求めよ。

(解) 16S2=(2+3+6)2−2(4+9+36)=121−98=23 より、

     S=(√23)/4  (終)

(別解) cosθ=(2+3−6)/(2)=−1/(2) より、 sinθ=(√23)/(2

    よって、 S=(1/2)・(√23)/(2)=(√23)/4  (終)


(追記) 上記において、ベクトルを用いた三角形の面積の公式(例3)から、成分表示の
   (例2)は簡単に導かれると書いたが、(例2)そのものは、極座標系で考えた方が、
   はるかに簡単に導かれる。

  実際に、下図において、OA=L、OB=M とすると、△OAB の面積は、

三角形の面積  S=(1/2)|LMsin(β−α)|

  =(1/2)|LM(sinβcosα−cosβsinα)|

  =(1/2)|Msinβ・Lcosα−Mcosβ・Lsinα)|

 ここで、A(a,b)、B(c,d) とすれば、

                   a=Lcosα 、b=Lsinα 、c=Mcosβ 、d=Msinβ

                  なので、  S=(1/2)| ad−bc |

(再追記) 例6.において、ヘロンの公式の初等的証明を示したが、次のような証明がある
      ことを最近知った。

       ヘロンの公式における s−a、s−b、s−c の意味が分かって、思わず唸って
      しまった。

       正直に告白すると、s−a などが、図形的にどんな意味があるのか、今まで深
      く考えたことはなかった......f(^_^)

       以下の証明では、この認識がキーポイントになっている。

 △ABC において、BC=a、CA=b、AB=c
とし、2s=a+b+c により、s を定める。
 
 △ABC の内心を、I 、半径を r とする。

 I から各辺に下ろした垂線の足をそれぞれP、
Q、R とする。

 また、左図のように、2つの線分のなす角を
α、β、γ とする。

  1つの頂点から引いた接線の長さは等しい
 から、BP+CQ+AR=s が成り立つ。

 このとき、BP=s−CQ−AR=s−CQ−AQ=s−CA=s−b である。

同様にして、 CQ=s−c 、 AR=s−a が成り立つ。

α+β+γ=π なので、
                 
よって、分母を払って、
               
したがって、
       α+β+γ=π ならば、 

が成り立つ。このとき、

             
が成り立つので、
            

したがって、求める△ABC の面積 S は、

            
で与えられる。

(注) とてもスッキリした証明で、エレガントですね!

(参考文献:浅見 汎 著 ヘロンの公式を導く(啓林 高数編 No.205) (啓林館))


(再々追記)  三角形の面積の公式の例2:

 (座標平面上で、A( a , b )、B( c , d )、O( 0 ,0 ) のとき)

      S=(1/2)| ad−bc |   (|  |は絶対値を表す)

は、ベクトルを用いたり(例3)、三角関数の加法定理を用いたり(追記)、いろいろな証明法

がある。最近、この証明を図形を用いて示した方がおられることを、偶然次のホームページ

で知った。

   取れたて通信 杜陵サークル2003年6月例会

 幾何的に鮮やかな証明であるので、ここで是非紹介したいと思う。

三角形の代わりに平行四辺形で示すことにする。


   左図のように、平行四辺形を切り分け、
  4つの三角形において、等積変形を行い、
  直角三角形にする。












   左図のように、左上図の右側、上側に
  あった直角三角形を、それぞれ左側、下
  側に平行移動させる。











 求める平行四辺形の面積は、左下図において、長方形3つ分の面積に等しい。
よって、
       S=a×d−c×b=ad−bc
である。

(注) 何となく、ad−bc の意味が分かったような気がします!


(再々々追記)・・・平成18年2月12日付け

 上記において、ヘロンの公式の証明を2つほどあげたが、次のような証明も興味深い。

 △ABC において、BC=a、CA=b、AB=c とし、2s=a+b+c により、s を定める。

ここでも、やはり、 AG=s−a 、BH=s−b という事実が有効である。

(証明)  いま、△ABCの辺BCに接する傍接円 I を考え、

    その半径を r とする。

    このとき、△IKB∽△BHI なので、

       IK : BK=BH : IH が成り立つ。

    また、AL=s なので、 BK=BL=s−AB となり、

       BK=s−c

    である。 よって、 BH=s−b なので、

      r : s−c = s−b : r から、

           

    が成り立つ。

 また、△AGI∽△ALI より、 IG : IL=AG : AL なので、 r : r = s−a : s

よって、 rs=r (s−a) が成り立つ。

 △ABCの面積をSとすると、 S=rs なので、 S=r (s−a)

したがって、 S2=S・S=rs・r (s−a)=s(s−a)(s−b)(s−c) より

  ヘロンの公式  

を得る。(証終)

この証明の副産物として、次の美しい定理が成り立つ。

        

   ただし、r、 r、 r は上記と同様に定まる傍接円の半径とする。

(証明)
      、 、

  なので、

  1/r+1/r+1/r=r(1/(s−b)(s−c)+1/(s−c)(s−a)+1/(s−a)(s−b))

               =r/(s−a)(s−b)(s−c)・{s−a+s−b+s−c}

               =rs/(s−a)(s−b)(s−c)

               =S/(S2/s)

               =s/S

               =1/r

 が成り立つ。

(コメント) この公式を眺めていると、「内接円のある性質 」で得られた公式

          1/hA+1/hB+1/hC=1/r
(ただし、hA、hB、hCは、△ABCの頂点 A、B、C より各対辺に下ろした垂線の長さである。)

 に形が似ていることに気づかされる。何か深遠なる法則で統制されているように感じる。

(参考文献: 中村文則氏(札幌旭丘高校)のHP「三角形の面積をひも解く」)


 三角形の内接円の半径は、三角形の面積を利用して簡単に求められる。

  △ABCにおいて、内接円の半径を r 、三角形
の周の長さの半分を p とすると、

   △ABC=p・r

が成り立つからである。

 ただし、 p=(a+b+c)/2

また、

 円外の1点から円に引いた接線の長さは等しい

ので、点Cから引いた接線の長さ x は、 x=(a+b−c)/2 で求められる。

 特に、C=90°の直角三角形の場合は、x=r なので、面積を利用しなくても、内接円の

半径 r は、 r=(a+b−c)/2 と求められる。

 この公式は、接線の長さを用いるのが最速であるが、△ABC=p・r からも求めることが
できる。

 C=90°の直角三角形なので、 △ABC=ab/2

 よって、 ab/2=r・(a+b+c)/2 より、 ab=r・(a+b+c)

 また、三平方の定理より、 a2+b2=c2 なので、 (a+b)2−2ab=c2

 よって、 2ab=(a+b)2−c2=(a+b+c)(a+b−c) なので、

    (a+b+c)(a+b−c)/2=r・(a+b+c)

  したがって、 r=(a+b−c)/2 が成り立つ。


(追記) 当HP読者のK.S.さんが、「三角形の面積の公式」をまとめられた。
                                      (平成24年2月25日付け)

 上記にはない公式も含まれ、興味は尽きない...。参考になります。K.S.さんに感謝し
ます。

(1) S=底辺×高さ÷2 (小学生)

(2) S=(1/2)ah (中学生)

(3) S=(1/2)absinC (三角比)

(4) S=abc/(4R) (R:外接円の半径)

(5) S=(a+b+c)r/2=sr (r:内接円の半径)

(6) S=√(s(s−a)(s−b)(s−c) (ヘロンの公式)

(7) S=√(r・r・r・r) (r、r、r:傍接円の半径)

(8) S=(1/2)a2sinBsinC/sin(B+C) (1辺と両端角)

(9) S=(1/2)√(|22−(2) (ベクトル)

(10) S=(1/2)|x12−x21| (平面ベクトル)

(11) S=(1/2)|AB×AC| (空間ベクトル)

(12) S=(1/2)|Im(Z12~)|=(1/4)|Z12~−Z1~Z2| (複素平面)

(13) S=△ABC=△PAB+△PBC+△PCA (符号付き面積)


(追記) 当HP読者のK.S.さんから、「四角形の面積の公式」をメールで頂いた。
                                      (平成25年6月22日付け)

 特別な場合の公式であるが、私の高校時代、教科書に載っていたような気がする。K.S.
さんに感謝します。

 四角形ABCDにおいて、対角線ACとBDのなす角をθとするとき、面積Sは、

    S=(1/2)AC・BDsinθ

で与えられる。

 証明は、対角線に平行な平行四辺形(頂点ABCDを辺上にもつ)を作ると、平行四辺形の
半分になる事からわかる。