四角形の分割　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　幾何の問題において、「等積変形」という言葉は有名であるが、その意外な使い方に今日
初めて気がついた。作図問題においても、この等積変形が活躍するとは、ただ驚くばかりで
ある。

　等積変形


　　　左図において、

　　　　　△ＡＢＣ＝△Ａ’ＢＣ

　　　が成り立つ。



　このページでは、次のような問題を考える。

問題　　一般の四角形を頂点を通る直線で等分割したい。どのように直線を引けばよいか？

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　黄色い部分の面積＝水色の部分の面積

　この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。

　　　対角線ＢＤの中点を、Ｅ とする。さらに、Ｅ を

　　通り、対角線ＡＣに平行な直線ＦＧを引く。

　　このとき、直線ＡＧが求める直線である。

　　　実際に、△ＡＢＥ＋△ＢＣＥは、四角形の面積

　　の半分であるが、等積変形により、左図におい

　　て、黄緑色の部分は、同じ面積である。

　　よって、△ＡＢＥ＋△ＢＣＥ＝△ＡＢＧ　が成立。

　（補足）　△ＡＢＥ＋△ＢＣＥが、四角形の面積の半分であることは、

　　　　　　　　△ＡＢＥ＝△ＡＤＥ　、　△ＢＣＥ＝△ＤＣＥ

　　　　から明らかであろう。これは、高さの等しい２つの三角形の面積比は底辺の長さの比
　　　　に等しいことから分かる。

　　　　　この事実を効果的に用いる問題が、平成２１年９月１３日放送の「熱血！平成教育
　　　　学院」（ＮＴＶ系）で出題された。


　　　長方形ＡＢＣＤ内の点Ｐと各辺の中点

　　を結び四角形を分割したら、左図のよう

　　な面積となった。このとき、

　　四角形ＰＬＣＭの面積を求めよ。





この問題に対して、右図のような補助線を引いて考えることがポイントとなる。

　右図において、

　四角形ＰＬＣＭ

＝四角形ＰＫＢＬ＋四角形ＰＭＤＮ

　−四角形ＰＮＡＫ

＝４５＋２０−３８

＝２７（ｃｍ2）
　　		 　　　　　

（コメント）　一瞬求められそうにないような雰囲気ですが、図形の性質を上手く使うと、こん
　　　　　　なにも鮮やかに解けるんですね！


（追記）　冒頭の問題では直線が頂点を通る場合であったが、より一般な場合はどうであろ
　　　　　うか？それが次の問題である。

問題　　一般の四角形を、辺上の１点を通る直線で等分割したい。どのように直線を引けば
　　　　よいか？
　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　黄色い部分の面積＝水色の部分の面積

　この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。

　　　 対角線ＢＤの中点を、Ｅ とする。
　　 Ｅを通り、対角線ＡＣに平行な直線ＦＧを引く。
　　 直線ＰＣに平行な直線ＦＨ を引く。
　　 このとき、求める直線は、直線ＰＨ である。

　　　 実際に、△ＡＢＥ＋△ＢＣＥは、四角形の面積の
　　半分であるが、等積変形により、
　　　　　　　　　△ＡＦＥ＝△ＣＦＥ　なので、
　　　　　　△ＡＢＥ＋△ＢＣＥ＝△ＢＣＦ　である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 左図において、等積変形により、黄緑色の部分は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 同じ面積である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　したがって、△ＢＣＦ＝△ＰＢＨ　が成立。

（再追記）　同様の問題が三角形においても考えられる。

問題　　一般の三角形を、辺上の１点を通る直線で等分割したい。どのように直線を引けば
　　　　よいか？
　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　黄色い部分の面積＝水色の部分の面積

　この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。


　　　　　底辺ＡＢの中点をＭとし、直線ＣＰに平行な直線
　　　　ＭＮを引く。
　　　　このとき、求める直線は、直線ＰＮ である。

　　　　　実際に、△ＡＭＣは、三角形の面積の半分であ
　　　　るが、等積変形により、左図において、黄緑色の
　　　　部分は、同じ面積である。
　　　　　したがって、△ＡＭＣ＝△ＡＰＮ　が成立。



（注）　辺上の１点を通る直線を ｎ−１ 本引いて、面積を ｎ 等分したい場合は、辺ＡＢを ｎ
　　　等分して、上と同様に作図すればよい。

問題　　一般の三角形を、１つの辺に垂直な直線で等分割したい。どのように直線を引けば
　　　　よいか？
　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　黄色い部分の面積＝水色の部分の面積

　この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。

　　　辺ＢＣの中点Ｍにおいて、長さＢＭの垂線
　　ＭＤを引く。辺ＢＣ上に、ＢＥ＝ＢＤとなる点Ｅ
　　をとる。辺ＡＣに平行な直線ＥＦを引く。線分
　　ＢＦを直径とする半円Ｏを描き、その円周上
　　に点Ｇを、辺ＡＢと線分ＥＧが垂直になるよう
　　にとる。辺ＡＢ上に、ＢＨ＝ＢＧとなる点Ｈをと
　　る。このとき、点Ｈにおける垂線ＨＫが求める
　　垂線である。

　　　実際に、ＢＣ2：ＢＥ2＝２：１　なので、
　　△ＢＥＦは、三角形の面積の半分である。
　　　また、△ＢＦＧは直角三角形で、線分ＧＬは、
　　斜辺ＢＦの垂線なので、
　　　　　△ＢＬＧ∽△ＢＧＦ　が成り立つ。
　　よって、
　　　　　　　ＢＧ2＝ＢＦ・ＢＬ　が成り立つ。
　このとき、△ＢＫＨ：△ＢＥＬ＝ＢＨ2：ＢＬ2＝ＢＧ2：ＢＬ2＝ＢＦ・ＢＬ：ＢＬ2＝ＢＦ：ＢＬ　である。
ところで、△ＢＥＦ：△ＢＥＬ＝ＢＦ：ＢＬ　なので、したがって、△ＢＫＨ＝△ＢＥＦ　が成り立つ。

（再々追記）　

問題　　一般の三角形の面積を、平行な２直線で３等分に分割したい。どのように直線を
　　　　引けばよいか？
　　　　　　　　　　　　　　

　この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。

　　　辺ＡＢの中点Ｍにおいて、半径ＡＭの半円を描く。
　　辺ＡＢを３等分し、その等分点Ｄ、Ｅにおける垂線と
　　半円との交点を、Ｆ、Ｇとする。
　　　辺ＡＢ上に、ＡＰ＝ＡＦ、ＡＱ＝ＡＧ　となる点Ｐ、Ｑ
　　をとる。２点Ｐ、Ｑにおいて、辺ＢＣと平行な直線ＰＲ、
　　ＱＳを引く。この２直線がもとめるものである。

　　　実際に、ＡＢ＝３　とすると、１：ＦＤ＝ＦＤ：２　より、
　　ＦＤ2＝２　なので、ＡＰ2＝ＡＦ2＝３
　　同様にして、ＡＱ2＝ＡＧ2＝６
　　　　　　　　このとき、△ＡＰＲ：△ＡＱＳ：△ＡＢＣ＝ＡＰ2：ＡＱ2：ＡＢ2＝３：６：９＝１：２：３
　　　　　　　よって、直線ＰＲ、ＱＳは、△ＡＢＣの面積を、３等分している。

　次の２つの問題は、面積の分割とは違うが、等積図形をうまく図形に組み合わせて、
１つの図形を形作るという意味で、同じ範疇の問題と考えていいだろう。

問題　　一般の三角形において、同じ面積をもつ平行四辺形を作れ。

　　　　　　　　　　　　　　

　この問題に対して、次のように作図すればよい。

　　　辺ＡＢの中点をＭとし、平行四辺形ＭＢＣＤを作れ
　　ばよい。

　　　実際に、辺ＭＤと辺ＡＣの交点をＮとすると、
　　△ＡＭＮ≡△ＣＤＮ　で、面積は等しい。





問題　　一般の平行四辺形において、同じ面積をもつ別の平行四辺形を作れ。

　　　　　　　　　　　　　　

　この問題に対して、次のように作図すればよい。

　　　辺ＡＢ上の任意の点Ｅにおいて、辺ＡＤと平行
　　な直線が辺ＣＤと交わる点をＦとする。ＢＦの延
　　長とＡＤの延長との交点をＧとする。平行四辺形
　　ＡＢＩＧにより、点 Ｉ を決める。平行四辺形ＦＣＩＨ
　　により、点Ｈを決める。
　　　このとき、平行四辺形ＥＢＩＨが求めるものであ
　　る。

　　　実際に、等積変形により、左図において、黄緑
　　色の部分は、同じ面積なので、明らか。


　次の問題も、面積の分割とは違うが、等積図形を作る方法としては面白い。

問題　　一般の長方形において、同じ面積をもつ正方形を作れ。

　　　　　　　　　　　　　 　

　この問題に対して、次のように作図すればよい。

　　　ＡＤの延長上に、ＤＣ＝ＤＥ　となる点Ｅ を
　　とる。線分ＡＥの中点を、Ｍとする。Ｍを中
　　心とする半径ＡＭの半円とＣＤの延長との
　　交点をＦとする。
　　　このとき、正方形ＤＦＧＨが、求めるもの
　　である。

　　　実際に、左図において、
　　　　　　　　　　ＡＢ＝２ａ、ＢＣ＝２ｂ
　　とすると、
　　　　　　　　　　ＭＤ＝ｂ−ａ
　　ＦＭ＝ＥＭ＝ａ＋ｂ　なので、
　　　　　　ＦＤ2＝（ａ＋ｂ）2−（ｂ−ａ）2＝４ａｂ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって、長方形と正方形の面積は等しい。

（参考文献：野口健助　著　平面画法入門（日刊工業新聞社））