四角形の分割                         戻る

 幾何の問題において、「等積変形」という言葉は有名であるが、その意外な使い方に今日
初めて気がついた。作図問題においても、この等積変形が活躍するとは、ただ驚くばかりで
ある。

 等積変形


   左図において、

     △ABC=△A’BC

   が成り立つ。



 このページでは、次のような問題を考える。

問題  一般の四角形を頂点を通る直線で等分割したい。どのように直線を引けばよいか?

           

              黄色い部分の面積=水色の部分の面積

 この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。

   対角線BDの中点を、E とする。さらに、E を

  通り、対角線ACに平行な直線FGを引く。

  このとき、直線AGが求める直線である。

   実際に、△ABE+△BCEは、四角形の面積

  の半分であるが、等積変形により、左図におい

  て、黄緑色の部分は、同じ面積である。

  よって、△ABE+△BCE=△ABG が成立。

 (補足) △ABE+△BCEが、四角形の面積の半分であることは、

        △ABE=△ADE 、 △BCE=△DCE

    から明らかであろう。これは、高さの等しい2つの三角形の面積比は底辺の長さの比
    に等しいことから分かる。

     この事実を効果的に用いる問題が、平成21年9月13日放送の「熱血!平成教育
    学院」(NTV系)で出題された。


   長方形ABCD内の点Pと各辺の中点

  を結び四角形を分割したら、左図のよう

  な面積となった。このとき、

  四角形PLCMの面積を求めよ。





この問題に対して、右図のような補助線を引いて考えることがポイントとなる。

 右図において、

 四角形PLCM

=四角形PKBL+四角形PMDN

 −四角形PNAK

=45+20−38

=27(cm2
  
     

(コメント) 一瞬求められそうにないような雰囲気ですが、図形の性質を上手く使うと、こん
      なにも鮮やかに解けるんですね!


(追記) 冒頭の問題では直線が頂点を通る場合であったが、より一般な場合はどうであろ
     うか?それが次の問題である。

問題  一般の四角形を、辺上の1点を通る直線で等分割したい。どのように直線を引けば
    よいか?
              

              黄色い部分の面積=水色の部分の面積

 この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。

    対角線BDの中点を、E とする。
   Eを通り、対角線ACに平行な直線FGを引く。
   直線PCに平行な直線FH を引く。
   このとき、求める直線は、直線PH である。

    実際に、△ABE+△BCEは、四角形の面積の
  半分であるが、等積変形により、
         △AFE=△CFE なので、
      △ABE+△BCE=△BCF である。
                          左図において、等積変形により、黄緑色の部分は、
                          同じ面積である。
                           したがって、△BCF=△PBH が成立。

(再追記) 同様の問題が三角形においても考えられる。

問題  一般の三角形を、辺上の1点を通る直線で等分割したい。どのように直線を引けば
    よいか?
              

              黄色い部分の面積=水色の部分の面積

 この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。


     底辺ABの中点をMとし、直線CPに平行な直線
    MNを引く。
    このとき、求める直線は、直線PN である。

     実際に、△AMCは、三角形の面積の半分であ
    るが、等積変形により、左図において、黄緑色の
    部分は、同じ面積である。
     したがって、△AMC=△APN が成立。



(注) 辺上の1点を通る直線を n−1 本引いて、面積を n 等分したい場合は、辺ABを n
   等分して、上と同様に作図すればよい。

問題  一般の三角形を、1つの辺に垂直な直線で等分割したい。どのように直線を引けば
    よいか?
              

             黄色い部分の面積=水色の部分の面積

 この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。

   辺BCの中点Mにおいて、長さBMの垂線
  MDを引く。辺BC上に、BE=BDとなる点E
  をとる。辺ACに平行な直線EFを引く。線分
  BFを直径とする半円Oを描き、その円周上
  に点Gを、辺ABと線分EGが垂直になるよう
  にとる。辺AB上に、BH=BGとなる点Hをと
  る。このとき、点Hにおける垂線HKが求める
  垂線である。

   実際に、BC2:BE2=2:1 なので、
  △BEFは、三角形の面積の半分である。
   また、△BFGは直角三角形で、線分GLは、
  斜辺BFの垂線なので、
     △BLG∽△BGF が成り立つ。
  よって、
       BG2=BF・BL が成り立つ。
 このとき、△BKH:△BEL=BH2:BL2=BG2:BL2=BF・BL:BL2=BF:BL である。
ところで、△BEF:△BEL=BF:BL なので、したがって、△BKH=△BEF が成り立つ。

(再々追記) 

問題  一般の三角形の面積を、平行な2直線で3等分に分割したい。どのように直線を
    引けばよいか?
              

 この問題に対して、直線を、次のように作図すればよい。

   辺ABの中点Mにおいて、半径AMの半円を描く。
  辺ABを3等分し、その等分点D、Eにおける垂線と
  半円との交点を、F、Gとする。
   辺AB上に、AP=AF、AQ=AG となる点P、Q
  をとる。2点P、Qにおいて、辺BCと平行な直線PR、
  QSを引く。この2直線がもとめるものである。

   実際に、AB=3 とすると、1:FD=FD:2 より、
  FD2=2 なので、AP2=AF2=3
  同様にして、AQ2=AG2=6
        このとき、△APR:△AQS:△ABC=AP2:AQ2:AB2=3:6:9=1:2:3
       よって、直線PR、QSは、△ABCの面積を、3等分している。

 次の2つの問題は、面積の分割とは違うが、等積図形をうまく図形に組み合わせて、
1つの図形を形作るという意味で、同じ範疇の問題と考えていいだろう。

問題  一般の三角形において、同じ面積をもつ平行四辺形を作れ。

              

 この問題に対して、次のように作図すればよい。

   辺ABの中点をMとし、平行四辺形MBCDを作れ
  ばよい。

   実際に、辺MDと辺ACの交点をNとすると、
  △AMN≡△CDN で、面積は等しい。





問題  一般の平行四辺形において、同じ面積をもつ別の平行四辺形を作れ。

              

 この問題に対して、次のように作図すればよい。

   辺AB上の任意の点Eにおいて、辺ADと平行
  な直線が辺CDと交わる点をFとする。BFの延
  長とADの延長との交点をGとする。平行四辺形
  ABIGにより、点 I を決める。平行四辺形FCIH
  により、点Hを決める。
   このとき、平行四辺形EBIHが求めるものであ
  る。

   実際に、等積変形により、左図において、黄緑
  色の部分は、同じ面積なので、明らか。


 次の問題も、面積の分割とは違うが、等積図形を作る方法としては面白い。

問題  一般の長方形において、同じ面積をもつ正方形を作れ。

               

 この問題に対して、次のように作図すればよい。

   ADの延長上に、DC=DE となる点E を
  とる。線分AEの中点を、Mとする。Mを中
  心とする半径AMの半円とCDの延長との
  交点をFとする。
   このとき、正方形DFGHが、求めるもの
  である。

   実際に、左図において、
          AB=2a、BC=2b
  とすると、
          MD=b−a
  FM=EM=a+b なので、
      FD2=(a+b)2−(b−a)2=4ab
                            よって、長方形と正方形の面積は等しい。

(参考文献:野口健助 著 平面画法入門(日刊工業新聞社))