曲線に遊ぶ                               戻る

 曲線の概形を思い通りに描けるようになったのは、私の場合、高校3年生の頃であろう
か。微分という武器を用いて、種々の曲線の概形を描くことは密かな楽しみでもあった。

 ただ、全てが手計算によるものなので、あまり複雑なものを描くことはできなかった。

 昨今の描画ソフトの進歩は著しい。関数式さえ分かれば、あんなものも、こんなものもと
いうくらいに鮮やかに描いてくれる。

 このページでは、昔出来なかったことを描画ソフトを武器としていろいろな曲線の概形に
挑戦したいと思う。

 標準的な曲線の概形については、当HPの中の「いろいろな曲線」にまとめられている。

 また、これから描かれる曲線の方程式には、ガウスの記号やら絶対値やらが複雑に絡
み合ってくる。その結果として、思いもかけない美しい曲線の概形が出現するわけで、ほ
とんど感動的な出会いになると思う。

例 (x−[ x+1/2 ])2+(y−[ y+1/2 ])2=1/16

       

(コメント) たった一つの関数式で、平面上無限に広がる円が描けるわけで、「これはスゴ
      イ!」と思いました。こんなことに感動できる感性を大切にしたいですね!

例 (x−[ x+1/2 ])2+(y−[ y+1/2 ])2=5/16

      

(コメント) 右辺の数字が、1/16 から5/16 に変わっただけなのに模様がガラリと様変わ
      りですね!でも、じっと見つめていると、やはり無数の円が...。

例 (x−2|x|/x)2+(y−2|y|/y)2=5

           

(コメント) 式は絶対値を使って込みいっているのに、出来る図形は単純!できれい。
      この形は星芒形に似ているが、関係はなさそう...?

例 4−x4−4y2+9x2=0

        

(コメント) この曲線は、悪魔の曲線と言われるそうだ。(何でだろう?)
      x2 や y2 の係数をいろいろ変えてみると結構面白い!

(追記) 平成21年9月4日付け

    上図ではグラフ描画ソフトを用いたので、うっかり漸近線が存在することを忘れてし
   まった。このことを、広島工業大学の大川研究室よりご指摘いただいた。大川研究室
   に感謝します。

     上記の曲線は、漸近線として、 y=±x を持つ。

    実際に、 y4−x4−4y2+9x2=0 より、

         (y/x)4−1−4(y/x)2・(1/x)2+9/x2=0

      よって、 x → ±∞ のとき、 y/x → ±1

      さらに、分子の有理化を2回行うことにより、

         x → ±∞ のとき、 y±x → 0 であることが分かる。

      よって、曲線 y4−x4−4y2+9x2=0 は、漸近線 y=±x を持つ。 (終)


例 (x2+y2+12x+9)2−4(2x+3)3=0

        

(コメント) この曲線は、三尖点曲線と言われるそうだ。
      フリーハンドでも書けそうな図だが、微妙な曲線が数学らしい!

例 2(4−x2)−(x2−4y−2)2=0

         

(コメント) この曲線は、2角曲線と言われるそうだ。
      角と言われれば角だが、耳にも見えるネ!


  以下、工事中