絶対値について                        戻る

 分かってしまえば何でもないが、分かるまでが大変だというものの代表が「絶対値」であ
ろう。その理由として、絶対値の教え方がいろいろあることに原因があると思われる。

 初期の段階では、実数の絶対値とは、その数から負の符号を取り除いたものとして教え
られる。このような考え方は、絶対値の本来の意味に根ざすもので、生徒自身にとっても
理解しやすいと思う。

 中学校で初めて、正の数、負の数を学ぶが、たとえば、「+6−(+3)」のような計算に
おいて、殊更に、正の数を「+6」と書くのは、絶対値定着のための布石なのだろう。
 
 実数は、   のように、符号と絶対値の対で表される。
  (符号) (絶対値)  

 しかしながら、高校に入ると、このような教え方は通常なされない。

形式的に次のように定義される。

    X≧0 のとき、 |X|=X 、X<0 のとき、 |X|=−X

 形式的な定義を補足する方法として、|X| は、数直線上で、原点O(0)と点P(X)との距
離を表すという認識もあるが、絶対値本来の意味からすれば、その分かりにくさは、五十
歩百歩であろう。

 特に、|5|=5 などの場合、問題はないが、|−5|=−(−5)=5 という計算は、生徒に
とって理解に苦しむ計算のようだ。距離の考えを用いて、|−5|=0−(−5)=5 としても
焼け石に水である。

 このように習得するまで大変な絶対値も、その応用を見るとき、非常に魅惑的な働きを
することに気づかされる。絶対値の華麗な働きを見ずに、単に形式的に絶対値というもの
を教えられるので、多分定着率も悪いのだろう。

 生徒は、必要と認識するものの吸収はすこぶるよいので、応用例をもっと教科書等に散
りばめれば、少しは定着率の改善に役立つのではないだろうか?

 絶対値のついた関数 Y=|X| のグラフは下図のようになる。

   絶対値の定義に従って考えれば、容易に
  左図のグラフを書くことができる。

   この場合、関数 Y=X のグラフとの根本
  的な違いに気づく必要がある。

   絶対値のついた関数 Y=|X| のグラフは
  関数 Y=X のグラフにおいて、X軸の下側
  の部分を、X軸に関して折り返して得られる
  というところが本質的である。



 この考え方を用いれば、次の関数のグラフは、難しい計算をしなくても容易に想像できる
だろう。

例 関数 Y=| |X|−2 | のグラフを書け。

 (考え方) 関数 Y=|X|−2 のグラフは、関数 Y=|X| のグラフを Y軸方向に、−2だけ
       平行移動したものである。そのグラフにおいて、X軸の下側の部分を、X軸に関
       して折り返せばよい。
            

例 関数 Y=| | | | X−2 |−1 |−2 |−3 | のグラフを書け。

    

 2つの例からも分かるように、絶対値を用いると、かなり造形的に面白いグラフを書くこと
ができる。

 また、次のような正方形も絶対値を用いて表すことができる。



    左図を表す方程式は、

        | X | + | Y | = a

   で与えられる。

    正方形の内部および周を表す不等式
   は、

       | X | + | Y | ≦ a

   で与えられる。





 絶対値を用いると、次のようなグラフを書くこともできる。なぜかは、読者の練習問題とし
て残しておこう。

例 | | | X |−2 |+ | Y |−2 |=2
      

例 | | | X |−4 |+ | Y |−4 |=2
  

 上記の2例は、第1象限のグラフが基本である。X軸、Y軸を鏡と思うと上のようなグラフが
得られる。

 まるで、万華鏡を見てるような錯覚を覚えるのは私だけだろうか?

 上記のような複雑な図形が、絶対値を用いると、たった1本の式で表現できるということは
筆舌に尽くしがたいほど美しい。

 等式を不等式に変えれば、さらに表情豊かな図形を我々は手に入れることが出来る。

例 | 2 | X | +2 | Y |−3 |≦1

     


 名古屋大学(1974)で次の領域を問う問題が出題された。

    1<| | X |−2 |+| | Y |−2 |<5

 時代はめぐって、大阪大学 前期理系(2013)で、似たような領域の問題が出題された。

    1≦| | X |−2 |+| | Y |−2 |≦3

答えは、下図となる。
         


(コメント) こんなこともあるので、受験って過去問をやる価値はあるのかな?でも受験生は
      40年ほど前の過去問なんて取り組めないよね...。


 高校2年で学ぶ「数学U」において、平面上の2点間の距離の公式を学習する。

 2点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )を結ぶ線分の長さ d は、

     

で与えられる。この距離の定義を用いると、

  2点 O( 0 , 0 )、A( 1 , 1 )から等距離ある点の集まり

は、2点 A、Bを結ぶ線分の垂直2等分線であることが直ちに求められる。

  実際に、条件を満たす点の座標を、( x , y )とすると、

    (x−0)2+(y−0)2=(x−1)2+(y−1)2

  上式を展開して整理すると、 x+y−1=0

   これは、2点 A、Bを結ぶ線分の垂直2等分線である。

      

 ところで、  は、Euclid 距離関数と呼ばれるが、平面上に
定められる距離は、これ以外にもたくさん存在する。

 平面において、距離 d は次の諸条件を満たすものである。

  (1) 任意の2点 A、B に対して、 d ( A , B )≧0

     等号成立は、 A=B のときに限る。

  (2) 任意の2点 A、B に対して、 d ( A , B )=d ( B , A )

  (3) 任意の3点 A、B、C に対して、 d ( A , C )≦D ( A , B )+d ( B , C )

 平面上の2点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )を結ぶ線分の長さを d1 として、上記の条件を
満たし、かつ、Euclid 距離関数以外のものとしては、

       d1 = | x1 − x2 |+| y1 − y2

が有名だろう。この距離 d1 について、先の問題

  2点 O( 0 , 0 )、A( 1 , 1 )から等距離ある点の集まり

は、どうなるであろうか?このような問いかけも数学的に大いに興味があるところである。

 条件を満たす点の座標を、( x , y )とすると、

      | x − 0 |+| y − 0 |=| x − 1 |+| y − 1 |

すなわち、  | x |+| y |=| x − 1 |+| y − 1 |

 (1) x≧1 、y≧1 のとき、 x+y=x−1+y−1 より、 0=−2 で不適。

      よって、 この領域は、求める領域には含まれない。

 (2) x≧1 、0≦y<1 のとき、 x+y=x−1−y+1 より、 y=0

      よって、 y=0 (x≧1 、0≦y<1)は、求める領域には含まれる。

 (3) x≧1 、y<0 のとき、 x−y=x−1−y+1 より、 0=0 で適。

      よって、 x≧1 、y<0 は、求める領域には含まれる。

 (4) 0≦x<1 、y≧1 のとき、 x+y=−x+1+y−1 より、 x=0 で適。

      よって、 x=0 (0≦x<1 、y≧1)は、求める領域には含まれる。

 (5) 0≦x<1 、0≦y<1 のとき、 x+y=−x+1−y+1 より、 x+y=1

      よって、 x+y=1 (0≦x<1 、0≦y<1)は、求める領域には含まれる。

 (6) 0≦x<1 、y<0 のとき、 x−y=−x+1−y+1 より、 x=1 で不適。

      よって、 0≦x<1 、y<0 は、求める領域には含まれない。

 (7) x<0 、y≧1 のとき、 −x+y=−x+1+y−1 より、 0=0 で適。

      よって、 x<0 、y≧1 は、求める領域には含まれる。

 (8) x<0 、0≦y<1 のとき、 −x+y=−x+1−y+1 より、 y=1 で不適。

      よって、 x<0 、0≦y<1 は、求める領域には含まれない。

 (9) x<0 、y<0 のとき、 −x−y=−x+1−y+1 より、 0=2 で不適。

      よって、 x<0 、y<0 は、求める領域には含まれない。

 以上から、求める領域は下図のようになる。

         


(追記) 平成29年1月19日付け

 絶対値関数の驚くべき性質について、最近遭遇したのでまとめておきたい。まず、次の問
題をご覧ください。

 nは整数とする。このとき、

 S(n)=|n−1|+|n−2|+・・・+|n−9|+|n−10| の絶対値を外せ。


(解) n<1 のとき、S(n)=−(n−1)−(n−2)−・・・−(n−10)=−10n+55

 n>10 のとき、 S(n)=(n−1)+(n−2)+・・・+(n−10)=10n−55

 一般に、自然数k(1≦k≦9)に対して、k≦n≦k+1 のとき、

S(n)=(n−1)+・・・+(n−k)−(n−(k+1))−・・・−(n−9)−(n−10)

   =k(2n−k−1)/2−(10−k)(2n−k−11)/2

   =2(kー5)n−k2−k+55  (終)


 この問題について、多分多くの方が上記のように解くであろうと思われる。数学のセンスに
溢れる方は、もしかしたら次のように解くかもしれない。

 n<1、n>10については、上記と同じ。

 1≦n≦10 のとき、

 S(n)=(n−1)+(n−2)+・・・+(n−(n−1))
      −(n−(n+1))−(n−(n+2))−・・・−(n−9)−(n−10)

    =1+2+・・・+(n−1)+(1+2+・・・+(10−n))

    =n(n−1)/2+(10−n)(11−n)/2

    =(n2−n+n2−21n+110)/2

    =n2−11n+55


 このように、S(n)がnの2次式で表されるという事実はあまり知られていないかもしれない。

 次のように考えても、S(n)がnの2次式で表されることに気づかされる。ただし、このような
考えに至ることは通常ないことであろう。


 自然数k(1≦k≦9)に対して、k≦n≦k+1 のとき、

S(k)=(k−1)+・・・+(k−(k−1))−(k−(k+1))−・・・−(k−9)−(k−10)

   =1+2+・・・+(k−1)+1+2+・・・+(10−k)

   =k(k−1)/2+(10−k)(11−k)/2

   =k2−11k+55

 同様にして、

S(k+1)=k+・・・+1−(k+1−(k+2))−・・・−(k−8)−(k−9)

      =k(k+1)/2+1+2+・・・+(9−k)

      =k(k+1)/2+(9−k)(10−k)/2

      =k2−9k+45

 よって、 S(k+1)−S(k)=2k−10、 S(1)=1+2+・・・+9=45 より、

 2≦n≦10 のとき、

 S(n)=45+Σk=1〜n-1(2k−10)=45+n(n−1)−10(n−1)=n2−11n+55

この式は、n=1のときも成り立つ。

 よって、 S(n)=n2−11n+55 である。


 よおすけさんからのコメントです。(平成29年1月19日付け)

 上記の問題を見て、類題がありました。1961年の京都大学理系の5番。

 nが整数であるとき、S=|n−1|+|n−2|+・・・+|n−100|の最小値を求
めよ。また、そのときのnの値を求めよ。


(コメント) 私の職場で絶対値の問題を話題にしたら、ある方が「どこかで解いた覚えがあ
      る」と言われた。多分、これのことだったのかな?


 京都大学の問題を解いてみました。(平成29年1月21日付け)

 n<1 のとき、 S=−(n−1)−(n−2)−・・・−(n−100)=−100n+5050

  よって、n=0 のとき、最小値 5050 をとる。

 n>100 のとき、 S(n)=(n−1)+(n−2)+・・・+(n−10)=100n−5050

  よって、n=100 のとき、最小値 5050 をとる。

 1≦n≦100 のとき、

 S(n)=Σk=1〜n(n−k)+Σk=n+1〜100(−n+k)

   =n2−n(n+1)/2−(100−n)(101−n)/2

   =n2−101n+5050

  よって、n=50、51 のとき、最小値 2500 をとる。

 以上から、求める最小値は、2500


 DD++さんからのコメントです。(平成29年1月20日付け)

 数学的意味を考えれば一分で解ける、京大らしい問題ですね。

 絶対値を数直線上の2点の距離と考えると、明らかに、

  S(50)<S(49)<S(48)<…… 、S(51)<S(52)<S(53)<……

 n=50または51のとき、

 S= (|n-1|+|n-51|) + (|n-2|+|n-52|) + …… + (|n-50|+|n-100|)= 50×50 = 2500

 よって、最小値は 2500 (n=50,51 のとき)


 S(H)さんからのコメントです。(平成29年1月20日付け)

 nは整数で、p=1,2,3,4,5,.... Sum[(Abs[n - k])^p, {k, 1, 100}]  の時の最小値は?


 DD++さんからのコメントです。(平成29年1月20日付け)

 p≧2 なら、二階微分可能で、S''(x)>0 かつ S'(50.5)=0 から S(50.5) が最小なのは明らか。
あとの計算が面倒なだけの問題と思います。

(追記) 実数じゃなく整数限定でしたね。それでも実数拡張したもので同様に考えて、あとは
    対称性から S(50)=S(51) を計算するだけの、やはり面倒なだけの問題……。