絶対値について 
分かってしまえば何でもないが、分かるまでが大変だというものの代表が「絶対値」であ
ろう。その理由として、絶対値の教え方がいろいろあることに原因があると思われる。
初期の段階では、実数の絶対値とは、その数から負の符号を取り除いたものとして教え
られる。このような考え方は、絶対値の本来の意味に根ざすもので、生徒自身にとっても
理解しやすいと思う。
中学校で初めて、正の数、負の数を学ぶが、たとえば、「＋６－（＋３）」のような計算に
おいて、殊更に、正の数を「＋６」と書くのは、絶対値定着のための布石なのだろう。
| 実数は、 | ＋ | ６ | のように、符号と絶対値の対で表される。 | |
| （符号） | （絶対値） | |||
しかしながら、高校に入ると、このような教え方は通常なされない。
形式的に次のように定義される。
Ｘ≧０ のとき、 |Ｘ|＝Ｘ 、Ｘ＜０ のとき、 |Ｘ|＝－Ｘ
形式的な定義を補足する方法として、|Ｘ| は、数直線上で、原点Ｏ（０）と点Ｐ（Ｘ）との距
離を表すという認識もあるが、絶対値本来の意味からすれば、その分かりにくさは、五十
歩百歩であろう。
特に、|５|＝５ などの場合、問題はないが、|－５|＝－（－５）＝５ という計算は、生徒に
とって理解に苦しむ計算のようだ。距離の考えを用いて、|－５|＝０－（－５）＝５ としても
焼け石に水である。
このように習得するまで大変な絶対値も、その応用を見るとき、非常に魅惑的な働きを
することに気づかされる。絶対値の華麗な働きを見ずに、単に形式的に絶対値というもの
を教えられるので、多分定着率も悪いのだろう。
生徒は、必要と認識するものの吸収はすこぶるよいので、応用例をもっと教科書等に散
りばめれば、少しは定着率の改善に役立つのではないだろうか？
絶対値のついた関数 Ｙ＝|Ｘ| のグラフは下図のようになる。
絶対値の定義に従って考えれば、容易に
左図のグラフを書くことができる。
この場合、関数 Ｙ＝Ｘ のグラフとの根本
的な違いに気づく必要がある。
絶対値のついた関数 Ｙ＝|Ｘ| のグラフは
関数 Ｙ＝Ｘ のグラフにおいて、Ｘ軸の下側
の部分を、Ｘ軸に関して折り返して得られる
というところが本質的である。
この考え方を用いれば、次の関数のグラフは、難しい計算をしなくても容易に想像できる
だろう。
例 関数 Ｙ＝| |Ｘ|－２ | のグラフを書け。
（考え方） 関数 Ｙ＝|Ｘ|－２ のグラフは、関数 Ｙ＝|Ｘ| のグラフを
Ｙ軸方向に、－２だけ
平行移動したものである。そのグラフにおいて、Ｘ軸の下側の部分を、Ｘ軸に関
して折り返せばよい。
例 関数 Ｙ＝| | | | Ｘ－２ |－１ |－２ |－３ | のグラフを書け。
２つの例からも分かるように、絶対値を用いると、かなり造形的に面白いグラフを書くこと
ができる。
また、次のような正方形も絶対値を用いて表すことができる。
左図を表す方程式は、
| Ｘ | ＋ | Ｙ | ＝ ａ
で与えられる。
正方形の内部および周を表す不等式
は、
| Ｘ | ＋ | Ｙ | ≦ ａ
で与えられる。
絶対値を用いると、次のようなグラフを書くこともできる。なぜかは、読者の練習問題とし
て残しておこう。
例 | | | Ｘ |－２ |＋ | Ｙ |－２ |＝２
例 | | | Ｘ |－４ |＋ | Ｙ |－４ |＝２
上記の２例は、第１象限のグラフが基本である。Ｘ軸、Ｙ軸を鏡と思うと上のようなグラフが
得られる。
まるで、万華鏡を見てるような錯覚を覚えるのは私だけだろうか？
上記のような複雑な図形が、絶対値を用いると、たった１本の式で表現できるということは
筆舌に尽くしがたいほど美しい。
等式を不等式に変えれば、さらに表情豊かな図形を我々は手に入れることが出来る。
例 | ２ | Ｘ | ＋２ | Ｙ |－３ |≦１
高校２年で学ぶ「数学Ⅱ」において、平面上の２点間の距離の公式を学習する。
２点 Ａ（ ｘ1 ， ｙ1 ）、Ｂ（ ｘ2 ， ｙ2 ）を結ぶ線分の長さ ｄ は、
で与えられる。この距離の定義を用いると、
２点 Ｏ（ ０ ， ０ ）、Ａ（ １ ， １ ）から等距離ある点の集まり
は、２点 Ａ、Ｂを結ぶ線分の垂直２等分線であることが直ちに求められる。
実際に、条件を満たす点の座標を、（ ｘ ， ｙ ）とすると、
（ｘ－０）2＋（ｙ－０）2＝（ｘ－１）2＋（ｙ－１）2
上式を展開して整理すると、 ｘ＋ｙ－１＝０
これは、２点 Ａ、Ｂを結ぶ線分の垂直２等分線である。
ところで、 は、Ｅｕｃｌｉｄ 距離関数と呼ばれるが、平面上に
定められる距離は、これ以外にもたくさん存在する。
平面において、距離 ｄ は次の諸条件を満たすものである。
（１） 任意の２点 Ａ、Ｂ に対して、 ｄ （ Ａ ， Ｂ ）≧０
等号成立は、 Ａ＝Ｂ のときに限る。
（２） 任意の２点 Ａ、Ｂ に対して、 ｄ （ Ａ ， Ｂ ）＝ｄ （ Ｂ ，
Ａ ）
（３） 任意の３点 Ａ、Ｂ、Ｃ に対して、 ｄ （ Ａ ， Ｃ ）≦Ｄ （
Ａ ， Ｂ ）＋ｄ （ Ｂ ， Ｃ ）
平面上の２点 Ａ（ ｘ1 ， ｙ1 ）、Ｂ（ ｘ2 ， ｙ2 ）を結ぶ線分の長さを ｄ1 として、上記の条件を
満たし、かつ、Ｅｕｃｌｉｄ 距離関数以外のものとしては、
ｄ1 ＝ ｜ ｘ1 － ｘ2 ｜＋｜ ｙ1 － ｙ2 ｜
が有名だろう。この距離 ｄ1 について、先の問題
２点 Ｏ（ ０ ， ０ ）、Ａ（ １ ， １ ）から等距離ある点の集まり
は、どうなるであろうか？このような問いかけも数学的に大いに興味があるところである。
条件を満たす点の座標を、（ ｘ ， ｙ ）とすると、
｜ ｘ － ０ ｜＋｜ ｙ － ０ ｜＝｜ ｘ － １ ｜＋｜ ｙ － １
｜
すなわち、 ｜ ｘ ｜＋｜ ｙ ｜＝｜ ｘ － １ ｜＋｜ ｙ － １ ｜
（１） ｘ≧１ 、ｙ≧１ のとき、 ｘ＋ｙ＝ｘ－１＋ｙ－１ より、 ０＝－２ で不適。
よって、 この領域は、求める領域には含まれない。
（２） ｘ≧１ 、０≦ｙ＜１ のとき、 ｘ＋ｙ＝ｘ－１－ｙ＋１ より、 ｙ＝０
よって、 ｙ＝０ （ｘ≧１ 、０≦ｙ＜１）は、求める領域には含まれる。
（３） ｘ≧１ 、ｙ＜０ のとき、 ｘ－ｙ＝ｘ－１－ｙ＋１ より、 ０＝０ で適。
よって、 ｘ≧１ 、ｙ＜０ は、求める領域には含まれる。
（４） ０≦ｘ＜１ 、ｙ≧１ のとき、 ｘ＋ｙ＝－ｘ＋１＋ｙ－１ より、 ｘ＝０ で適。
よって、 ｘ＝０ （０≦ｘ＜１ 、ｙ≧１）は、求める領域には含まれる。
（５） ０≦ｘ＜１ 、０≦ｙ＜１ のとき、 ｘ＋ｙ＝－ｘ＋１－ｙ＋１ より、 ｘ＋ｙ＝１
よって、 ｘ＋ｙ＝１ （０≦ｘ＜１ 、０≦ｙ＜１）は、求める領域には含まれる。
（６） ０≦ｘ＜１ 、ｙ＜０ のとき、 ｘ－ｙ＝－ｘ＋１－ｙ＋１ より、 ｘ＝１ で不適。
よって、 ０≦ｘ＜１ 、ｙ＜０ は、求める領域には含まれない。
（７） ｘ＜０ 、ｙ≧１ のとき、 －ｘ＋ｙ＝－ｘ＋１＋ｙ－１ より、 ０＝０ で適。
よって、 ｘ＜０ 、ｙ≧１ は、求める領域には含まれる。
（８） ｘ＜０ 、０≦ｙ＜１ のとき、 －ｘ＋ｙ＝－ｘ＋１－ｙ＋１ より、 ｙ＝１ で不適。
よって、 ｘ＜０ 、０≦ｙ＜１ は、求める領域には含まれない。
（９） ｘ＜０ 、ｙ＜０ のとき、 －ｘ－ｙ＝－ｘ＋１－ｙ＋１ より、 ０＝２ で不適。
よって、 ｘ＜０ 、ｙ＜０ は、求める領域には含まれない。
以上から、求める領域は下図のようになる。
