ゲームの達人 ゲームの達人                  お茶の時間に戻る

 TV等でマジックの放送があると、つい見入ってしまうのは私だけでしょうか。Mr.マリック
とか大好きですね。彼らはありとあらゆる科学的知識を使って、常識人を欺くわけですが、
その意表をつく構想に「な〜るほど!」と、いつも感嘆させらます。特に、数学が背景にあり
そうなマジックには、職業柄思わず手品の種を考えてしまいますね。
 このページでは、そんなマジック・ゲーム等を集めていきたいと思います。
「こんなのもあるよ!」というのが、もしありましたら、当ホームページ宛メールでご連絡くだ
さい。

1.さいころの目数当てゲーム

     用意するもの: さいころ 2個

  (1) マジシャンは後ろを向いて、さいころが見えないようにする。
  (2) 2つのさいころA、Bを一緒に振り、出た目の数を、見ている人に足してもらう。(X)
  (3) 2つのうちどちらか一方のさいころ(例えば、A)を裏返してもらい、出た目の数を、
     前の合計に足してもらう。(Y)
  (4) (3)で裏返したさいころを、もう一度振ってもらい、出た目の数(A’)を今までの合
     計に足してもらう。(Z)
  (5) マジシャンは、おもむろに前を向いて、今出ているさいころの目の数から、(4)で
     得られた合計を、ぴたりと言い当てる。

  (数学的背景) X=A+B、Y=(7−A)+X=7−A+A+B=7+B、Z=A’+7+B
           A’+Bは、今出ているさいころの目の数の和なので、マジシャンは、それ
           に7を加えればよい。


2.数当てゲーム(1)

     用意するもの: 電卓

  (1) 相手に好きな一桁の数字を一つ選んでもらい、電卓に打ち込んでもらう。
  (2) マジシャンは、相手に次の計算を電卓でやってもらう。
     「自分の選んだ数字に、まず143を掛け、さらに、259を掛けてください。」
  (3) マジシャンは相手から電卓を受け取り、相手に覚られないように次の計算をする。
     受け取った電卓の計算結果に3を掛ける。
  (4) マジシャンは、その数字を見て、相手の好きな数字を言い当てる。

  (数学的背景) 143×259×3=111111 という性質を利用したゲームである。
           (参考 → 連綿と続く1 )


3.数当てゲーム(2)

     用意するもの: カレンダー、はさみ

           

  (1) 相手にカレンダーの中から4×4の正方形をマス目全てに数字が入っているよう
     に選んでもらい、その正方形を切り取ってもらう。
     (このカレンダーの場合、正方形の選び方は全部で4通りある。下図はその一例)

          

  (2) 正方形を、マス目の線に沿って適宜折りたたんでもらい、4辺を少し切り取る。
     (下図は一つの例)

                  

  (3) 手に持った16枚の小片全体の表裏を定める。
  (3) マジシャンに見えないように、表面に書いてある数字を足す。
  (4) マジシャンは、その数を言い当てる。

  (数学的背景) このゲームは、平成17年12月13日放送の「伊東家の食卓」(日本テレ
           ビ系 19:00〜19:58)で出題されたものである。

  答えは必ず、切り取った正方形の左上隅の数と右下隅の数を足し、それを4倍して得ら
 れるという。(上図の例だと、 (5+29)×4=136 が答)

 風見しんごさんからの出題であったが、番組中考え方は示されず、例によって、「伊東家
のお父さん」の「なるものはなる!」で終わってしまった。

 番組を見てその数学的背景に興味を持ったので考えてみた。

 4×4の正方形を線に沿って、どのように折りたたんでも下図のように表・裏の位置が定
まることに気がつけば、その原理を追究することは易しい。
(風見しんごさんは、これを「表裏綾きりの原理」と言っておられた。)

           

 左上隅の数をA、右下隅の数をBとすると、黄色い部分の数の和は

   A+(A+2)+(A+8)+(A+10)+(B−10)+(B−8)+(B−2)+B
  =(A+B)×4

 また、明らかに上図の黄色い部分の数の和と水色の部分の数の和は相等しい。

 したがって、どのように折りたたんでも、どのように裏・表を決めても、その表面にある数
の和は、左上隅の数と右下隅の数を足し、それを4倍して得られることになる。


4.トランプマジック

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、トランプマジックを考案された。

 数学的構造を活かせるマジックができないものかと挑戦されて、以下の手順を考えられ
たとのこと。

 是非一度トランプを手にしてやってみて下さい。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成20年11月29日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


     用意するもの: トランプ

*デックのセット方法(裏向きトップよりの順)

   赤カード : 3 、 4 、 8 、 J (2枚)、 K  (マークはなんでもよい。)
   黒カード : 2 、 3 、 4 、 6 、 8 、 K (マークはなんでもよい。)
   4枚の A


をまず抜き出しておき、トップからの枚数目に、赤カード・黒カードおよびエース「A」を配置
する。

(裏向きトップからの枚数目のカードの配置 : ●印の箇所のカードはなんでもよい。)

1 赤J 11 21 ハートA 31 41 赤4 51 赤J
2 12 22 32 クラブA 42 52
3 13 黒4 23 33 黒3 43
4 14 ダイアA 24 34 44
5 赤K 15 25 黒2 35 45 黒6
6 16 26 36 46
7 17 黒K 27 37 黒8 47
8 18 28 38 48
9 赤8 19 29 赤3 39 49 スペードA
10 20 30 40 50

(手 順)

1.上記のようにセットしたパケットを何気にテーブルに表向きにリボンスプレッドして、普通
 のカードであることを示す。

2.順番が狂わぬように集め、裏向きに手に持ち、一度フォールスカット(順番は元の状態
 に戻るようにする、偽のカット)をする。

3.奇数番目のカードをアップ(1,3,5・・・枚目のカードを上に少しずらす)し、最後までカ
 ードが互い違いになるまで繰り返す。

4.上に上げたカードを全て抜き出し、テーブルに裏向きのまま置く。
 (順番が崩れないように注意。) <リバースフェローシャッフルと呼ぶ。>

5.手に残ったパケットで再び同じようにリバースフェローシャッフルをする。

6.抜き出したカード群は前の取り出してテーブルに置いている上に重ねておく。

7.これを繰り返すと手元には一枚のカードが残る。テーブルに表向きに出すとクラブのA
 が現れる。

8.次に、テーブルに重ねていたパケットを大体半分になるように客に分けてもらう。
 (正確に半分でなくてよく、上半分24枚〜27枚まで許される。)

9.上半分を演者がもらい、客のパケットの下半分の枚数を数える振りをしてパケットの上
 から一枚ずつテーブルにカウントしながら順序を逆転させる。

10.下半分の枚数が27枚〜24枚に入らない時は(枚数がオーバーする時)、カウントし
 終わった客のパケットのボトムから演者のパケットのボトムへ数枚を何気に移動させる。

  逆に少ない場合は演者のパケットのボトムから数枚抜き出し、それの順序を逆転した
 数枚のカードを客のパケットのボトムに追加しておく。

  いずれにしても、客のパケットの枚数を27枚〜24枚の範囲に調節しておく。調整した
 パケットを客に渡す。

11.演者と客はお互いのパケットを前の操作と同様にリバースフェローシャッフルをしてい
  く。

12.それぞれ一枚ずつのカードが残るので、それをテーブルに表向きにすると、演者はダ
 イアのA、客はハートの A が出現する。

 (これでテーブルには3枚のAが揃ったので、残りは、スペードのA)

13.客に2つのパケットのうち、演者が捨てて重ねているパケットか、客が捨てた方のパケ
 ットかを選択させる。
   (ここは少し賭け!客が自分の方のパケットを選ぶと心理的にみて構成している。)

14.こちらの思惑通りに、客が自分のパケットを選んだら(マジシャンズチョイスで客のパケ
  ットの方を選んだように見せかけるとよいだろう。)、パケットを受け取りテーブルに時計
  の文字盤の様に1,2,3、・・・12時の位置にカードを上から裏向きのまま配置していく。

15.残ったカードは中央の針の位置に表向きにして置く。演者の方のパケットも表向きで
  重ねておく。

16.客に6時の位置に置いたカード以外が選ばれるように誘導しながら、文字盤の位置に
  あるカードを一つを選ばせる。
 (もし、客が6時の位置を選んだら貴方の勘はすばらしいと褒めてそのカードをめくって、最
 後のスペードの A を出して終了する。)

17.客が選んだカードを表向きにして、そのカードの数字が黒ならそのカードの次から数え
  て時計回りの向きにその数だけ進み、そこのカードをめくって取り除いていく。
 (めくったカードは中央に表向きで重ねていく。)

   客が指定したカードが赤のカードなら反時計回りに進んでめくり、取り除いていく。

  これを繰り返していく。
  (取り除いたカードの次からまた進んで<最初の客が選んだカードの数ぶん>次のカー
   ドをめくる。)と最後に6時の位置にあったカードが一枚だけ残る。

18.このカードを思わせぶりに焦らせて表にすると、まさに最後のスペードのAが出現する。

19.他のカードに2枚として同じカードが含まれていないことを、中央にある表向きに重なっ
  ているパケットをテーブルにリボンスプレッドして演技を終わる。

 GAI さんによれば、原理的には二進法の応用と、継子立ての遊びを組み合わせた様な手
順になるとのこと。

(コメント) テーブルが必要のようです。手順が長いので、場つなぎの話術が大変かもしれ
      ないですね?今度やってみます。GAI さんに感謝します。

.思いの位置からの出現

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、トランプマジックを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成21年10月9日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(手 順)

1.客に誕生日を何気に聞きだす。(ただし28,29,30,31日には対応できず。)

2.誕生日から1を引いた数字を3進法で表し、一位から逆順にしたものをキー数字として
 覚えておく。

  (<例> 誕生日: 16日 → 1510=1203 よりキー数字 : 021 を覚える)

3.27枚のトランプから1枚のカードを選び覚えてもらう。

4.カードを戻してもらい、十分にシャッフルする。

5.パケットのトップから1枚ずつ表向きにしながらテーブルに3つの置き場(A,B,C)にカ
 ードを置いていき(A,B,C,A,B,・・・・)、それぞれ9枚の山を作る。

6.客の選んだカードが、A,B,C の山の何れにあるかを聞く。

7.3つのパケットを裏向きにし、客のカードを含むパケットを重ね集めることを3回繰り返す。

 ただし、各回において、キー数字の前から順番に、次の規則で重ね集める。

     : 一番上 、 : 真ん中 、 : 一番下

  (例では、最初 0:上 、2回目 2:下 、3回目 1:中)

8.これで、客が思ったカードがパケットのトップから誕生日にあたる枚数目から出現する。

  (演出方法をいろいろ工夫され、盛り上げて下さい。)

(コメント) 早速、実験してみた!覚えたカードが出現したときは感動...。

 その理論的背景を模索してみた。

 例にあげたように、誕生日を「16」日として、最初 0:上 、2回目 2:下 、3回目 1:中
という場合について考えることにする。

 27枚のカードをシャッフルして、3つの山に分け、覚えたカードがある山にあるカード9枚
には数字の「0」が割り当てられる。そのカード9枚は一番上に重ねられる。

 
       

 数字が「0」の意味は、覚えたカードを含む山の上にはどんな山も重ねないことを意味する。
各山は9枚ずつで3の倍数なので、覚えたカードがある山の9枚は、2回目の操作により、3
つの山に均等に3枚ずつ振り分けられ、覚えたカードがある山には「2」が割り当てられる。

 したがって、このとき、覚えたカードには、「20」という数が割り当てられる。

 
  20  
20
20
2*
2*
2*
2*
2*
2*

 この「20」とマークされるカードは、その山の上3枚である。覚えたカードは、このうちの1
枚である。数字の「20」の意味は、覚えたカードを含む山の上には丁度2つの山分の18枚
が重なることを意味する。

 3回目の操作で、この3枚は3つの山に1枚ずつ振り分けられる。このとき、覚えたカード
がある山には「1」が割り当てられる。したがって、覚えたカードには、「120」という数が割
り当てられる。覚えたカードはその山の上からちょうど(18÷3+1=)7枚目にある。

 
1*0
1**
1**
1*0
1**
1**
120 20 20
12* 2* 2*
12* 2* 2*

 数字の「120」の意味は、覚えたカードを含む山の上には丁度1つの山分の9枚が重なる
ことを意味する。

 したがって、全体では、上から、9+7=16枚目に位置することになる。これは正しく誕生
日である。

6.指定のカードの出現

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、トランプマジックを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成21年10月11日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(手 順)

1.よくシャッフルした一組(52枚)のトランプから、任意の9枚のカードを3×3にテーブル
 に裏向きに並べ、客に任意の行と列を指定させ、交差するカードを覚えてもらう。
 (単に9枚から1枚を選ばせてもいいが、少し演出を兼ねる。)

2.残り8枚は重ね、この上に客が覚えたカードを載せる。さらにその上に、残りのパケット
 (43枚)を載せる。
 (これで客のカードはトップから44枚目に存在することになる。)
  一度フォールスカット(順番は元の状態に戻るようにする、偽のカット)をする。

3.客にこのデックを渡し、「10」と声に出してからトップのカードを表向きにテーブルに出し
 てもらう。

  掛け声と、出したカードの数字が一致していないなら、同じく今度は「9」と掛け声をかけ、
 次のカードを表向きにして先ほどのカードの上に重ねて置く。

  掛け声と出したカードが一致しない限り、「8」「7」「6」・・・と「1」になるまでテーブルにカ
 ードの山を作っていく。

  最後まで(「1」の掛け声がかかるまで)一致しなかったなら、次のカードは裏向きのまま、
 この山の一番上に載せてこの山を「殺す」ことにする。

  そして、次の山を再び「10」の掛け声からかけ始めて作っていく。

  また、掛け声とカードの数字が一致した場合は、その山はそこまでで作業を終了し(裏
 向きのカードを載せることはしない。)新たに次の山を「10」の掛け声からスタートさせて
 作っていく。

4.3.のルールでの山を4つ作る。

5.できた4つの山で、表向きで一番上のあるカードの数字の合計をする。
 (最後まで一致しなかった山は裏向きのカードが一番上に置かれているから、この山は
 和をとらないことになる。4つの山すべてが裏向きカードが載ることは確率的に稀)

6.その合計の和に相当するまで、残りのパケットからカードをテーブルに数え落としてい
 くと、ちょうど和の数の枚数目から客の覚えたカードが出現することになる。

(コメント) 実際にやってみた。最初、上から順番に

     ハートA〜K 、ダイヤA〜K 、クラブA〜K 、スペードA〜K

  とカードが並んでいるものとする。

   このとき、トップから44枚目のカードは、「スペードの5」。

  上記操作に従い、山を作ってみた。

 
ハートJ ダイヤ9
ハート10 ダイヤ8
ハート9 ダイヤ7
ハート8 ダイヤ6
ハート7 ダイヤ5 クラブ4
ハート6 ダイヤ4 クラブ3
ハート5 ダイヤ3 クラブ2
ハート4 ダイヤ2 クラブA
ハート3 ダイヤA ダイヤK
ハート2 ハートK ダイヤQ
ハートA ハートQ ダイヤ10 ダイヤJ

 できた4つの山で、表向きで一番上のあるカードの数字の合計をすると、

     10+4=14

 となる。このとき、残りのカードは、順に、 クラブ 5〜K 、 スペード A〜K であるが、

この14番目が丁度「スペードの5」にあたる。

7.7の数字の不思議

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、トランプマジックを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成21年10月25日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(手 順) 4枚のエースを裏向きにテーブルに並べておく。この上にそれぞれ7枚のカード

     をのせ、4つの山を集めて一つにする。

     (4つのエースが上から8枚目、16枚目、24枚目、32枚目にある。)

     一度、フォールスカットをして(元の順番が変わらない、うその切り方)、これを客に

     渡し、「嫌い、好き」と言いながらトップカードはテーブルに捨て、次のカードはボトム

     側に回し、1枚カードを減らす。

      同様に、手元に4枚のカードが残るまでこれを続けてもらう。

     「好き」と言って残したカードを確認してもらう。

(コメント) 実際にやってみた。最初、上から順番に

     ハート8〜A 、ダイヤ8〜A 、クラブ8〜A 、スペード8〜A

  とカードが並んでいるものとする。フォールスカットをして、「嫌い、好き」と言いながら

  手元に残ったカードは、上から順番に

   ハート7、5、3、A 、ダイヤ7、5、3、A 、クラブ7、5、3、A 、スペード7、5、3、A

  となる。この操作を繰り返して、手元に残ったカードは、上から順番に

     ハート5、A 、ダイヤ5、A 、クラブ5、A 、スペード5、A

  から

     ハートA 、ダイヤA 、クラブA 、スペードA

  と推移し、手元に4枚のカードが残る。すると、Aのみが残る。

8.あなたのウソを見破ります

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成21年10月25日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(遊び方) 

48 90 16 59 68 38 76
15 57 49 92 79 27 65
81 35 71 26 13 93 43
36 78 28 69 56 50 88
39 77 25 72 55 47 89
33 83 23 66 61 45 91

 1.相手に、この中の一つの数字を心に思ってもらう。

 2.その数字のある列の数字の色を上から言ってもらう。ただし、心に決めた数字では、
  あえて逆の色を言うことにする。

  (例:4行2列目にある「78」を心に思ったら、赤黒黒赤(逆)黒赤と答えることになる。)

 3.この答えの色の配列を聞いて、即座に相手の心に思った数字を当てる。

  (この表は相手に渡しておく。この表は見ないで答える。)

 どなたか、一つの数字を心に思い、色の報告をして下さい。あなたの思った数字をピタリ
と当ててしんぜましょう。

(コメント) 数字の配列が如何なる法則で構成されているか、興味がありますね!


 これについて、平成22年5月22日付けで、FNさんが考察された。


 各列を上から、黒を「1」、赤を「0」として、2進数6桁の数と見ることができる。

   010101  011110  100011  101101  001110  110011  111000

 上記のゲームは、このうちのどれか1つを選んで、そのうちの1つの桁を変え、その結果
を知って色を変えたもとの数を当てよ、というものである。

 いま、2進数6桁の2つの数の間の距離を「各桁のうちで数字が異なる桁の個数」で定義
する。例えば、

  「010101」 と 「011110」の距離は、3  「111111」 と 「000000」の距離は、6

 ここで、距離が2の数、例えば、「111100」 と 「111111」 であれば、1桁を変えてどちら
も 「111110」 にできるので、これを知って元の数を答えることはできない。そして、こういうこ
とが起こるのは距離が2の数があるときだけである。上記の7つの数はもちろんこの条件(距
離が2でないこと)を満たしている。

 さらに、これに「000000」をつけ足してもこの条件を満たしているので、この条件を満たす
8個の数を取ることができる。

 そこで、新たな問題ができる。

 このような数は9個取れるだろうか?最大で何個取れるだろうか?


(コメント) ゲームでは、「この表を見ないで答える」となっているので、どの列かは判明して
      も、もとの数を答えることは難しい?それにはもっと別な法則性が必要かな?

 FNさんによれば、これは全く問題ありません、すなわち、列が特定できたということは、ど
こが変えられているのかもわかったとのこと。(平成22年5月23日付け)

 以下では、FNさんの説明をまとめておこう。

 前のGAIさんのものに、「000000」をつけ足した次の数の場合

  010101  011110  100011  101101  001110  110011  111000  000000

を考える。最も分かりやすくするなら、次のように書いておけばよい。

   65  76  03  15  56  23  30  40
   05  16  63  75  36  43  50  20
   35  26  53  45  06  73  60  10
   21  32  47  51  12  67  74  04
   27  34  41  57  14  61  72  02
   24  37  42  54  17  62  71  01

 (作り方はそれぞれの数を2進数3桁2個と見て、各桁を順に変えていく。
  例えば、「010101」を「110101」として、「110」は「6」で、「101」は「5」だから、「65」
  次は、「000101」で、「05」、次は、「011101」で、「35」、・・・、以下同様。)

 解答するときは黒を1に赤を0に直して前の3個、後ろの3個を、それぞれ2進数3桁と見
てそのまま答えるだけです。例えば、赤黒赤黒赤赤であれば、「010100」ですから「24」と
答えればよいわけで表を持っている必要はありません。

 ただ、GAI さんの書かれたものの規則性はわかりません。前3つと後3つに分けるとは
思いますが...。

 さて元の問題に帰って、2進数6桁の数を何個か取って、そのうちのどの2つの距離も2
でないようにしたい。8個以上であることは分かっているが最大で何個取れるのだろうか?

 10個以下であることはほとんど明らかです。その理由は次の通り。

 2進数6桁の数は全部で、26=64個ある。1つの数に対してそれから距離1の数は6個
あって、それぞれの数に対する6個の数は共通部分はありません。もしあれば、距離2の
数があることになる。従って、11個あれば、66個になってしまうので、11個以上はない。

(感じとしては、10個はさすがに無理そう。9個はひょっとしたら可能かもしれない。)

 FNさんの問題に対して、当HPがいつもお世話になっているHN「らすかる」さんが考察さ
れた。(平成22年5月23日付け)

 GAIさんの問題は、

   「各桁の重みは 11 22 44 1 2 4 で、最後に10足す

となっている。すなわち、「abcdef」に対して、

   a・11+b・22+c・44+d・1+e・2+f・4+10

  =(c・4+b・2+a・1)・11+(f・4+e・2+d・1)+10

を計算して得られる数が表中の数である。

 このことから、黒を1として2進数で表し、3桁ずつ逆順にしてから、8進数2桁に直し、そ

れを11進数とみて、10進数に直してから10を足せばよい。

例えば、 赤黒黒赤黒赤 → 011 010 → 110 010 → 6 2 → 6×11+2+10=78

(コメント) なるほど!GAI さんの暗号が解読できましたね!らすかるさんに感謝。

      意中の数が4行5列目の「56」とすると、「赤赤黒赤黒赤」と色を答えてくれる筈。
       このときは、「001010」と変換し、「100 010」から「42」で、
      確かに、 4・11+2+10=56 となりますね!

 さらに、らすかるさんは、「最大で何個取れるか」についてプログラムを作って総当たりで
調べられ、「最大8個」という結果を得られたそうである。

 これに関連して、FNさんは、

 「2進数6桁の数何個かを取りだしてそのうちのどの2つの距離も2ではないようなものを
作れ。」という問題で、距離が1の場合を除外するために、さらにきつくして、

 2進6桁の数何個かを取りだしてそのうちのどの2つの距離も3以上であるようなも
のを作れ。


という問題を作られた。(平成22年5月23日付け)

 理論的にはこの方が自然とのことである。

  010101  011110  100011  101101  001110  110011  111000  000000

では2番目と5番目、3番目と6番目の距離は1なので、これは条件を満たさない。

 FNさんは、「この条件でも8個の数を取れるだろうか?」と問いかけられた。

 この問いかけに答える形で、らすかるは、「最大8個」について、さらに追究された。
                                      (平成22年5月23日付け)
 ・8個とも同じ位置のビットを反転
 ・8個とも同じように、6ビットの順番を入れ替える
 ・8個の並び順を入れ替える

という操作をしても解になるので、そこまで調べて重複解を削除すると、本質的な解は以下
の5通りしかない。

(1) 000000 000001 001110 001111 110010 110011 111100 111101

(2) 000000 000001 001110 001111 110010 110101 111010 111101

(3) 000000 000001 001110 010111 101011 110010 111100 111101

(4) 000000 000001 001110 010111 101011 110100 111011 111100

(5) 000000 000111 011001 011110 101010 101101 110011 110100

 (8個の場合の解が5通りしかなければ、9個が不可能なことも頷ける。)

  (1)は「距離1」の組が4組で、すべての組は、bit0(右端の数字)が異なる。
  (2)は「距離1」の組は4組ですが、2組はbit0、2組はbit3が異なる。
  (3)は「距離1」の組は2組で、いずれもbit0が異なる。
  (4)は「距離1」の組は3組で、bit0、bit3、bit4が異なる。
  (5)は「距離1」の組がない。

 以上を踏まえて、元の問題(+全赤)を見てみよう。

 赤を0、黒を1で表すと、

   010101 011110 100011 101101 001110 110011 111000 000000

「距離1」の組は2組なので、これは(3)のパターンである。

 実際に、 bit0、bit1、bit5を反転させて、

   110110 111101 000000 001110 101101 010000 011011 100011

となり、さらに、bit543210 を bit053214 の順に並び替えると、

   010111 111101 000000 001110 111100 000001 101011 110010

となる。これを、値の昇順に並び替えると、

   000000 000001 001110 010111 101011 110010 111100 111101

となって、これは確かに(3)のパターンである。

 らすかるさんによれば、「距離1」がない(5)のパターンを採用した方が問題としては綺麗
だろうとのこと。

 らすかるさんの結果に対して、FNさんからのコメントです。(平成22年5月23日付け)

  本質的に5通りですか。そして距離1を駄目とすれば本質的に1通りですか。びっくりで
 す。1つあることにも驚きますが本質的に1つしかないのもすごいです。

  符号理論の周辺の話題という感じはしていたのですが距離1を排除すれば符号理論の
 状況です。

  0と1からなる列を送ったとき、多少のErrorが発生した場合に、それを復元できるか、
 Errorが1個以下だとしてそれを復元するためには、どのようなcodeを選べばよいか。

  0と1をあわせて6個であれば、らすかるさんの(5)のパターンを取ればよい。

   000000 000111 011001 011110 101010 101101 110011 110100

  これらの間の距離は3以上だから、Errorが1個以下であれば復元できる。もとの問題
 の状況は、Errorがちょうど1個あるということで、これは符号理論ではありえない仮定で
 す。これであれば、距離1も許容になりますがやはり不自然です。上の(5)から作るべき
 でしょう。そうすれば選んだ数の色を逆にするのを忘れたときに「あなたは選んだ数の色
 を逆に言うのを忘れましたね」と指摘できます。もちろん8個の数を覚えていなければなり
 ませんが。なお2個以上の色を逆にしたときは当然それはわかりません。


9.予言トリック

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成21年12月12日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(遊び方)

 1.トランプカードから数字1〜9を取り出し、9枚のカードを順番に並べておく。
  (1がトップに来るようにセットする。)

 2.このカードをフォールスシャッフル(元の順番を崩さぬように混ぜたように見せかける)
    した後、テーブルに左から右へ向けて横に一列に裏向きに並べる。

 3.客に、並んだカードのいずれかの端にあるカードを選ばせる。
  (1か9のカードをとる)

   同じく、残りの8枚のカードの列のいずれかの端のカードを引かせる。

   最後に、残り7枚のカードの列のいずれかの端のカードを取らせる。

 4.これで、客は3枚のカードを持つことになるので、この3枚のカードの数字を合計させ
  る。そして、この合計を6で割った商( n )を言ってもらう。

 5.テーブルにならんだ6枚のカードの左端から数えて n 枚目のカードを表向きにするよ
  うにしてもらう。

 6.客がカードを表に向ける前に、『あなたは4のカードを開ける。』と宣告する。

(コメント) 9枚のカード : 1、2、3、4、5、6、7、8、9 において、

  (1) テーブルにならんだ6枚のカードの左端から数えて1枚目のカードが「4」ということ
     は、取り除かれた数字は、1、2、3 で、このとき、1+2+3=6 を6で割った商
     は、1になっている。

  (2) テーブルにならんだ6枚のカードの左端から数えて2枚目のカードが「4」ということ
     は、取り除かれた数字は、1、2、9 で、このとき、1+2+9=12 を6で割った商
     は、2になっている。

  (3) テーブルにならんだ6枚のカードの左端から数えて3枚目のカードが「4」ということ
     は、取り除かれた数字は、1、8、9 で、このとき、1+8+9=18 を6で割った商
     は、3になっている。

  (4) テーブルにならんだ6枚のカードの左端から数えて4枚目のカードが「4」ということ
     は、取り除かれた数字は、7、8、9 で、このとき、7+8+9=24 を6で割った商
     は、4になっている。

 う〜む、なるほど!面白い性質ですね。まさに数のトリックかな。

10.「4」へのこだわり

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成21年12月15日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(遊び方)

 1.一組52枚のトランプをよくシャッフルさせ、そのうちの30枚をテーブルに重ねて置く。

 2.客にそのうちの黒札の枚数を数えさせる。

 3.次に、この数から残りの22枚のうち、赤札の枚数を引かせる。

 4.客が調査計算し終る寸前に「その数字は4です。」と言いましょう。

(コメント) 間髪を入れず、「答えは4!」と答えれば驚かれそうですね。

  その原理を考えてみた。

  黒札、赤札それぞれ26枚ずつなので、30枚の方の黒札の枚数から22枚の方の赤札
 の枚数を引くということは、

   (30枚の方の黒札の枚数)−(22枚の方の赤札の枚数)

  =(30枚の方の黒札の枚数)+(22枚の方の黒札の枚数)

                   −(22枚の方の黒札の枚数)−(22枚の方の赤札の枚数)

なので、求める答えは、 (黒札の枚数)−(22枚)=26−22=4 となる。

11.2個のサイコロ

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成21年12月16日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(遊び方)

 1.客に、一対のサイコロをテーブルの上で転がしてもらい(それらをA、Bとする)、次の4
  つの数字を紙に書かせる。(演者は目隠しをしておく。)

   (1)2個のサイコロの上面の数の積

   (2)2個のサイコロの底面の数の積

   (3)Aの上面の数とBの底面の数の積

   (4)Aの底面の数とBの上面の数の積

 2.この4つの数字を足し合わせてもらう。

 3.これを計算し終り、合計の数を客が発表する前に「それは49ですね。」と言いましょう。

(コメント) 上記の原理を考えてみた。

 Aの上面の数を X とすると、Aの底面の数は 7−X である。

同様に、 Bの上面の数を Y とすると、Bの底面の数は 7−Y である。

 よって、 (1) XY (2) (7−X)(7−Y) (3) X(7−Y) (4) Y(7−X) なので、

   XY+(7−X)(7−Y)+X(7−Y)+Y(7−X)

  =XY+49−7X−7Y+XY+7X−XY+7Y−XY

  =49

となる。

12.26枚目のカードの秘密

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成22年1月13日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(遊び方)

準備:トップから26枚目のカードを覚えておく。
   (もしくは、「スペードのA」などの特殊なカードを26枚目にセットしておく。)

1.デックの上半分を切り混ぜる。

2.客に、この切り混ぜたように見えるデックを3等分(見た目でよい。)してもらう。

  <その指示の仕方>
  ・デックをテーブルに置き、まずデックのだいたい2/3位を持ち上げてもらう。
  ・それを横に並べてもらい、さらに、これを半分に分けた量のパケットをさらにその横に
   置いてもらう。

(説明上、最初の1/3のパケットをA、真ん中をB、最後のパケットをCと呼ぶことにする。)

3.客にCパケットを十分にシャッフルしてもらい、トップにきたカードを覚えてもらった後、
  元に戻してもらう。

4.この上にAパケットを十分に混ぜてから載せてもらう。

5.この2つのパケットを重ねたものをBパケットの上にのせて一つにする。

6.客にこのデックを2〜3度カット(任意の位置で上下を入れ替える。)をしてもらう。

 (これで客のカードは完全に見失ったことになる。この状態から客が覚えたカードを当てる)

7.デックの表面を眺めて行き、セットで覚えていたカードを探す。このカードを1と数え始め
 て、下へ26番目に当たるカードを探す。
 (カードが足りなくなれば、一番上のカードに戻ってカウントしていく。)

8.客のカードを特定したら、このカードがトップに来るようにカットしてテーブルに置く。
 (これで、次の演技を連続して行う準備も出来ていることになる。)

タネを見破り難いカード当ての傑作の一つだと思います。何かの機会にお試しあれ。

13.客が自分で自分のカードを当てるシステム

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成22年3月26日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(遊び方)

準備:任意のカード 32枚(または、16枚)

1.任意の32枚(16枚でもよい。)を客に渡し、よくシャッフルさせる。

2.このパケットを受け取り、これをテーブルに一枚ずつ配りながら、2つの山を作る。いつ
 客がストップかけてもよいと言い、客にストップをかけさせる。
  ストップがかかったら、テーブルの2つの山の枚数が同じになるところでやめる。

3.客にテーブルの2つの山のいずれか、または、演者が持っている残りのパケットかを選
 ばせる。(3つから一つ選択させる。)

(パターン1)・・・<客がテーブルの二つの山の一つを選んだ場合>

 指定した山のトップカードを客に覚えてもらい、元に戻す。その山の上に演者が持ってい
るパケットを載せ、この増えた山を持ち上げ、客に渡す。もう一つの山は使わないので、脇
へよけておく。このパケットをアンダー・ダウン(まずトップカードはボトムに回し、次のカード
はテーブルに出す。次はまたボトムへ回し、次はテーブルへとこれを繰り返す。)
 こうして、客が最後に残したカードが客が見たカードになっている。

(パターン2)・・・<客が演者のパケットを選んだ場合>

 演者が持っているパケットのボトムのカードを客に見せて覚えてもらう。このパケットをテ
ーブルにある2つの山の一方(どちらでもよい)のほうに重ねる。これを客に渡し、これをダ
ウン・アンダー方式(まずテーブルへ捨て、次のカードはボトムへ回す。)で最後の一枚に
なるまでやってもらう。同じく最後の1枚が客のカードになる。

(コメント) ヨセフスの問題(継子立て)と相通じる匂いがありますね!

14.カード探し

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成22年9月13日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 頭がしびれるような問題に疲れた脳に、気分転換の意味を込めて、トランプマジックで遊ん
で下さい。一応数学的構造を利用していますが、客からは不思議さが感じられるように工夫
しました。

(遊び方)

準備:一組のトランプから適当な2枚のカードを除き、50枚のデックとしておき、トップから
   26枚目に目印となるカード(ここでは説明のためジョーカーにしておく)をおく。

(やり方)
1.デックの上半分を切り混ぜ(26枚目のカードがずれないよう)テーブルへ置く。

2.客に上から適当に3分の1ずつ3つのパケットに分けてもらう。
  (上からA、B、Cパケットと呼ぶことにする)

3.客にAパケットを渡し、よく混ぜて、一番上にあるカードを覚えてもらう。
  再びAパケットのトップに戻してもらう。


4.次にCパケットを渡し、よく混ぜてもらってからAパケットの上にのせてもらう。

5.合わせたパケットをBパケットの上に重ねる。

6.一つに合わさったデックを客に任意の位置でカット(上、下のパケットを入れ替える)して
 もらう。

7.「これで、あなたも自分のカードがどこにあるのか分からなくなりました。このカードをあ
  なたが選んだカードが探しに行きます。」
  と、客に自分が好きなカードの名前を言わせます。(最初に出した2枚は除く)

8.演者はデックの表を自分の方に向けて、客が言ったカードを探す。この時、そのカードと
 ジョーカーがある位置関係を把握する。

  もし、ジョーカーカードが指定された客のカードよりトップ側(裏向きの状態で)にあれば、
 客のカードをテーブルに出した後、ジョーカーがトップの位置になるように、残りのデックを
 カットしてテーブルに置く。

  逆に、ジョーカーがボトム側にあれば、ジョーカーがボトムに来るようにカットして、残りの
 デックをカットしてテーブルに置く。

9.テーブルへ置いたデックを客に任意の位置でカットしてもらう。この時、上半分の上に下
 半分のパケットを十字になるようにクロスさせてのせ、境が分かるように重ねておく。

10.この境の部分に客が選んだカード(ここではスペードのAとする)を表向きにして、そこ
 に差し込む。

11.カードの向きを揃え、そのデックを客に渡す。「これで、あなたのカードをスペードのAが
 捉えました。」と宣言する。ここで、デックを客にカットさせてもよい。

12.トップから一枚ずつテーブルへ5つの山ができるように、最後までカードを配って
  もらう。(各パケットは10枚のカードから構成されている。)
  このとき一枚だけスペードのAが表向きで入り込むパケットができる。

13.そこで、すべて裏向きである他の4つのパケットは場から除く。表向きのカードを含むパ
 ケットを揃え、客に任意の位置でカットをしてもらう。

14.再び、客にパケットを渡してテーブルにやはり上からカードを一枚ずつ配って、テーブル
 に5つの山(各2枚ずつになる)を作ってもらう。

15.スペードのAが出た山にある裏向きカードを、客に自分が覚えていたカードの名前を言
 わせた後、ゆっくりと表に向ける。

15.あなたのウソを見破ります(トランプでの試み)

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成22年5月23日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(やり方)

8 (3,5)  3 (7,3)  Q (0,6)  9 (4,5)  8 (5,3)  8 (2,6)  Q (6,0)
10(0,5)  7 (4,3)  9 (3,6)  5 (7,5)  9 (6,3)  J (1,6)  10(5,0)
J (6,5)  A (2,3)  J (5,6)  4 (1,5)  K (0,3)  6 (7,6)  K (3,0)
6 (2,4)  8 (6,2)  A (1,7)  9 (5,4)  6 (4,2)  3 (3,7)  A (7,1)
2 (2,7)  J (6,1)  5 (1,4)  5 (5,7)  5 (4,1)  7 (3,4)  2 (7,2)
3 (2,1)  6 (6,7)  3 (1,2)  4 (5,1)  4 (4,7)  A (3,2)  4 (7,4)

と並べたカードから

 1.客に一つのカードを心に思ってもらう。

 2.そのカードがある列のカードの色を上から報告してもらうが、あえて自分のカードでは
  反対の色で報告する。

 3.この客の報告を聞き終えて、即座に客が心に思ったカードを当てる。

(システム) 客が報告する6個の色のうち、最初の3個に1,2,4の重みをつけ、黒と報告
       された部分だけをこのキー数字を掛けて加えた値を、a とする。

        同じく、後半の3個の色で黒と報告があった部分に同じく1,2,4の重みを掛
       けて加えた値を、b とする。

        上の表の中の(*,*)が、この計算で決まる (a,b) になる。

<選んだカードのマークの判定>

: (3,5),(3,6),(5,6),(*,7)

: (5,3),(6,3),(6,5),(7,*)

: 上の組み合わせ以外の (a,b)で、a<bの時

: 同じく (a,b)で、a>bの時

<選んだカードの数字の算出>

 ほとんどは、(a,b)の和 a+b から決める。

 (7,*)と(*,7)に関しては、「*」にある方の数字。

 (2,3),(3,2),(1,5),(5,1)は、差 |a-b| から、1(=A)と4

 (0,5),(5,0)→10 (5の2倍で覚える)

 (1,6),(6,1)→J (少し特殊)

 (0,6),(6,0)→Q (6の2倍で覚える)

 (0,3),(3,0)→K (3で13と覚える)


(コメント) ほぼ2年ぶりのアップになってしまいました。GAI さんにお詫び申し上げます。
      (カードのマークが文字化けして判読できなかったため...f(^^;)

16.オーマイゴッド

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成24年6月24日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 数学的現象ではあると思うが、説明には力不足であるので現象をトランプマジックとして
表現したので楽しんでみて下さい。

(セット) 各マークの「A、2,3、・・・、9」の順序を構成した(順序さえ同じならランダムな並
     びでもOK)計36枚のカードを取り出し、上半分から赤(ハートかダイア)下半分を
     黒(クラブかスペード)で色で2分しておく。

(やり方)

1.パケットを右手にオーバーハンドで持ち、トップから15〜18枚のカード(だいたい半数
 近くの意味)を左手にランさせて、カードの順番を全く逆順にする。

2.左手に集めたパケットと右手に残るパケットでリフルシャフルをする。(下手なシャフルでOK!)

3.シャフルしたパケットからテーブルへ10枚のカードを積み重ねる。

4.客にトップにあるカードを見て覚えてもらい、残り9枚の中にシャフルして、紛れ込まして
 もらう。

5.演者は10枚のパケットを取り上げ、客に覚えたカードを強くイメージするように要求して、
 この中で唯一同一数字が2枚になっているカードを探し、色から客のカードを特定する。

6.特定したカードを客の前に出し、もう一枚はボトムになるように移動させテーブルに置く。

7.自分が選んだカードが当たっているかを訝しがりながら(演技で)もう一方の26枚のパ
 ケットを取り上げ、カードをザーと見ることをする。このとき、客の数字と同一なもう2枚の
 カードを探し出し、パケットのボトムとボトムから10枚目(ボトムを1枚目でカウント)にコ
 ントロールする。

8.カードを移動させたパケットをテーブルの9枚のパケットの上に重ねる。

9.客に覚えたカードの名前を言わせてから、カードを開いてもらう。
 (ピタリと当たることになる。もし当たらなくても次の様に?げていって、最終的にカードを出す。

10.客が驚いている間に、合わせていたパケットを何気に取り上げ、もてあそぶような動作
 で上から8枚のカードをボトム側に移動さる。

11.移動させたパケットを客の前に置き、好きな位置でパケットをカットしてもらう。境が後
 で分かるように、十字(クロス)するように2つのパケットを重ねておく。

12.ここで少し時間を稼ぐ意味で、なぜカードを当てることが出来たか客に考えさせる。こ
 れに対し、「あなたの考えていることが解るからです。」などと会話しておく。

13.客が自分で分けた場所であることを強調して、その境目(パケットを十字に重ねている
 ので、その位置に入れる)に客のカードを表向きのまま差し込む。

14.このパケットを客に渡し、3つの山が出来るようにカードを配ってもらう。このうち、表向
 きのカードが入り込んだ山を残し、他の2山のカードはテーブルから片付ける。

15. 残ったパケットを演者が持ち、トップカードをボトムへ移動させることを繰り返していき、
 途中で客に任意のタイミングでストップをかけてもらう。ストップがかかった時点でパケット
 を客に渡し、またそのパケットを3つの山に配ってもらう。

16.各山は4枚ずつのカードで構成され、この中で表向きカードをある山だけを残し、他は
 片付ける。

17.その山の裏向きの3枚を開いてもらうと、同じ数字の他のカードが出現してくる。
9で当たらない場合でも、ここで客のカードは出現する。「これだけ出せば当たったでしょう。」のセリフでごまかす。

18.客には、優れた直感が備わっていることを説明し演技を終わる。

17.トランプに潜む数理

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成24年8月14日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 トランプマジックを創作していて、次の数理が成り立つことに気づきました。気分転換に一
度お試しください。頭の中で少し計算しますが、慣れればちょっとしたマジックに利用できま
す。

(やり方)

 52枚一組のトランプを客にシャッフルしてもらい、大体3等分してもらう。その内の一つを
演者に渡してもらい、その他2つは客2人にそれぞれ持たせる。それぞれのパケットをさら
にシャッフルするよう指示して、演者はシャッフルする動作に隠れて、そのパケットの枚数
をカウントしておく。(15〜25枚位になる。)このカウント数をkとしておく。枚数を把握した
ら、このパケットを客にもシャッフルしてもらう。

 次に、客2人が持つパケットを合わせ、この合わせたパケットの任意の場所からカードを
持ち上げてもらい(まとめて持ち上げる枚数は任意)、上パケットのボトムにあるカードを見
て覚えてもらう。覚えたら、その上パケットを演者のパケットの上にのせてもらう。余った下
パケットはテーブルから除いておく。

 フォールスシャッフル(シャッフルしているが、元の順序に戻る)を行う。

 このパケットのカードをテーブルに上から一枚ずつ左右に裏向きで配っていき、2つの山
を作る。(この時、作業を行いながらそのカードの総数をカウントしておく。)この総数をnと
しておく。

 この2山の一方をテーブルから除いていき、残ったパケットで同様に2山を作る。これを繰
り返して、最後の一枚まで進む。

 この最後に残るカードを客が覚えていたカードにするには、次の戦略に従う。

 カードを配って2山を作る作業で、

 0:カードを最後に配った方の山を除く。
 1:カードを最後に配った方の山を残す。

1回目 操作:kが奇数 → 0 、kが偶数 → 1

2回目 操作:MOD(n-k,4)≡0、3 → 0 、MOD(n-k,4)≡1、2 → 1

3回目 操作:

k∈{15,*,*,*,*,20,21,22,23,*,*,*,*,28,29,30,31,*,*,*,*,36,37,38,39,*,*,*,*} → 0
k∈{*,16,17,18,19,*,*,*,*,24,25,26,27,*,*,*,*,32,33,34,35,*,*,*,*} → 1

4回目 操作:MOD(n-k,,6)≡0、9、10、11、・・・、15 → 0 、
        MOD(n-k,16)≡1、2、3、・・・、7、8 → 1

5回目 操作:k≦31 → 0 、k≧32 または、k=15 かつ n≧32 → 1

18.トランプで気分転換

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成24年9月17日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(やり方)

1.デック(52枚)を客にシャッフルしてもらい受け取る。

2.何気にボトムにあるカードを覚えて(例スペードAとする。)2つにパケットを分けて、2つの
 パケットでリフルシャッフルをする。(ただし、もともとボトムにあったカードは再びボトムに来
 るようにする。)
  さらに、デックのトップから23枚のカードを左手にランさせて、このパケットをデックのボト
 ム側に入れる。(自動的にスペードAはトップから29枚目に位置することになる。)

3.このデックをテーブルに置き、大体3つの山に分ける。
 (元のデックの上1/3に当たる部分をA、真ん中部分をB、下1/3に当たる部分をC)

4.客にパケットAを手渡し、これをシャッフルしてもらい、たまたま一番上にあるカード(例とし
 て、ダイアの6)を覚えてもらいもとの位置に戻し、このAパケットをパケットBの上に重ねて
 置いてもらう。更に、Cパケットも渡し、よくシャッフルさせてこれを一番にさらに重ねて置く。

5.演者は後ろ向きとなり、客にデックを任意の位置からカットしてもらい、上、下の位置を交
 換してもらう。

6.いまから、客が覚えたカードを探すために客が好きなカードを使うと説明し一つカードを指
 定してもらう。(例ハートのQ)

7.演者はそのカードをデックから探し出す動作に隠れて、次の作業を行う。まず、スペードの
 Aを探し出し、これをボトムの位置に(カードを表向きに見た場合の一番上)くるようにカット
 する。(この時、ダイアの6はトップから24枚目に自動的に位置することになる。)
  次に客が指定したカード(ハートのQ)の位置を探して、このカードがボトムから半分より近
 い位置にあれば、そのままハートのQをテーブルに出して、残りカードを合わせてテーブルに
 置く。
  もしハートのQがボトムより半分より奥に位置していれば、そのカードを出すが、その位置
 にそのカードを補充する意味で(トップから24枚目にあるカードをずらしたくないための操作)
 ボトムから一枚カードを移動させた後カードを合わせてテーブルに置く。

8.最後にテーブルに置かれたデックを客に自由に2つに分けてもらう。
  (このとき客には半分以上の厚みで上半分を持ち上げてもらう条件が必要なので、少な目
   に分けようとしたら、「たっぷりと分けて下さい。」とコメントして下さい。)

9.客が分けた上半分の上に取り残された下半分のパケットを十字になるように重ねて置く。
 (これは客が分けた場所が分かるようにしている。)

10.雑談などして少し時間を稼ぎ、選んだカード(ハートのQ)も、今分けた場所も客が選んだ
 位置であることを強調する。

11.テーブルに出しておいたハートのQをこの分けた境に表向きにして入れ込み、そのまま
 客に渡す。

12.渡された客にデックの上からカードを一枚ずつテーブルに4つに配ってもらい各山が13
 枚のカードになるようにする。

13.4つの内、表向きのカードが入り込む山を残し、他の3山はテーブルから除く。

14.残された山を(カードの順番はそのままで)再び客に渡し、今度は同様にテーブルに3つ
 の山が出来るようにカードを一枚ずつ配ってもらう。

15.やはり表向きカードが入り込む山を残し、他の2山はテーブルから除く。

16.残りカードは4〜5枚になっているので、今度は2つの山でカードを配ってもらう。

17.最後までハートのQが連れてきたカードが一枚残る。

18.客に覚えていたカード(ダイアの6)を言ってもらった後、最後のカードを見せる。

19.ある応用

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成24年9月21日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 不意なことから、たまたまde Bruijin sequence(ドゥブリュエイン列)というものに出会い、こ
の列が持つ性質がトランプに使えそうだと感じ、一週間ほどあれこれマジックへ応用できな
いかと試行錯誤を繰り返して、とりあえず次の作品を作ってみました。例外部分を含み、完
璧とはいきませんが、人を驚かせることはできると思います。

<デックの構成>

通番:色 マーク 数字
 1 : 黒 *  a
 2 : 黒 *  b
 3 : 黒 12
 4 : 黒  8
 5 : 黒 *  c
 6 : 黒 *  d
 7 : 赤 *  a
 8 : 黒  1
 9 : 黒  2
10 : 黒  4
11 : 黒  8
12 : 赤 *  b
13 : 赤  1
14 : 黒  3
15 : 黒  6
16 : 黒 12
17 : 赤  8
18 : 黒  1
19 : 赤  2
20 : 黒  5
21 : 黒 10
22 : 黒  4
  通番:色 マーク 数字
23 : 赤  8
24 : 赤  1
25 : 赤  3
26 : 黒  7
27 : 黒 *  e
28 : 赤 12
29 : 黒  9
30 : 黒  2
31 : 赤  4
32 : 黒  9
33 : 赤  2
34 : 赤  5
35 : 黒 11
36 : 黒  6
37 : 赤 12
38 : 赤  9
39 : 黒  3
40 : 赤  6
41 : 黒 13
42 : 黒 10
43 : 赤  4
44 : 赤  9
  通番:色 マーク 数字
45 : 赤  3
46 : 赤  7
47 : 黒 *  f
48 : 赤 *  c
49 : 黒 13
50 : 赤 10
51 : 黒  5
52 : 赤 10
53 : 赤  5
54 : 赤 11
55 : 黒  7
56 : 赤 *  d
57 : 赤 13
58 : 黒 11
59 : 赤  6
60 : 赤 13
61 : 赤 11
62 : 赤  7
63 : 赤 *  e
64 : 赤 *  f

 通常の一組のトランプ(52枚)に他の一組(裏の模様は同じ)から12枚(赤色6枚、黒色6
枚)を加えて合計64枚のカードを上記の順序で構成しておく。

 客にこのデックを任意位置からカットしてもらい、上下のパケットの位置を交換してもらう。

 このデックのカードを上からテーブルに6枚左から右に並べる。赤色カードを1、黒色カード
を0で表すとき、残ったパケットのトップにあるカードを次の規則から判断できる。

<カードの数字の判断>

 テーブルに並んだ6枚の右4枚(千、百、十、一位の部分)を2進法で見た時の数

<マークの判断>

 テーブルの6枚のカードの左端から2枚(十万、万の位の部分)が

 00→スペード
 10→ハート
 01→ダイア(例外:数字が4,6,7,10ならクラブとする。)
 11→クラブ(例外:数字が4,6,7,10ならダイアとする。)

以下一覧表になります。(テーブルに並ぶ6枚の赤、黒から左のカードが予想できます。)

<パケットトップのカード>←<テーブルの6枚のカードの状態>
(左2枚からマーク判断);(右4枚から数字判断)   <キー数>:8, 4, 2, 1

赤 *  a :  0 ← 0 0 0 0 0 0
 1 :  1 ← 0 0 0 0 0 1
 2 :  2 ← 0 0 0 0 1 0
 3 :  3 ← 0 0 0 0 1 1
 4 :  4 ← 0 0 0 1 0 0
 5 :  5 ← 0 0 0 1 0 1
 6 :  6 ← 0 0 0 1 1 0
 7 :  7 ← 0 0 0 1 1 1
 8 :  8 ← 0 0 1 0 0 0
 9 :  9 ← 0 0 1 0 0 1
10 : 10 ← 0 0 1 0 1 0
11 : 11 ← 0 0 1 0 1 1
12 : 12 ← 0 0 1 1 0 0
13 : 13 ← 0 0 1 1 0 1
黒 *  e : 14 ← 0 0 1 1 1 0
黒 *  f : 15 ← 0 0 1 1 1 1
赤 *  b :  0 ← 0 1 0 0 0 0
 1 :  1 ← 0 1 0 0 0 1
 2 :  2 ← 0 1 0 0 1 0
 3 :  3 ← 0 1 0 0 1 1
 4 :  4 ← 0 1 0 1 0 0
 5 :  5 ← 0 1 0 1 0 1
 6 :  6 ← 0 1 0 1 1 0
 7 :  7 ← 0 1 0 1 1 1
 8 :  8 ← 0 1 1 0 0 0
 9 :  9 ← 0 1 1 0 0 1
10 : 10 ← 0 1 1 0 1 0
11 : 11 ← 0 1 1 0 1 1
12 : 12 ← 0 1 1 1 0 0
13 : 13 ← 0 1 1 1 0 1
赤 *  c : 14 ← 0 1 1 1 1 0
赤 *  f : 15 ← 0 1 1 1 1 1
黒 *  d :  0 ← 1 0 0 0 0 0
   1 :  1 ← 1 0 0 0 0 1
 2 :  2 ← 1 0 0 0 1 0
 3 :  3 ← 1 0 0 0 1 1
 4 :  4 ← 1 0 0 1 0 0
 5 :  5 ← 1 0 0 1 0 1
 6 :  6 ← 1 0 0 1 1 0
 7 :  7 ← 1 0 0 1 1 1
 8 :  8 ← 1 0 1 0 0 0
 9 :  9 ← 1 0 1 0 0 1
10 : 10 ← 1 0 1 0 1 0
11 : 11 ← 1 0 1 0 1 1
12 : 12 ← 1 0 1 1 0 0
13 : 13 ← 1 0 1 1 0 1
赤 *  d : 14 ← 1 0 1 1 1 0
赤 *  e : 15 ← 1 0 1 1 1 1
黒 *  c :  0 ← 1 1 0 0 0 0
 1 :  1 ← 1 1 0 0 0 1
 2 :  2 ← 1 1 0 0 1 0
 3 :  3 ← 1 1 0 0 1 1
 4 :  4 ← 1 1 0 1 0 0
 5 :  5 ← 1 1 0 1 0 1
 6 :  6 ← 1 1 0 1 1 0
 7 :  7 ← 1 1 0 1 1 1
 8 :  8 ← 1 1 1 0 0 0
 9 :  9 ← 1 1 1 0 0 1
10 : 10 ← 1 1 1 0 1 0
11 : 11 ← 1 1 1 0 1 1
12 : 12 ← 1 1 1 1 0 0
13 : 13 ← 1 1 1 1 0 1
黒 *  b : 14 ← 1 1 1 1 1 0
黒 *  a : 15 ← 1 1 1 1 1 1

 これが52枚のカードだけで可能なのか?例外部分ダイア(またはクラブ)での4,6,7,
10が解消できないか?などが改善点として考えられます。

 どなたか、この数学的構造に精通された方からの情報をお待ちしています。

20.52枚での挑戦

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成24年9月24日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


<やりたいこと>

 赤、黒入り混ぜた52枚のトランプの任意の位置から連続して客に6枚カードを見てもらい
(任意の位置でデックをカットさせて上、下のパケットを入れ替え、トップからカードを見る。)
手に取らせる。見たカードの色が赤か黒かの情報を言ってもらう。これを聞いただけで、客
が手にした6枚のカードをすべて当てる。

<トランプの配列>

順序 : 色 : マーク : 数字
 1 : 黒 : : 10
 2 : 黒 :  1
 3 : 黒 : : @
 4 : 黒 : : 13
 5 : 黒 :  9
 6 : 赤 :  1
 7 : 黒 :  1
 8 : 黒 :  2
 9 : 黒 :  3
10 : 黒 :  5
11 : 赤 :  9
12 : 赤 :  1
13 : 黒 :  2
14 : 黒 :  4
15 : 黒 :  7
16 : 赤 : : 13
17 : 黒 :  9
18 : 赤 :  2
  順序 : 色 : マーク : 数字
19 : 黒 :  3
20 : 黒 :  6
21 : 赤 : : 11
22 : 赤 :  5
23 : 赤 : : 10
24 : 赤 :  4
25 : 黒 :  8
26 : 赤 :  8
27 : 黒 : : 12
28 : 黒 : : 12
29 : 黒 : : 11
30 : 赤 :  5
31 : 赤 :  9
32 : 赤 :  2
33 : 黒 :  4
34 : 黒 :  8
35 : 赤 : : 13
36 : 黒 : : 13
  順序 : 色 : マーク : 数字
37 : 黒 : : 10
38 : 赤 :  3
39 : 黒 :  5
40 : 赤 : : 10
41 : 赤 :  3
42 : 黒 :  6
43 : 赤 : : 12
44 : 黒 :  7
45 : 赤 :  7
46 : 黒 : : 11
47 : 赤 :  6
48 : 赤 : : 11
49 : 赤 :  6
50 : 赤 : : 12
51 : 赤 :  8
52 : 赤 :  7

 の4は入れておらず、その代わり@(他の組から借りる。)を取り入れて構成している。
(これは3番目に使っている。)

<カードの当て方>

 赤カード→1,黒カード→0 のデジタル記号に読み替え、客が6枚をとりながら、言っていっ
た色を聞き、6桁の2進法なる数字を頭に作る。
(最後に聞いた色の数字が一位のくらいになる。)

 この6桁の前4つがカードの数字(2進法4桁とみる。)、後ろ2つがカードのマークを担当
する。
(6枚目のカードの数字の規則)

 [2進法で4桁での表示を10進法で読み直した数]+1 (+1を忘れないで下さい。)
*一部例外を含む(後で記述します。)

 (6枚目のカードのマークの規則)

 下2桁が、00→ 、01→ 、10→ 、11→  *一部例外を含む(後述)

 これで客が最後に手にしたカードが当たります。

 (次に5枚目に見たカードの当て方)

 6枚目のカードで使った6桁の数字の最初と最後の組合せから

 (0,0)→0 、(0,1)→1 、(1,0)→1 、(1,1)→0

の数字を新しく生み出し、これを先頭に挿入し、末尾にある数字は除去する。

(例)010110→001011(元の数字は右に一つずつずれることになる。)
   101000→110100 、110101→011010

 こうして新しく構成した6桁のキーから6枚目でやったのと同じ法則から5枚目のカードが
当たる。
(以下6枚目から5枚目でやったのと同じ操作で次々に新キー数字を作り出し、4,3,2,1
番目に見たカードを当てていける。)

 なお、例外として(ここが今のところキズになっている。)

キー数字:
  111101→の8(法則では数字が16)
  110100→の12(法則では数字が14)
  111111→の7(法則では数字が16)
  111110→の10(法則では数字が16)
  111100→の1(法則では数字が16)
  111001→の13(法則ではダイアの15)

 客が手にしている6枚のカードを(順序を乱さず)再びパケットのボトムへ取り込めばリセッ
ト完了です。

21.究極のカード当て

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成25年1月24日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 1〜124までの数字がそれぞれ印字されている124枚のカードから客に5枚を任意に選
び出してもらう。

 これを受け取り、その中の一枚をテーブルに裏向きで隠す。
(この隠すべきカードは下にある説明から既に決定できるから、パテオフォースでこのカードを如何にも客が選ん
だように演出する。5枚を並べておきこの中から任意の3枚を客に選ばせ、この中に所定のカードがあれば、さら
にこの中から2枚を選ばせ、所定のカードが含まれれば、さらに一枚を選ばせて、目的のカードを抽出する。2枚
の中にないなら、残ったカードを客が選んだものとしてそのカードを隠す。


 そして、残りの4枚をテーブルに表向きにして並べる。アシスタントは、この4枚のカードを
見て、隠されたカードの数字を当てる。
勿論アシスタントは以下のシステムを事前に十分理解しているものとする。

(やり方)

<隠すカードの選び方>

 選ばれた5枚のカードの数字を小→大の順番に上から表向きで並び替え、

   r=(5枚の数字の和を5で割った余り)

を求め、上からr+1枚目のカードをパテオフォースで客が選んだカードとして裏向きにして
テーブルへ出す。隠したカードの数字をXとする。

<残った4枚のカードの並べ方>

 残りのカードの和を s として、「Y+s≡0 (mod 5)」を満たす最小のYを決める。
Yは0,1,2,3,4のいずれかとなる。

 n=(X-r-Y)/5+1 で計算される n (nは1〜24のいずれかとなる。)をアシスタントに伝える手段と
して、残りの4枚のカードの数字の大小を基にして(小さい方から1,2,3,4で表す。)

  n:(カードの配列)
  1:(1,2,3,4)
  2:(1.2.4.3)
  3:(1,3,2,4)
  4:(1,3,4,2)
  5:(1,4,2,3)
  6:(1,4,3,2)
  7:(2,1,3,4)
  8:(2,1,4,3)
  *:…
  *:…
24:(4,3,2,1) と言うように順列に対応させる配列で4枚のカードをテーブルに表向きに並べる。

<隠されたカードの数字Xの求め方>

 テーブルに並べられた4枚の配列からその順列に対応している数nを読み取る。次に4枚
のカードの和をsとして「Y+s≡0 (mod 5)」を満たす最小のYを決める。(Yは0,1,2,3,4のいずれか。

 最後にテーブルに並んだ4枚の数字の中に、5×(n−1)+Yの値以下のカードが何枚ある
かチェックしてその数をmとする。(m=0、1、2、3、4)

 こうして決まる3つの変数n,Y,mからテーブルに伏せられているカードの数字Xが

  X=5(n-1)+Y+m

であると計算して当てられる。


 なんだかややこしそうですが、慣れればスムーズに行えるようになります。これで完全に客
を煙に巻くことができます。客がその仕組みを解明することはほとんど不可能と思います。

 もちろんトランプ(52枚)にもこの原理は応用出来ます。鳩ノ巣原理より5枚中同じマークに
なるカードは必ず存在し、隠すべきカードは、その内の一枚にでき、時計の文字盤で先頭の
カードの数字からそのカードまでの距離を、残りの3枚(一枚は何のマークであるかを知らせ
るために先頭に配置する。)で、3!=6より1〜6の順列での数字に置き換えてアシスタント
に知らせます。
同数のカードがあればマークで序列を事前に決めておく。

 アシスタントはマークと数字が判断でき、隠したカードの名前を当てることができる。

 何かの機会にお試しあれ。


 DD++さんからのコメントです。(平成27年7月14日付け)

 読んで試してみたのですが、そもそもこれ当たらなくないですか?例えば、最初に選ばれた
5枚が 11、32、53、54、97 だとします。合計247を5で割った余りが2なので小さい方から3番目
の53を伏せて残します。残り4枚の合計194にYを加えて最も近い5の倍数にするには Y=1 な
ので n=(53-2-1)/5+1=11。
 よって、 11、32、54、97 を辞書式配列で11番目になる 32、97、11、54 の順にしてアシスタ
ントに伝えます。

 アシスタントは伝えられた4枚の合計194にYを加えて最も近い5の倍数にするには、Y=1 と
計算します。また、32、97、11、54 が辞書式配列11番目であることから n=11 とします。
32、97、11、54 の中に、5n=55 以下の数は3つあるので m=3 とします。これから
  X=5(11-1)+1+3=54
と計算します。こうして、54というカードが既に表向きに見えているにもかかわらず、54と答え
てしまいそうです(?)。


(追記) GAI さんが上記を再チェックされました。(平成27年7月14日付け)

<隠されたカードの数字Xの求め方>

 テーブルに並べられた4枚の配列からその順列に対応している数nを読み取る。次に4枚
のカードの和をsとして「Y+s≡0 (mod 5)」を満たす最小のYを決める。
(Yは0,1,2,3,4のいずれか。)

 最後にテーブルに並んだ4枚の数字の中に、5×nの数字以下になるカードが何枚あるか
チェックしてその数をmとする。

 こうして決まる3つの変数n,Y,mからテーブルに伏せられているカードの数字Xが

  X=5(n-1)+Y+m

であると計算して当てられる。

とやっていましたが、これは、X=5(n-1)+Y+r で計算しなければいけないものでした。この r
がアシスタント側からは知れるのですが、当てる側からはどうしたらいいものかと、いくつか
の例で実験していたら、最後にテーブルに並んだ4枚の数字の中に、5×nの数字以下にな
るカードが何枚あるかチェックしてその数をmとする。
(てっきりこれでrが掴めるものだと勘違いしておりました。)

 DD++さんの例{11,32,53,54,97}では、r=2 に対しm=3 になってしまいますね。思い直して、
5*(n-1)の数字以下になるカード枚数か?とやってみたら、{48,49,52,53,54}では、r=1 に対し
m=0 となり、やはり上手く行きませんでした。(n=10,Y=3)

 rの値を当てる側から把握できる方法は?
(アシスタントから指を立ててもらっておき、これを読み取る!=>いっそ隠した数字を指で
伝えた方が早いか?)

 いやー、このrをどうしたら当てる側から探せるのだろう?さらに改良をしてみたら

 5*(n-1)+Y

の値以下のカードが何枚(m)あるのか?(m=0,1,2,3,4)で上手くいくのではないか!

<例1> {11,32,53,54,97}

アシスタント側:Mod(11+32+53+54+97,5)=Mod(247,5)=2(rに相当)
        r+1=3番目のカード53(Xに相当)を隠す。
        残りカードの和 s=11+32+54+97=194 で s+Y=194+Y≡0 (Mod 5) からY=1 を
       決定し、n=(X-r-Y)/5+1=(53-2-1)/5+1=11 を計算し、11のコード列に対応する
       2,4,1,3 の配列に残り4枚を並べる。 32,97,11,54

当てる側: 4枚のカード配列を眺め大小順が 2,4,1,3 を読み取り、これに対応するコード値
       n=11 を知る。並んだ4枚の合計s=194だからアシスタント側と同様に、
        s+Y=194+Y≡0 (Mod 5)
              からY=1 を決定し、5*(n-1)+Y=5*(11-1)+1=51 を算出する。
      テーブルに並んだ4枚の数字で51 以下(51を含んでもよい。)がいくつあるか調査
      する。この場合32,11の2枚が該当する。(m=2に決定)
       そこで、アシスタントが隠しているカードの数字Xは

        X=5*(n-1)+Y+m=5(11-1)+1+2=53

              を隠しているでしょう、と大声で叫ぼう!

<例2> {48,49,52,53,54}

アシスタント側:Mod(48+49+52+53+54,5)=Mod(256,5)=1(rに相当)
        r+1=2番目のカード49(Xに相当)を隠す。
        残りカードの和s=48+52+53+54=207 で、s+Y=207+Y≡0 (Mod 5) からY=3 を決
       定し、 n=(X-r-Y)/5+1=(49-1-3)/5+1=10 を計算し、10のコード列に対応する
       2,3,4,1 の配列に残り4枚を並べる。 52,53,54,48

当てる側: 4枚のカード配列を眺め大小順が 2,3,4,1 を読み取り、これに対応するコード値
       n=10 を知る。並んだ4枚の合計s=207だからアシスタント側と同様に
        s+Y=207+Y≡0 (Mod 5)
              からY=3 を決定し、5*(n-1)+Y=5*(10-1)+3=48 を算出する。
      テーブルに並んだ4枚の数字で48 以下(48を含んでもよい。)がいくつあるか調査
      する。この場合48 の1枚が該当する。(m=1に決定)
       そこで、アシスタントが隠しているカードの数字Xは

        X=5*(n-1)+Y+m=5(10-1)+3+1=49

              を隠しているでしょう、と大声で叫ぼう!

 傷を見つけたこの2例に対し、この修正で上手くいくと思われる。なにか不都合を発見され
たらどうぞご連絡下さい。


 DD++さんからのコメントです。(平成27年7月14日付け)

 {11,32,33,54,97} だと……。


 GAI さんからのコメントです。(平成27年7月15日付け)

 ワォ! r=Mod(11+32+33+54+97,5)=Mod(117,5)=2 に対し(33を隠す)、一方、n=7、Y=1から
5*(7-1)+1=31以下のものは11 だけでm=1

 いろいろパターンが分かれ過ぎる。ひらめいた!!!

 5*(n-1)+Y で決まる数字はあくまでもX-rが取り得る値の最低ラインしか知らせていない。
つまり、この場合、X-r=31 から、X-0=31,X-1=31,X-2=31,X-3=31,X-4=31より、
X=31,X=32,X-33,X=34,X=35 のいずれかの可能性がある。

全てでチェック

・X=31なら、{11,31,32,54,97}で31が隠されたことになる。r=1のはず。(2番目に小さいものを
 隠したのだから) ところが、r=Mod(11+31+32+54+97,5)=Mod(225,5)=0 で矛盾。

・X=32 明らかにあり得ない。

・X=33 {11,31,33,54,97}で33が隠されたことになる。r=2 でなくてはならない。
 実際 r=Mod(11+31+33+54+97,5)=Mod(227,5)=2 でOK

・X=34 {11,31,34,54,97}で34が隠された。r=2のはず。
 一方 r=Mod(11+31+34+54+97,5)=Mod(228,5)=3 矛盾

・X=35 {11,31,35,54,97}で35が隠された。r=2のはず。
 一方 r=Mod(11+31+35+54+97,5)=Mod(229,5)=4 で矛盾

 隠された数字は、X=33でまちがいなし!

 このやり方なら、あらゆるパターンに対応できそうです。(かも)

 説明のため長々と書きましたが、5*(n-1)+Y=M の値から、X=M、M+1、M+2、M+3、M+4 の
どれが適しているかは馴れると比較的瞬時に判断できそうです。

 多分これで当てる側はやれると思う。m にこだわらず、5*(n-1)+Y から始まる連続5つの整
数の中に答えが存在するから、訓練で選ぶコツを身につける。
(暗にrの値を正しく見つけ出していることに相当しているから。)


 DD++さんからのコメントです。(平成27年7月16日付け)

 これでもまだ不完全なはずです。具体的にどのケースがというのは全くわからないのです
が、ともかく不完全であることだけはわかるので証明を背理法マトリョーシカで。

 この打ち合わせで完璧に当てられると仮定します。(仮定P)その仮定の下でさらに、ある最
初の5枚では (1、2、3、4) がこの順で渡される場合があると仮定します。(仮定Q)このときの
当てる側の計算を追います。

 並び順を見て n=1、4枚の合計が10なので Y=0 ということは、候補は 5(1-1)+0+r つまり
0、1、2、3、4 ですが、0 というカードはそもそも存在せず、1、2、3、4 はいずれも渡されたカ
ードなのでありえません。つまり、伏せたカードを当てることができず、仮定Pに矛盾します。
つまり、仮定Qは誤りで、(1、2、3、4) というのは仮定Pの下では絶対に渡されるはずのない
順列ということになります。

 ということは、渡される可能性のあるカードの順列は多くとも
    124C4×24-1 = 9381251×24-1 = 225150023 通り
です。

 一方で、最初の5枚の選び方は 124C5=225150024 通りあり、いずれも起こりえることは明
らかです。225150024 羽の鳩を 225150023 個以下しかない巣箱に放てば、どこかの巣箱に
2羽入ってしまいます。

 つまり、最初の5枚の組み合わせが違うにもかかわらず渡される4枚が順番も含めて同じ
となってしまう2組がどこかにあるはずです。もちろんその場合は異なる1枚が伏せられてい
ることになるので、渡された4枚を見て確実に当たる保証などできるはずがありません。よっ
て仮定Pも誤りです。

 さて、ではどういう組み合わせだとダブるのか、となると今のところさっぱり検討はついてい
ませんけれど。(というか、ついていたらこんな回りくどい証明にしてません)


 GAI さんからのコメントです。(平成27年7月16日付け)

 この順序で渡される(または並べられている)ことは起こらないと思います。この4枚が渡さ
れる場合は、{1,2,3,4,9}、{1,2,3,4,14}、{1,2,3,4,19}、・・・、{1,2,3,4,5*i+4}の5枚のカードが選ばれ
た場合に限りますが(最後の数を隠すことになる。)、アシスタントは、r=4を計算していたから
こそ最後の数(5番目の当たる数)を隠し、全てでY=0より計算
  n=(X-r-Y)/5+1=(5*i+4-4-0)/5+1=i+1 (i=1,2,3,・・・,24)
のキーナンバーに対応する配列に、1、2、3、4の数字カードを並べてテーブルに示していま
す。
 {1,2,3,4,9}ならテーブルには、1、2、4、3 の順で並んでいます。(nの計算は2となるから)
従って、これから逆に演者がn=1を読み取る事は起こりえず(n≧2)、この仮定Qは成立しませ
ん。
 心配されているカードの配列が起こるのは、もともとの124枚に書かれている数字が
{0,1,2,3,4,・・・・・,123}で、これから選ばれた5個が{0,1,2,3,4}の場合には0が隠され、テーブルに
は、1、2、3、4でカードが並べられることになります。しかし、これでも0の数字は当てることは
できます。

 ただし、{1,2,3,4,124}の場合のnは、n=25となってしまいますが、ここは構わずアシスタントは
4、3、2、1とカードを並べておき、最後の1のカードを少し傾けて並べておく。

 演者はこのカードの並びはn=24とは解釈せず、n=25で読み取りその後を処理すれば問題
なし。もちろんこの約束はアシスタントと十分意思疎通を図っておくこと。


 DD++さんからのコメントです。(平成27年7月16日付け)

 GAI さんは、「起こらないと思います。」とのことですが、起こることを心配しているのでは
なく、起こりえないことを心配しています。

 また、これを認めるなら、そもそも124C5=124P4だから、124枚にする意味がもはや全くな
いですね。9999まで使っても置く4枚の傾け方で0から9まで表現できるように取り決めて、そ
のルールで4桁の数を書けばいいんですから。


 GAI さんからのコメントです。(平成27年7月16日付け)

 私の目的とDD++さんの目標が微妙に異なることを感じます。私の興味は遊び感覚でみた
場合、たくさんのカードからランダムに選ばれているにも関わらず、不思議にカードの数字
が分かってしまうことを相手に悟られにくくやれないものか?という点にあります。
(一種のマジックショーを狙っているつもりです。)

 ですから唯一の例外として最後の一枚は少し傾けるということを考えてしまうのです。DD++
さんにとってはそんなことをするくらいなら、角度を微妙に変えて置いたり、最後のカードを出
す時間を違えたりすることと同等ではないかとなると思います。
(種があるマジックは許せないと。)

 どちらかというと、数学的に厳密さを追求すると言うより、数学的なものを利用して遊べない
かに興味を持つ感覚なのです。また的外れの意見になるとは思いますが、

 ということは、渡される可能性のあるカードの順列は多くとも
    124C4×24-1 = 9381251×24-1 = 225150023 通り
です。

 一方で、最初の5枚の選び方は 124C5=225150024 通りあり、いずれも起こりえることは明
らかです。225150024 羽の鳩を 225150023 個以下しかない巣箱に放てば、どこかの巣箱に
2羽入ってしまいます。


の解説で感じたんですが、DD++さんも1、2、3、4の配列は起こらないとおっしゃっているので
124枚のカードに書いておく数字は、{1,2,3,4,・・・・,124}ではなく{0,1,2,3,・・・・,123}にしておけば、
1、2、3、4の配列も起こるし、s=25になることも起こりえないから、巣箱と鳩の数は一致できな
いのでしょうか?もちろんカードの端をちょいと傾ける必要も無くなるのではと・・・


 DD++さんからのコメントです。(平成27年7月17日付け)

 「 数学的に厳密さを追求すると言うより、・・・遊べないかに興味を持つ感覚」について少し
理解しきれないので教えてください。GAIさんのおっしゃる「数学的」ってなんでしょうか?私に
は、「この場合だけは特別に変な置き方を使ってもいいことにしよう」というのが、厳密さ以前
に数学的であること自体を放棄したようにしか見えませんでした。

 「 (種があるマジックは許せないと。)」については、むしろ全く逆で、だったら最初からさっさ
と奇術的手法を使えばいいのにという立場です。だってその方がはるかに楽ですし。数理だ
けで完結するものは、それを最後の最後まで貫けることが奇術的価値のほぼ全てですし。
あまり奇術を語るのはこの掲示板の趣旨に反しますから控えますが。

 「 {0,1,2,3,・・・・,123}にしておけば・・・」は、私も考えました。今のところ証明も反証も見つかり
ませんが、完全に場当たり的修正なので、本当にこれで問題なくなったかは慎重に判断した
ほうがよさそうと思っています。

 5で割った余りが1、2、3であるカードが25枚ずつで、余りが4であるカードだけ24枚なのに
もし、これでうまく行ったらかなり興味深い現象です。


 GAI さんからのコメントです。(平成27年7月17日付け)

 何気に使った言葉に詰め寄られると戸惑ってしまいますが、もともとカードマジックが好き
で以前、加藤英夫著書のCard Magic Library 第5巻にフィット・チェニイ&ボブ・ヴェスターン
のアイデア(ウィリアム・フィット・チェニイは数学者という。)という”チェニイの5枚のカードト
リック”と題した作品で、52枚のトランプから客に5枚のカードを引かせ、アシスタントにこれ
を渡し、そのうち4枚を並べて1枚を客に渡す、演者がこの一枚のカードを当てる、という現
象を起こす仕組みにすごく感激したことがありました。(まさに背景は合同式を用いた数学
的構造を巧に利用したトリックでした。)またコマネチ大学数学科いうテレビ番組にも取り上
げられていたこともありました。

 更に、とっておきの数学パズル(ピーター・ウィンクラー著)の本の中で、124枚のトランプ
(現実には無いが、マークや数字を広げて作るとする。)でやはり、任意の5枚を取り出し、
その内の4枚を並べ残り一枚のカードを当てることが可能であるとの記述をみました。

 以前感動していたので、なんとかこの仕組みが知りたく124枚のカードを{1,2,3,・・・,124}で
表し、mod 計算がキーになるはずだとあれこれ試行錯誤して”チェニイの5枚のカードトリッ
ク”のトリックを参考にしながら手順を作っていったのが昔このサイトにアップしていた”究極
のカード当て”でした。

 しかし、4枚のカードを並べるからには、4!=24通りに分かれるが、あの手順では、s=25な
る計算量が出現することは薄々気になっていました。でも、たいていの場合はオッケーにな
るのでまあーいいか。(ここが私の生来のええ加減さが現れている。)後から振り返ると124
枚のカードといえば誰だって{1,2,3,・・・}としたくなりますよね。当時の作品を振り返っても
{0,1,2,3,・・・,123} を検討している形跡部分がありました。まあしかし、{1,2,3,・・・,124}の前提で
計算式や分析をエクセルを用いてワークシートで作業していたので、今更変更していくのも
面倒と例外部分だけ違う方法で切り抜けようと考えていたと思います。

 「数学的」の言葉に何処まで説明できたか分かりませんが、DD++さんのおっしゃることも十
分理解できます。


 DD++さんからのコメントです。(平成27年7月17日付け)

 じゃあ、125枚あっても当たりますね。最初の5枚に125が混ざってたら困りますが、たいて
いの場合は混ざってないからまあーいいか。GAIさんがおっしゃってるのはこういうことなんで
すが...?

 厳密さを欠くといった場合、もし厳密にやろうと思えば厳密に正しい話にできるけど今回は
やらなかった意でしょう。厳密にやったら間違いが出てくるのは、厳密さを欠いているのでは
なくただの間違っている話でしかありません。ましてその間違いを筋を曲げて正しかったこと
にしてしまうのは...というのが私の考えです。


 GAI さんからのコメントです。(平成27年7月17日付け)

 話を整理します。

 124枚のカードに{1,2,3,・・・,124}の番号が書かれているとして進めます。たまたま客が5枚の
カードを
  {1,2,3,4,124}、{117,119,120,123,124}、{118,119,120,123,124}、{120,121,122,123,124}
のような組合せで選んだとすると、計算上n=25(残りの4枚のカードを並べるコードに対応する数)が出
現するので、4つの順列の24の数に入らないのでアシスタントは4、3、2、1の順番に並べて
最後のカードを曲げて暗にn=25を知らせる。これは128枚のカード{1,2,3,・・・,128}であっても
同様にs=25までの数が出現することでもあります。

 私が「まーいいか」と呟いたのは、ほとんどの5枚の組合せに対するn値は24以内に納まり、
これは4枚のカードの並びで相手に伝えることができるが、一部n=25に対する4枚のカード
の配列ではできないので、この値の伝え方としてカードを曲げるでやろうとしてる、です。演
者は、このnさえアシスタントから正しく伝えられたら並んだ4枚の数字から隠されたカードの
数字を5個に絞ることができ、n=25の計算がアシスタント側に起こったとしてもクリアーできた。
(あくまで、数あて遊びの世界での構成です。)

 124枚のカードの数字が{0,1,2,3,・・・,123}なら、この例外的カード操作は不要になりそうだな、
ということだけです。


 DD++さんからのコメントです。(平成27年7月17日付け)

 ピーター・ウィンクラー氏の著書に124枚とあったのは、124枚までなら"並び順だけで"当て
ることができるという意味では?GAIさんはそれに感動してどういうことか探ろうとしたのでは?

 こちらも話を整理しておきます。

 GAIさんの主張は次のどれですか?

A「124枚のカードを、並べられたカードの数値と順番で当てることができる」
B「124枚のカードを、並べられたカードの数値と順番で当てることができる(でも困ったときは
 角度に頼ろう)」
C「124枚のカードを、並べられたカードの数値と順番と角度で当てることができる」

Aなら私の考えはこうです。

「実際に当たらないケースがある(詳細は前述)から数学的に誤り」
0から123だとどうかはまだちょっとわかりませんが。

Bなら私の考えはこうです。
「数値と並び順だけと言っていたのを無視し始めたらもはや数学的ではない」
奇術として破綻しているわけではないのですが、数学ではないので適切な掲示板にてどうぞ。

Cなら私の考えはこうです。
「それなら同じ方法で125枚でも126枚でも当たるわけで、nC5≦nP4を満たす最大数が124で
あることとはもはや関係なく、数学的に真ではありますが数学的面白みを喪失しています」


 GAI さんからのコメントです。(平成27年7月17日付け)

 そう言う趣旨だったんですね。随分昔の事だったので思い出しながら振り返っていますが、
そうです、そうです。しかし、隠したカードの数字を如何に探し出すかなかなか上手く行かず
(確か3〜4日かかった)悪戦苦闘していたら偶然も重なってある時何となく見つけ出す式が
繋がってきて、いろいろな数字で確かめていたらピタリ一致できる回路があるように感じたの
です。

 この時は、4!=24の順列を元に探し出すという当初の設定はもう頭の中からすっ飛んでいた
と思います。何とか隠した1枚の数が出てくる方法に切り替わってしまっていたようです。式が
繋がったことに大喜びをし、そのままアップしたという経緯になっていた。

 従って、n=25が計算で出ても、平気でもう一つ欄を増やして、さてこれは如何に処理するも
のかと本来の制約はそっち置きでマジック手法を考えていました。一応{0,1,2,3,・・・,123}でやる
と、n=25は使わなくても済みそうだとは気づいてはいたんですが、もう頭の中はマジック風カ
ード当てになっていて、必ず24通りでの範囲が絶対条件であることがどこかに飛んでしまって、
兎に角数字が見つかることの方へ気を取られて、DD++さんに指摘されるまでこれを認識でき
なかったのは確かです。

 ただ、4!=24通りの順列だけで探し出せるという題目では不備な内容ですね。でも124種類
のカードに通し番号0,1,2,3,・・・,123を打っておけば24通りの順列だけでカードは当たりますよ
ね。(当たらなかったらその例を教えて下さい。)なんか不思議だな?


 らすかるさんからのコメントです。(平成27年7月17日付け)

 もし0から123で出来るならば、1〜124でも「1引いて考える」ことで出来るのでは?


 DD++さんからのコメントです。(平成27年7月17日付け)

 はい、その通りです。ここでは、述語が「GAIさんの計算方法でうまくいく」だったのですが、
ちゃんと書くのをサボったせいで誤解を産んでしまいました、すみません。0から123でうまく
行くなら極論としては判別のつく124枚なんでも同じ方法で大丈夫なのはおっしゃる通り。

 124種類のカードに通し番号0,1,2,3,・・・,123を打っておけば24通りの順列だけでカー
ドは当たる

について、無事証明できました。ポイントはそれより小さい数が5枚の中に何枚あるかではな
く、5枚"以外"の中に何枚あるかでした。

一応目的の再確認。

 「0から123までのカードから無作為に5枚選ぶ。太郎がある法則に従ってそのうち4枚を机の
上に並べると、次郎はその数値と並び順だけを見て隠された1枚の数値を必ず当てることが
できる」

 これの証明になります。

 まず、次郎側から考えます。

 次郎からは4枚のカードはどこにあるか判明しており、ということはどこにあるか判明してい
ないカードは120枚あります。これらを「残っている」カードと呼ぶことにしましょう。

 次郎としては、この120枚を数字順に並べたときに、隠したカードの前に何枚「残っている」
かを0から119までの数で伝えてもらえば、あとは数えれば(または簡易な計算で)隠されたカ
ードを当てることができます。

 これは、その数を5で割った商(0から23まで)と余り(0から4まで)を別々に伝えてもらえば
いいことになります。

 そこで太郎は以下のようにします。

 まず余りですが、これは次郎の「4枚の合計に何を足したら5の倍数になるかで余りを知る」
という法則を先に作り、それに隠すカードの方を法則に合わせて対応します。

 最初の5枚を小さい順に、A、B、C、D、Eとします。

Aの前に「残っている」枚数は、A枚
Bの前に「残っている」枚数は、B-1枚
Cの前に「残っている」枚数は、C-2枚
Dの前に「残っている」枚数は、D-3枚
Eの前に「残っている」枚数は、E-4枚

ですから、

(Aの前に「残っている」枚数)+B+C+D+E = A+B+C+D+E
A+(Bの前に「残っている」枚数)+C+D+E = A+B+C+D+E-1
A+B+(Cの前に「残っている」枚数)+D+E = A+B+C+D+E-2
A+B+C+(Dの前に「残っている」枚数)+E = A+B+C+D+E-3
A+B+C+D+(Eの前に「残っている」枚数) = A+B+C+D+E-4

となり、このうちどれか1つだけは5の倍数です。よって、A+B+C+D+Eから何を引けば5の倍数
になるかを太郎が求めて伏せるカードを選ぶことで正しく伝達することができます。

 商の方はカードの並び順が24通りありますので、どんな4枚組でも大きさの順番4!=24通りを
数字に対応させることができ、これは次郎も正しく読み取ることができます。

 これで太郎は伝えたい数字を5で割った商と余りを伝えることができたので、あとは次郎が
当ててくれるのを待つだけです。以上で証明終了です。

 具体的に一例やってみましょう。

 最初のカードが「17,33,59,67,100」だったとすると、5枚の合計から1を引けば5の倍数になる
ので、太郎は2番目に小さい33を隠すカードに選択。33より前に残っているカードは0から32ま
でのうち17を除くので32枚。これを5で割った商は6なので、残り4枚の配置を辞書順配列した
6番目である「17,100,67,59」に並べて次郎に提示。
(0から23までに対応させるなら7番目の方がいい気もしますがその辺はお好みで)

 次郎は、「17,100,67,59」という大きさ順を見て、太郎が伝えたかった商は6だと判断。また、
4枚の合計に2を加えれば5の倍数になることから、太郎が伝えたかった余りは2と判断。つま
り隠されたカードより前には5×6+2=32枚「残っている」ので、17が見えていることに注意して
伏せられた数は33だと求まる、という感じです。

 最初が0と1で何が変わるかというと、「残っている」カードの枚数が1枚ずれること。ここを正
しく補正してやれば1から124でも「まず全部から1引いて」としなくても大丈夫なはずです。


 GAI さんからのコメントです。(平成27年7月18日付け)

 うまくいくかもしれないと思った手順と対応させて見ます。

 具体的に一例やってみましょう。

 最初のカードが「17,33,59,67,100」だったとすると、5枚の合計から1を引けば5の倍数になる
ので、太郎は2番目に小さい33を隠すカードに選択。

以下太郎の仕事

(1) r=mod(17+33+59+67+100,5)=mod(276,5)=1
(2) r+1番目に小さい数を隠す。よって、 X=33 を隠す。

 33より前に残っているカードは0から32までのうち17を除くので32枚。これを5で割った商は
6なので、残り4枚の配置を辞書順配列した6番目である「17,100,67,59」に並べて次郎に提示。
(0から23までに対応させるなら7番目の方がいい気もしますがその辺はお好みで)


(3) 残った4枚の和 s=17+59+67+100=243 を計算し、s+Y≡0 (mod 5)を満たす最小のYを
  決める。よって、Y=2

(4) コード表に対応するnを、n=(X-r-Y)/5+1 の式で計算する。よって、n=(33-1-2)/5+1=7

(5) (1,2,3,4)から始まる辞書式順列の7番目を見つける。
  (1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4)
 
  よって、残り4枚{17,59,67,100}を(2,1,3,4)の大きさの順に並べる。

 テーブルに[59,17,67,100]のカードが並べられる。

  次郎は「17,100,67,59」という大きさ順を見て、太郎が伝えたかった商は6だと判断。

以下次郎の仕事

(1) テーブルに並べられた4枚の順序を見て、(2,1,3,4),n=7 を認識する。

 4枚の合計に2を加えれば5の倍数になることから、太郎が伝えたかった余りは2と判断。

(2) 4つのカードの和 s=17+100+67+59=243 を計算し、s+Y≡0 (mod 5)を満たす最小のY
   を決める。よって、Y=2  (太郎と同じ作業)

 隠されたカードより前には5×6+2=32枚「残っている」ので、17が見えていることに注意して
伏せられた数は33だと求まる、という感じです。


(3) 隠した数Xの可能性をもつ最小数Mを、M=5(n-1)+Y から求める。よって、M=5(7-1)+2=32

(4) これから連続する5つの整数 32,33,34,35,36 (順番にr=0,1,2,3,4に対応する。)のいずれ
   かがXになる。
 *もし、それぞれが最初の5枚に含まれていれば、太郎の計算 r はそれぞれ
     r=mod(s+32,5)=0
     r=mod(s+33,5)=1
     r=mod(s+34,5)=2
     r=mod(s+35,5)=3
     r=mod(s+36,5)=4
   となるはずである。

(5) ところで、実際にテーブルに並んでいる4枚は[59,17,67,100]->[17,59,67,100](見易いよ
  うに大小順にした。)なのだから、Xの可能性を持つ{32,33,34,35,36}群は上の2番目、3番
  目の間に居るべき位置を占める。これはr=1であることを意味する。
  従って、X=33 が隠されているカードに書かれている数字

  最初が0と1で何が変わるかというと、「残っている」カードの枚数が1枚ずれること。ここを
 正しく補正してやれば1から124でも「まず全部から1引いて」としなくても大丈夫なはずです。


 これでやっと{1,2,3,・・・,124}でも{0,1,2,3,・・・,123}でも通用することが分かりました。でも、この
違いって私には大きな壁でした。


 数当て遊びのバージョンアップと題して、GAI さんかの続報です。
                                       (平成27年7月15日付け)

 124C5=124P4 なる関係式から、1〜124を一つずつ書いた124枚のカードから任意の5枚を
抜き出し、このうちの1枚のカードを隠し、残りの4枚をアシスタントが適当に並べると、隠して
おいたカードの数字を当てるトリックは一般に、

8C3=8P2:{1〜8}のカードから3枚取りだし、2枚を並べ1枚を隠す。
27C4=27P3:{1〜27}のカードから4枚取りだし、3枚を並べ1枚を隠す。
725C6=725P5:{1〜725}のカードから6枚取りだし、5枚を並べ1枚を隠す。
5046C7=5046P6:{1〜5046}のカードから7枚取りだし、6枚を並べ1枚を隠す。
40327C8=40327P7:{1〜40327}のカードから8枚取りだし、7枚を並べ1枚を隠す。
362888C9=362883P8:{1〜362888}のカードから9枚取りだし、8枚を並べ1枚を隠す。
3628809C10=3628809P9:{1〜3628809}のカードから10枚取りだし、9枚を並べ1枚を隠す。
・・・・・・・・・・・・

のカード数当てゲームにも受け継がれる。

 ここに、「725C6=725P5:{1〜725}のカードから6枚取りだし、5枚を並べ1枚を隠す。」のやり
方を掲載してみます。(他もこれを踏襲すれば全て上手く行きます。)

<準備>
 1から725の数字が重複することなく一つずつ書かれたカード725枚を作る。これから客に、
任意の6枚を自由に選ばせアシスタントへ渡す。

具体例:{45,54,89,321,589,736}としておきます。(小さい順に並べておく。)

 アシスタントの仕事; 渡された6枚のカードに書かれている数字を合計して6で割った余り
             (これをrで表しておきます。)を計算する。
             r=Mod(45+54+89+321+589+736,6)=Mod(1834,6)=4 (∵1834=6*305+4)

             6枚のカードのうち左から(=小さい方から)r+1番目のカードを隠す。
             この例の場合はr+1=4+1=5 より589の数字が書かれたカードを隠すよ
             うにする。これをX=589と表します。
             次に残った5枚のカード{45,54,89,321,736}の和s=1834-589=1245を求
             め、s+Y≡0 (Mod 6)を満たす最小のYを決める。
             この場合 1245+Y≡0 (Mod 6) から Y=3  (∵ 1248=6*208)
             更に、このr、X、Yの値を使って、n=(X-r-Y)/6+1 なる値を算出する。
             (以下掲げるコート表ナンバーになる。)
             この場合、n=(589-4-3)/6+1=582/6+1=97+1=98

--コード表--(これはあなたとアシスタントで取り決めた規則として共通に覚えておく。)

 この場合n=98 なので対応するコード表から、5、1、2、4、3 即ち、残った5枚のカード
{45,54,89,321,736}を、5、1、2、4、3の順に配列して並べる。従って、この場合は、この順に対
応するカードは、「736、45、54、321、89」としてテーブルに並べる。
(もしくはこの順を保って5枚まとめてあなたが受け取ってもよい。)

 あなたの仕事: 5枚のカードの並びを見て、大小順で、5、1、2、4、3 が読み取れる。そこ
          で、これに対応したコード表からn=98 を知る。見えている5枚のカードの数
          字の和s=736+45+54+321+89=1245 を計算して、アシスタントと同様に
          s+Y≡0 (Mod 6)を満たす最小のYを決める。この場合、1245+Y≡0 (Mod 6)
          から同じく Y=3 を手に入れる。隠された一枚に書かれている数字Xは、
          M=6*(n-1)+Y=6*(98-1)+3=582+3=585 から連続する6個の整数
          X=585、586、587、588、589、590 のいずれかであることは断定できる。
          最後にテーブルに並んだカードを小->大にしてみると
            736、45、54、321、89->45、54、89、321、736
          で、候補の585〜590なる数は上記配列の4番目(321)と5番目(736)の間に
          納まる位置になる。
          これはアシスタントがr=4と計算していたのでr+1=5番目に対応するXを隠し
          たことを意味する。即ち、
           Mod(1245+585,6)=4?、Mod(1245+586,6)=4?、Mod(1245+587,6)=4?
             Mod(1245+588,6)=4?、Mod(1245+589,6)=4?、Mod(1245+590,6)=4?
          をチェックすればよい。
          Mod(1245+589,6)=4 が確認でき、隠したカードに書かれている数字X=589
          ですと。

 他の場合でも、Mod を6から7、8へ、÷6を7,8などに変更すれば同様な手続きで隠れた数
字を当てることが可能です。ただ、Mod では、3や5などが計算しやすいので、これらが適当
か。(コード表も比較的暗記可能)


 りらひいさんからのコメントです。(平成27年7月16日付け)

 以下の内容は本筋とは全く関係ありません・・・。コード表を覚えるのは大変なので、次の
ような方法はいかが?

○ n → 配列 ・・・ 「特定の順列を見つける方法」に書かれている方法を利用

(例)n=83

 上記のページとは少し手順を変えます(結果としては同じだけども)。

 83から1を引いた82の階乗進法表記は、82=3*4!+1*3!+2*2!+0*1!+0*0!
それぞれの桁の数字に1を足して、4番目,2番目,3番目,1番目,1番目
12345 の4番目の数字は、4
1235  の2番目の数字は、2
135   の3番目の数字は、5
13    の1番目の数字は、1
3     の1番目の数字は、3
よって、4,2,5,1,3

○ n ← 配列

 順列の各数字について、その数字より小さい数字がその右側にいくつあるか数える。その
数を並べて階乗進数とみて整数を求め1を足す。

(例)4,2,5,1,3

 小さい数字の数は、順番に、3個、1個、2個、0個、0個
階乗進数とみなすと、3*4!+1*3!+2*2!+0*1!+0*0!=82 で、1を足して、n=83

 観客を驚かせようと思ったら計算してる暇なんてないので覚えるしかないけどね。


 GAI さんからのコメントです。(平成27年7月18日付け)

 上記でも触れましたが、{0,1,2,3,・・・・,3628808} (とカードに通し番号が付いているとし)の
3628809枚の異なるカードから任意に10枚選ばせ、この内の1枚を隠し、残り9枚を適当に
並べることで隠した1枚のカード(に書かれた数字)を当てることに、この手法は繋がります
よね。このときの計算にりらひいさんが紹介してくれた階乗進法表記計算は大いに役立ち
ますね。正に組合せの妙を見る想いです。


22.Mind Reading

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成25年3月2日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 適当に3桁の数を思い浮かべて下さい。これを2回並べて書いたもの(6桁の数)を7で割
ったときの余りを r とする。この余り r にあなたの好きな2桁の数を加えてできた数をNとす
る。この十の位と一の位を足す。そしてNからその足した数を引きます。

 さて下から、計算結果の数に対応するシンボルをしっかりイメージして下さい。

   1=(§)  34=(▼)  67=(☆)
   2=(∇)  35=(§)  68=(◎)
   3=(▼)  36=(※)  69=(■)
   4=(〓)  37=(♯)  70=(▲)
   5=(♯)  38=(■)  71=(∇)
   6=(◎)  39=(☆)  72=(※)
   7=(§)  40=(◎)  73=(■)
   8=()  41=(▼)  74=(▲)
   9=(※)  42=(■)  75=(♭)
  10=(♭)  43=(〓)  76=(☆)
  11=(◎)  44=(∇)  77=(♭)
  12=(▲)  45=(※)  78=(※)
  13=(♯)  46=(☆)  79=(∬)
  14=(∇)  47=(♭)  80=(★)
  15=()  48=(★)  81=(※)
  16=()  49=(◎)  82=(∇)
  17=(■)  50=(§)  83=(☆)
  18=(※)  51=(♯)  84=(◎)
  19=(▼)  52=(♭)  85=(♯)
  20=(◎)  53=(♯)  86=(▲)
  21=(▲)  54=(※)  87=(☆)
  22=(◆)  55=(∇)  88=(♭)
  23=(∀)  56=(∀)  89=(◎)
  24=(▼)  57=(☆)  90=(⇔)
  25=(○)  58=(◆)  91=(■)
  26=(〓)  59=(⇔)  92=(〓)
  27=(※)  60=(■)  93=(●)
  28=(◎)  61=(○)  94=(※)
  29=()  62=(∬)  95=(☆)
  30=(■)  63=(※)  96=(☆)
  31=()  64=(▲)  97=(♯)
  32=(〓)  65=(∇)  98=(〓)
  33=(☆)  66=(∂)  99=(◎)

あなたが頭に描いたイメージは? →→→ (※) でしょう!


(コメント) 3桁の数をabcとすると、6桁の数abcabcは7の倍数であるので、r=0

      よって、N=10d+e+r=10d+e から、d+e を引いて、9d を得る。

      このとき、d が何であっても、頭に描くイメージは、(※)となる。

       ところで、「78」、「94」に(※)とあるのは、ダミー??

23.ポーカー占い

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成25年5月25日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


<セット方法>  スペードのA,J,Q,K,10の5枚を20枚のパケット(他の15枚は絵札
          以外で10枚程度を赤のカードとクラブ、スペードでの5枚当たりで構成)の
          上から2,3,10,11,20枚目に配置しておく。

<やり方>

1.「何枚かを表にします」と、上から1枚右手に送り(裏向きのまま)2枚目をひっくり返し表
 向きとする。(このカードは再び1枚目のカードの下に入れる)
  同じく、1枚送り4枚目を表、また2枚送り(裏向きのまま)、7,8枚目を重ねてひっくり返
 し表向き。上と同じ操作で、1枚送り(9枚目のカード)10枚目のカードを表向きに、さらに
 1枚送り、12枚目を表向き、2枚送り、15,16枚目を同時に重ねて表向きとする。
  最後、1枚送り、残りの3枚を重ねて同時にひっくり返し表向きにする。
  こうして全体で上から、2,4,7,8,10,12,15,16,18,19,20枚目が表向きにな
 っている。

2.パケットを適当な位置でカットして、テーブルにカードを左右に分けながら配り2つの山を
 作る。

3.一方の山をそっくりひっくり返して他方の山の重ねる。

4.重ねた20枚のパケットを、5枚が表向きで現れる天地でカードをテーブルにリボンスプレ
 ッドしてみる。この5枚だけが表向きになったカードの組合せをみて、ポーカーの手で自分
 の運勢を占う。(ワンペアーや時にはフルハウスも出現)

5.ではあなたの運勢を占ってもらいましょうと、このパケットを客に渡し、「好きな位置でまず
 カットし、その後トップとその次のカード2枚を同時にひっくり返して下さい。」と操作を指示
 する。これを客が気の済むまで何回でも繰り返し行わせる。

6.気が済むまで操作されたパケットを受け取り(このパケットはその後決してカットしてはい
 けない)、そのままテーブルに左右に分けて2つの山を作る。このとき、どちらの山にスペ
 ードの10,J,Q,K,Aが表向きで現れるか見ておこう。

7.配り終えたら一方の山をそっくりひっくり返して他方の山に重ねる。

8.合わせたパケットを今日のあなたの運勢ですとコメントして、テーブルに広げて見て下さ
 い。最高の一日が訪れることになります。

 なおこの原理はマジシャンのボブ・ハマーにあり、マジシャンが数理にとても明るい人種で
あることが分かります。逆にマジシャンが数学者になったダイアコニス(スタンフォード大学教
授)のような人物もいる。


24.マジシャンの数理

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成25年12月11日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 一組のトランプ(52枚)から任意の9枚を取り出す。この9枚から、1枚を引かせてカードを
覚えてもらう。(例 スA、ス2、ス3、ス4、ス5、ス6、ス7、ス8、ス9 → スA

 マジシャンは残りの8枚のカードを右手に持ち、3枚を右手から左手にカウントしてとり、こ
の左手を差し出し、この上にカードを戻させる。
例 ス2、ス3、ス4、ス5、ス6、ス7、ス8、ス9 → スA、ス4、ス3、ス2

 そして、残り5枚の右手にもつカードを更にこの上に重ねる。何気に3枚のカードをラン(一
枚ずつシャッフルして3枚数え取る。)し、この3枚をボトム側に入れる。
例 ス5、ス6、ス7、ス8、ス9 → ス5、ス6、ス7、ス8、ス9、スA、ス4、ス3、ス2
                   → ス8、ス9、スA、ス4、ス3、ス2、ス5、ス6、ス7
 <現在客がみたカードは上から3枚目にコントロールされている。>

 いったん、この9枚のカードのパケットをテーブルの端において置く。

 次に、余った43枚のパケットを取り上げ、客にこの中から任意にカードを一枚引かせる。
例 残り43枚 → ダA

 もしこのカードが、

 スペードの3なら-->three of spades
 ハートのJなら----->Jack of hearts(A→Ace、Q→Queen、K→King)
 クラブの10なら-->ten of clubs
 ダイアの4なら---->four of diamonds

などの綴りで表す。 (例 ダA → Ace of diamonds

 さきほどの9枚のパケットをとりあげて、このカードの綴りの文字数に対応させて、
Ace of diamonds なら、まず、3枚(Ace の3文字に対応)のカードをテーブルに数え重ね(一
枚ずつ重ねていく)残りのカードをこの上にまとめてのせる。
例 Ace → 3枚 → スA、ス9、ス8 → ス4、ス3、ス2、ス5、ス6、ス7、スA、ス9、ス8

 再びパケットを取り上げ、次に2枚(of の2文字に対応)のカードをテーブルに重ね、残りを
まとめてその上ののせる。
例 ス4、ス3、ス2、ス5、ス6、ス7、スA、ス9、ス8 → ス2、ス5、ス6、ス7、スA、ス9、ス8、ス3、ス4

 再び持ち上げ、8枚(diamonds の8文字に対応)のカードを数え重ね、残りをのせる。
例 ス2、ス5、ス6、ス7、スA、ス9、ス8、ス3、ス4 → ス4、ス3、ス8、ス9、スA、ス7、ス6、ス5、ス2

 最後に、では、おまじないをかけて下さいと、「でてこい」と大きな声で、お願いしますと客に
言ってもらう。

 これに合わせて、4枚カードをテーブルに数え重ねる。残りはその上にまとめてのせる。テ
ーブルに積んだパケットを取り上げる。
例 ス4、ス3、ス8、ス9、スA、ス7、ス6、ス5、ス2
                                 → 
スA、ス7、ス6、ス5、ス2、ス9、ス8、ス3、ス4

 「では、あなたが見て覚えたカードは何ですか?」と客にカードの名前を言ってもらう。

 そっと、パケットを客の前に突き出し、一番上のカードを見るよう催促する。 (例 スA
大抵の人はアッと驚く。(種明かしはご自分で)


(コメント) 不思議ですね。アッと驚きました!どんな仕掛けなのだろう?


25.数当てゲーム(3)

 数当てゲームとして、次のものがよく知られている。

 1から15までの整数のうち8つの数を書いた4枚のカードがある。

   (A) 8、9、10、11、12、13、14、15
   (B) 4、5、6、7、12、13、14、15
   (C) 2、3、6、7、10、11、14、15
   (D) 1、3、5、7、9、11、13、15

(遊び方)

(1) 相手に、1から15までの整数のうち、好きな数を覚えてもらう。

(2) 覚えた数が含まれるカードを(A)〜(D)からすべて答えてもらう。

(3) 答えてもらったカードの先頭の数を足すと、それが求める数になる。

(数学的背景) カード(A)〜(D)に書かれている数を全て2進法で表すとそのカラクリが見
         えてくる。

   (A) 1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111
   (B) 0100、0101、0110、0111、1100、1101、1110、1111
   (C) 0010、0011、0110、0111、1010、1011、1110、1111
   (D) 0001、0011、0101、0111、1001、1011、1101、1111

 この原理が分かれば、1から31までとか1から63までなど思いのままに数当てゲームを
作ることができる。

(例) 1から63までの整数のうち32個の数を書いた6枚のカードがある。

(A) 100000、100001、100010、100011、100100、100101、100110、100111、101000、101001、101010、
    101011、101100、101101、101110、101111、110000、110001、110010、110011、110100、110101、
    110110、110111、111000、111001、111010、111011、111100、111101、111110、111111


(B) 010000、010001、010010、010011、010100、010101、010110、010111、011000、011001、011010、
    011011、011100、011101、011110、011111、110000、110001、110010、110011、110100、110101、
    110110、110111、111000、111001、111010、111011、111100、111101、111110、111111


(C) 001000、001001、001010、001011、001100、001101、001110、001111、011000、011001、011010、
    011011、011100、011101、011110、011111、101000、101001、101010、101011、101100、101101、
    101110、101111、111000、111001、111010、111011、111100、111101、111110、111111


(D) 000100、000101、000110、000111、001100、001101、001110、001111、010100、010101、010110、
    010111、011100、011101、011110、011111、100100、100101、100110、100111、101100、101101、
    101110、101111、110100、110101、110110、110111、111100、111101、111110、111111

(E) 000010、000011、000110、000111、001010、001011、001110、001111、010010、010011、010110、
    010111、011010、011011、011110、011111、100010、100011、100110、100111、101010、101011、
    101110、101111、110010、110011、110110、110111、111010、111011、111110、111111


(F) 000001、000011、000101、000111、001001、001011、001101、001111、010001、010011、010101、
    010111、011001、011011、011101、011111、100001、100011、100101、100111、101001、101011、
    101101、101111、110001、110011、110101、110111、111001、111011、111101、111111


 十進数に変換すると、

(A) 32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、
   49、50、51、52、53、54、55、56、57、58、59、60、61、62、63

(B) 16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、48、
   49、50、51、52、53、54、55、56、57、58、59、60、61、62、63

(C) 8、9、10、11、12、13、14、15、24、25、26、27、28、29、30、31、40、
   41、42、43、44、45、46、47、56、57、58、59、60、61、62、63

(D) 4、5、6、7、12、13、14、15、20、21、22、23、28、29、30、31、36、37、
   38、39、44、45、46、47、52、53、54、55、60、61、62、63

(E) 2、3、6、7、10、11、14、15、18、19、22、23、26、27、30、31、34、35、
   38、39、42、43、46、47、50、51、54、55、58、59、62、63

(F) 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33、35、37、
   39、41、43、45、47、49、51、53、55、57、59、61、63

(使用例) 覚えた数が「38」だと、「38」を含む(A)〜(F)のカードの先頭に書かれている数
      の和は、32+4+2=38 となり、一致する。


26.誕生日当てゲーム

 あなたの誕生日を当てます。

(1) 生まれた月の数を20倍して6を足します。

(2) その数を5倍して、生まれた日を足します。

(3) その数から30を引いた数を教えてください。

 これで、あなたの誕生日は一発で分かります。

(数学的背景) 誕生日を、y月d日とすると、上記の(1)(2)(3)の計算から、

     (20y+6)×5+d−30=100y+d

 上記の計算から分かるように、「6を足して5倍し、30を引く」という計算が相手を煙に巻く
手法ですね!

 誕生日が、12月25日だと、計算結果は、1225となります。


27.数当てカード

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、数当てカードを作成された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成26年5月30日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 従来、数当てカードに利用されているものは、2進法を利用したものがほとんどで、「ある」、
「ない」の返事から相手の数字を当てるというもので、当たる割りには作業が多い。

 そこで、3進法、4進法を取り入れ、「ない」、「赤」、「青」、「黒」などの返事を利用して、作業
が楽な割りには多くの数を対象にできるカードを作ってみました。

 もちろん、数学に通じた方には茶番でしょうが、純情無垢な小学校低学年生には喜んでもら
えるかな?
 
A
01 02 04 05 07 08
10 11 13 14 16 17
19 20 22 23 25 26
28 29 31 32 34 35
37 38 40 41 43 44
46 47 49 50 52 53
55 56 58 59 61 62
64 65 67 68 70 71
73 74 76 77 79 80
 
B
03 04 05 06 07 08
12 13 14 15 16 17
21 22 23 24 25 26
30 31 32 33 34 35
39 40 41 42 43 44
48 49 50 51 52 53
57 58 59 60 61 62
66 67 68 69 79 71
75 76 77 78 79 80
 
C
09 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26
36 37 38 39 40 41
42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53
63 64 65 66 67 68
69 70 71 72 73 74
75 76 77 78 79 80
 
D
27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38
39 40 41 42 43 44
45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62
63 64 65 66 67 68
69 70 71 72 73 74
75 76 77 78 79 80
 
X
001 002 003 005 006 007 009 010
011 013 014 015 017 018 019 021
022 023 025 026 027 029 030 031
033 034 035 037 038 039 041 042
043 045 046 047 049 050 051 053
054 055 057 058 059 061 062 063
065 066 067 069 070 071 073 074
075 077 078 079 081 082 083 085
086 087 089 090 091 093 094 095
097 098 099 101 102 103 105 106
107 109 110 111 113 114 115 117
118 119 121 122 123 125 126 127
129 130 131 133 134 135 137 138
139 141 142 143 145 146 147 149
150 151 153 154 155 157 158 159
161 162 163 165 166 167 169 170
171 173 174 175 177 178 179 181
182 183 185 186 187 189 190 191
193 194 195 197 198 199 201 202
203 205 206 207 209 210 211 213
214 215 217 218 219 221 222 223
225 226 227 229 230 231 233 234
235 237 238 239 241 242 243 245
246 247 249 250 251 253
 
Y
004 005 006 007 008 009 010 011
012 013 014 015 020 021 022 023
024 025 026 027 028 029 030 031
036 037 038 039 040 041 042 043
044 045 046 047 052 053 054 055
056 057 058 059 060 061 062 063
068 069 070 071 072 073 074 075
076 077 078 079 084 085 086 087
088 089 090 091 092 093 094 095
100 101 102 103 104 105 106 107
108 109 110 111 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127
132 133 134 135 136 137 138 139
140 141 142 143 148 149 150 151
152 153 154 155 156 157 158 159
164 165 166 167 168 169 170 171
172 173 174 175 180 181 182 183
184 185 186 187 188 189 190 191
196 197 198 199 200 201 202 203
204 205 206 207 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
228 229 230 231 232 233 234 235
236 237 238 239 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253
 
Z
016 017 018 019 020 021 022 023
024 025 026 027 028 029 030 031
032 033 034 035 036 037 038 039
040 041 042 043 044 045 046 047
048 049 050 051 052 053 054 055
056 057 058 059 060 061 062 063
080 081 082 083 084 085 086 087
088 089 090 091 092 093 094 095
096 097 098 099 100 101 102 103
104 105 106 107 108 109 110 111
112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127
144 145 146 147 148 149 150 151
152 153 154 155 156 157 158 159
160 161 162 163 164 165 166 167
168 169 170 171 172 173 174 175
176 177 178 179 180 181 182 183
184 185 186 187 188 189 190 191
208 209 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253
W
064 065 066 067 068 069 070 071
072 073 074 075 076 077 078 079
080 081 082 083 084 085 086 087
088 089 090 091 092 093 094 095
096 097 098 099 100 101 102 103
104 105 106 107 108 109 110 111
112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127
128 129 130 131 132 133 134 135
136 137 138 139 140 141 142 143
144 145 146 147 148 149 150 151
152 153 154 155 156 157 158 159
160 161 162 163 164 165 166 167
168 169 170 171 172 173 174 175
176 177 178 179 180 181 182 183
184 185 186 187 188 189 190 191
192 193 194 195 196 197 198 199
200 201 202 203 204 205 206 207
208 209 210 211 212 213 214 215
216 217 218 219 220 221 222 223
224 225 226 227 228 229 230 231
232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247
248 249 250 251 252 253

 ご利用の節は、適当に4進法で色塗りして下さい。


28.4進法のマジックへの利用

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成26年6月7日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 以前、3進法を利用したカードマジック「5..思いの位置からの出現」が、平成21年10月9
日付けでアップされた。

 これは、1〜27の任意の位置からカードを出現させるものを出していたのですが、どんな
人でも誕生日に関連づけるためには、28,29,30,31日がキズになっていて気懸かりで
した。そこでどんな人でも使えるように、4進法を利用する改良ができたのでアップしておき
ます。

 一組のトランプから任意の32枚を取り出す。(残りは使いません。)この中から客に好き
な1枚を選んで貰い、覚えたら、わからないようにパケットをよくシャッフルさせる。

 客に誕生日をさりげなく聞き出す。(あるいは前もって調べておいても良い。)この客の誕
生日に当たる数字をdとし、密かに次の計算をする。

 2(d−1)を4進法になおし、3桁の数字で表しておき(0も使っておく)、この数字の配列を逆
順にする。
難しそうですがやってみるとすぐに慣れます。

例 d=16 ならば、2(d−1)=30 → 4進法では、 132 逆順では、231:[2,3,1]

(計算結果の一覧)
 1 BANME :[ 0 , 0 , 0 ]
  2 BANME :[ 2 , 0 , 0 ]
  3 BANME :[ 0 , 1 , 0 ]
  4 BANME :[ 2 , 1 , 0 ]
  5 BANME :[ 0 , 2 , 0 ]
  6 BANME :[ 2 , 2 , 0 ]
  7 BANME :[ 0 , 3 , 0 ]
  8 BANME :[ 2 , 3 , 0 ]
  9 BANME :[ 0 , 0 , 1 ]
  10 BANME :[ 2 , 0 , 1 ]
   11 BANME :[ 0 , 1 , 1 ]
  12 BANME :[ 2 , 1 , 1 ]
  13 BANME :[ 0 , 2 , 1 ]
  14 BANME :[ 2 , 2 , 1 ]
  15 BANME :[ 0 , 3 , 1 ]
  16 BANME :[ 2 , 3 , 1 ]
  17 BANME :[ 0 , 0 , 2 ]
  18 BANME :[ 2 , 0 , 2 ]
  19 BANME :[ 0 , 1 , 2 ]
  20 BANME :[ 2 , 1 , 2 ]
   21 BANME :[ 0 , 2 , 2 ]
  22 BANME :[ 2 , 2 , 2 ]
  23 BANME :[ 0 , 3 , 2 ]
  24 BANME :[ 2 , 3 , 2 ]
  25 BANME :[ 0 , 0 , 3 ]
  26 BANME :[ 2 , 0 , 3 ]
  27 BANME :[ 0 , 1 , 3 ]
  28 BANME :[ 2 , 1 , 3 ]
  29 BANME :[ 0 , 2 , 3 ]
  30 BANME :[ 2 , 2 , 3 ]
 31 BANME :[ 0 , 3 , 3 ]

 演技で作業がし易い様に、各数字に「+1」した作業コード表を作成したものが下表。
  1--->[111]
2--->[311]
3--->[121]
4--->[321]
5--->[131]
6--->[331]
7--->[141]
8--->[341]
9--->[112]
10--->[312]
  11--->[122]
12--->[322]
13--->[132]
14--->[332]
15--->[142]
16--->[342]
17--->[113]
18--->[313]
19--->[123]
20--->[323]
  21--->[133]
22--->[333]
23--->[143]
24--->[343]
25--->[114]
26--->[314]
27--->[124]
28--->[324]
29--->[134]
30--->[334]
31--->[144]

 このコード表は、32枚のパケットを上から一枚ずつテーブルに表にしながら4列に山を作っ
ていく。(各山8枚ずつ)このどの山に、覚えたカードは入り込んでいたかを問う。

 客のdの値に対応するコード表の3桁の左の数字に従って、次の作業をしてゆく。

1->4つに分かれたパケットを順番を変えず表向きのまま、客のカード入りパケットから回収
  する。(他のパケットはその上にかさねていく。他も同じ)
2->同じく2番目の回収とする。
3->同じく3番目とする。
4->最後に回収。

 こうして集めた32枚のカードをひっくり返して裏向きとし、再びテーブルへ4列の山を作って
いく。2回目のパケット回収をキーコードの真ん中の数字に従って行う。

 同じく3回目をコード表右の数字で行う。

 先ほどの誕生日を確認し、32枚のパケットの上からd枚目のカードをおもむろに表向きに
見せる。
もし密かに前もって誕生日を調べていたら、ここで誕生日を聞いて、まとめたパケットを無造作にいじくる。
 ここは既に順番が合っているから、ダミーのジェスチャーで順番を狂わせないように注意して下さい。


 他にもいろいろな演出ができると思いますので誕生日のキー数字として利用して下さい。


29.通常のトランプ一組での挑戦

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成26年6月10日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 32枚のカードを用いて、あらゆる誕生日に対応するトランプマジックを、一組のデック52枚
で何とかできぬものかと調べていたら、次の特定の順番にあるものは出現させることはでき
るが、すべてのものを出現させるためには4回の試行がないとできないことが判明しました。

 ただし、出現させる位置 d は、次の16通りしか可能でしかない。これは、年齢がちょうどこ
の d に対応する人に応用できると思う。(18歳の高校3年生にやってみよう。

d  | U=d-1 | U=13×p+4×q  |p q |コード表(qqp) |操作用コード
---------------------------------------------------------------
 1 |  0  | 0=13×0+4×0  |0 0 |  000    |   111
 5 |  4  | 4=13×0+4×1  |0 1 |   110    |   221
 9 |   8  | 8=13×0+4×2  |0 2 |   220    |   331
13 |  12  |12=13×0+4×3  |0 3 |   330    |   441
14 |  13  |13=13×1+4×0  |1 0 |   001    |   112
18 |  17  |17=13×1+4×1  |1 1 |   111    |   222
22 |  21  |21=13×1+4×2  |1 2 |   221    |   332
26 |  25  |25=13×1+4×3  |1 3 |   331    |   442
27 |  26  |26=13×2+4×0  |2 0 |   002    |   113
31 |  30  |30=13×2+4×1  |2 1 |   112    |   223
35 |  34  |34=13×2+4×2  |2 2 |   222    |   333
39 |  38  |38=13×2+4×3  |2 3 |   332    |   443
40 |  39  |39=13×3+4×0  |3 0 |   003    |   114
44 |  43  |43=13×3+4×1  |3 1 |   113    |   224
48 |  47  |47=13×3+4×2  |3 2 |   223    |   334
52 |  51  |51=13×3+4×3  |3 3 |   333    |   444


 即ち、18歳相手だと、4つに分けて、パケットを回収するとき(表向きのまま回収していく。)、必
ず客のカードが含まれるパケットを2番目に集めることを3回行う。

 そうすると、客の今の年齢に対応する(操作後のデック(一組の通常の枚数)の)上から18
枚目から客の選んだカードが出現する。


30.組合せの妙マジックへの試み

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成26年8月28日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 トランプにはいろいろな要素があり、一組のトランプを2つに分ける規準として、カードの色
(赤、黒)、カードの数字のタイプ(奇数、偶数)、カードの数字の大きさ(大:8以上の数字、
小:7以下の数字)などがある。

 そこで、下記の32枚のカードのそれぞれの規準に関する区別を 0 と 1を用いてデジタル化
したのが次の表である。

赤(1)/黒(0):奇(1)/偶(0):大(1)/小(0)

配列: カード  : [赤黒]  : [奇遇]  : [大小]
 1 : Q   :  1   :  0   :  1
 2 : 3   :  1   :  1   :  0
 3 : K   :  1   :  1   :  1
 4 : K   :  1   :  1   :  1
 5 : J   :  1   :  1   :  1
 6 : K   :  0   :  1   :  1
 7 : 10   :  0   :  0   :  1
 8 : 2   :  0   :  0   :  0
 9 : 4   :  0   :  0   :  0
10 : 2   :  0   :  0   :  0 
11 : 4   :  1   :  0   :  0
12 : 3   :  0   :  1   :  0
13 : Q   :  0   :  0   :  1
14 : 4   :  0   :  0   :  0
15 : 4   :  1   :  0   :  0
16 : 5   :  1   :  1   :  0
17 : K   :  0   :  1   :  1
18 : Q   :  0   :  0   :  1
19 : 2   :  1   :  0   :  0
20 : 5   :  0   :  1   :  0
21 : Q   :  1   :  0   :  1
22 : 3   :  0   :  1   :  0
23 : 10   :  0   :  0   :  1
24 : 2   :  1   :  0   :  0
25 : 5   :  1   :  1   :  0
26 : J   :  1   :  1   :  1
27 : J   :  0   :  1   :  1
28 : 10   :  1   :  0   :  1
29 : 5   :  0   :  1   :  0
30 : 10   :  1   :  0   :  1
31 : 3   :  1   :  1   :  0
32 : J   :  0   :  1   :  1


 このように配列しておけば、この32枚のパケットはカットを何回行っても(シャッフル厳禁)相
対的相互関係は崩れない。そこで、次のようなマジックまがいの現象が起こせる。

(その1)
1.セットしたパケットを客に数回カットさせる。
2.「これから出てくる5枚の色で返事して下さい。」と客にお願いする。
 (ここは他に数字が奇数か偶数かで返事、もしくは大きい数、小さい数と返事もあり。)
3.トップから5枚をテーブルに1枚ずつ色を言いながらカードを表向きにずらして、重ねていっ
 てもらう。(次のリセットができるような配慮)
4.その間、演者は後ろを向き秘密のコード表を見る。
 (高度になればここはコード表の暗記)
5.コード表の照合から5枚のカードを全て当てる。


*コード表もアップしようとしましたが、字数制限にひっかかったのでこれを元に作って下さい。
 (赤黒用;奇遇用;大小用と3種類のコード表を作る。)

 客がテーブルにずらせて並べている5枚のカードが合っていることを確認して、再びパケット
のトップへのせると再びセットは完成する。数度カットしておく。

(その2)
 客に[赤黒]または[奇偶] (もしくは [奇遇]と[大小]の組合せでもよい)の組合せから一方を
選ばせ、自分だけが知っている規準で今度の返事は0か1で返す様に客に依頼する。
(ただし0,1の決め事は事前に説明しておくこと。)
こちらが、どちらの規準で返事をしているのかわからないにもかかわらず、5枚のうち少なくと
も4枚のカードは当たる。

(その3)
客に[赤黒]または[奇偶]または[大小]の規準の1つを選ばせる。(これは客が心の中で決め
ること。)客がパケットを任意にカットしてトップから並べた5枚のカードに対する 0 か 1 の声
を聞くだけで5枚のカードの内少なくとも3枚のカードは当てられる。

 なぜ当たるかは3種類のコード表を確認してもらえれば理解できます。


31.牌あて(重複組合せ)

 当HPがいつもお世話になっているHN「りらひい」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成26年11月8日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 「お茶の時間>ゲームの達人」にある数当てやカード当てのようなものが何かできないか
と考えてみました。ひとつできたものは単純で、たいして驚きも感動もないものなんですが、
せっかくなので書き込み。

<下準備>
1、麻雀の牌1セット136枚をA,B,C,Dの4グループに分ける。このとき、同種の牌4つの各グル
 ープへの振り分け方が全部異なるようにする。グループ分けの方法の一例は後述。

2、牌の種類とグループへの振り分け方の対応関係を全部記憶する。グループ分けを何か
 ルールに則って行った場合、そのルールを覚えておくのでもよい。一例は後述。

<本番>

1、相手に心の中で牌を1種決めてもらう。

2、決めた牌がグループA〜Dにそれぞれいくつあるか教えてもらう。

3、対応関係から相手が心の中で決めた牌をあててみせる。

<グループ分けの一例>
グループA
萬子…1123556999
筒子…1124557999
索子…1134558999
字牌…東東東東

グループB
萬子…2234558889
筒子…12236888
索子…12247888
字牌…南南南南發發中中

グループC
萬子…13347778
筒子…2334557779
索子…12336777
字牌…西西西西白白中中

グループD
萬子…12446667
筒子…13446668
索子…2344556669
字牌…北北北北白白發發

<この分け方のルール>

グループを区別しない場合は5通りの分け方があり、それぞれ別々に考えている。

{4,0,0,0}…風牌を割り当てる。
{3,1,0,0}…数牌の9,8,7,6を割り当てる。3枚の位置が数字に対応し、そこに対する1枚の相対
      的位置が萬子筒子索子に対応。
{2,2,0,0}…数牌の5および三元牌を割り当てる。グループAが2枚のものに数牌の5を、0枚の
      ものに三元牌を割り当てている。
{2,1,1,0}…数牌の1,2,3,4を割り当てる。2枚の位置が数字に対応し、そこに対する0枚の相対
      的位置が萬子筒子索子に対応。
{1,1,1,1}…使用していない。

 この分け方はわりと覚えやすい分け方だと思います。その分、グループ分けが規則的に
見えて、相手にとっては面白くないかもしれませんが。もっと不規則にしてみると驚きも多少
は大きくなるかも知れませんが、覚えるのが大変そう。

<コメント> この牌あては、麻雀牌1セットをフルに使って何かできないかを考えて思いつ
       きました。たまたま、次の関係

(牌の種類…34種)≦(4つの区別できないものを4グループに割り当てる方法…4H4=35通り)
が成り立ち、35通りのうち34個利用できて割と美しくなっているんじゃないかなと思いました。

<おまけ:トランプver>

トランプのマークを無視して数のみを利用する。

(数の個数…13個)≦(4つの区別できないものを3グループに割り当てる方法…3H4=15通り)

なので、ジョーカーを除く52枚を3つのグループにうまく分ければよい。


 これだけでは全然数学っぽくないので、もうちょっと考えてみた。対応関係全暗記というの
は、芸もなければ学もないように思える。そこで、重複組み合わせの各パターンに1からH
までの自然数を割り当てて、それを求める操作(写像)を作ることを考えた。この写像をひと
つの式で表すことができれば、どのパターンに何を割り当てたか覚えなくても式ひとつがあ
ればよく、多少は数学らしくなるのではと思う。

 以下では、重複組み合わせHを、H[n,r]と表す。また、S_{n,r}はSに下付き添え字でn、r
がついている気分で書いている。

 n、rは自然数とする。次の条件(i)、(ii)を満たす要素数nの配列すべての集合をS_{n,r}とお
く。配列を(x[1],…,x[n])と表すことにしたとき、

(i)  x[i]は0以上r以下の整数 (i=1,…,n)

(ii) Σ{i=1〜n} x[i] = r

 S_{n,r}の要素は重複組み合わせのパターンに対応している。よって、S_{n,r}の要素数は、
H[n,r]となる。S_{n,r}の各要素に対して、1からH[n,r]までの自然数を割り当てることを考える。
すなわち、写像 f_{n,r} : S_{n,r} → {1,2,…,H[n,r]} を考え、これが全単射となるようにする。

このような写像は多くのものが考えられる(H[n,r]!通り)が、規則的で式が作れるものの例を
一つだけ書いておこうと思う。

  f_{n,r}((x[1],…,x[n])) = 1 + Σ{k=2〜n}( H[k,Σ{i=1〜k}x[i]] - H[k,Σ{i=1〜k-1}x[i]] )

 重複組み合わせのパターン(S_{n,r}の要素)に自然数を順番に割り振るアルゴリズムを考え
て、それをあえて式にしてみた。このアルゴリズムを逆に考えることによって、自然数に対応
するパターンを求めること(逆写像)のアルゴリズムも作ることができる。
(アルゴリズムは書くのが面倒なので割愛。)


32.RSA原理擬きマジック

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成27年3月5日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(準備) 各マークA〜5のカード、計20枚をマークは関係なくランダムな1〜5の番号の順番を
4回繰り返してセットする。<4,1,5,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2,3>など(マーク無視)頭の中で
「4,1,5,2,3」の順序を暗記する。

(演じ方)
1:この20枚をザーと見せる。(1から5のカードばかりを集めていますなど解説)
 (*ザーと見せるだけなら、マークがランダムにあるのと、数字が規則的に見えないので客は仕込まれているこ
  とに気づかない。


2:フォールスシャッフルやカットをやり混ぜている印象を与える。
  カット(総合的なサイクリック性は崩れない。)は客にも何回かやらせてもかまわない。

3:右手にパケットを持ちボトムから左手のひらの上にパラパラとカードを落としていき、客に
 ストップを途中かけさせる。

4:ストップがかかったら落とすことを止め、左手に落ちたカードの一番上のカードを客に取ら
 せて見てもらい、そのカードを胸にあてさせる。

5:客がカードを見ている間に、右手パケットの上に左手パケットをのせて一つに合わせてお
 く。

6:客に自分がみたカードを強くイメージして貰うよう催促し、このイメージを受け取るジェスチ
 ャーでパケットを自分の額に当てる。(この時ボトムのカードをグランプスし、数字を読み取
 る。)

7:少し演技後、客のカードの数をグランプスした数の次の配列パターンの数で言い当てる。
  (この例では4->1,2->3,3->4など)

8:当たったカードはパケットのトップに戻してもらう。
  数回のカットをやり、総合的なサイクルは崩さないならいろいろなテクニックで混ぜている
  印象を与える。

9:パケットを両手の間に扇形に広げていき、客に一枚カードを選ばせる。
  客が引き抜く位置の2枚下に左小指を差し込み、其の位置でカットした状態にする。客が
 引いたカードは誰も見ずに、カードボックスの中でも入れてもらう。

10:パケットのトップから客Aに5枚のカードを配る。(一枚ずつ5枚配ってもいいし、5枚まと
  めて渡してもよい。)客Bにも同様に5枚のカードを配る。

11:残りは9枚で貴方が持っている。これから2人にはこんな作業をして貰いますと見本とし
  て貴方はパケットトップカードをそのままボトムへ回す。次にトップにあるカードをテーブル
  へ出す。(アンダー・ダウン方式)
  これを4回繰り返して、2人に要領を飲み込ませる。(貴方は現在5枚のカードが残ってい
  る。)

12:では一緒にやりましょうと3人合わせてアンダー・ダウン方式で一枚ずつカードを無くして
  いく。

13:手持ちが最後の一枚に3人がなった所で一斉にカードを見せ合う。

14:カードボックスに入れていたカードを確認する。


33.ChaosからCosmosへ

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成27年3月20日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


(準備) 52枚のトランプを次の順序にセットする。(→一覧

<やり方>

1 いったんテーブルにリボンスプレッドして、バラバラであることを見せる。

2 さらに混ぜますとテーブルに上から一枚ずつ次の順序と
  1  2  3  4
  5  6  7  8
 の位置に2列にカードを配る。(8から再び1の位置に配っていく。)

3 4の位置で配り終えるので、右手で4、左手で2のパケットを持ちそれぞれを右手は7、左
 手は5のパケットに同時に重ねる。

4 次に、右手は8、左手は6のパケットを持ち上げ、右は3、左は1のパケットの上に同時に
 重ねる。

5 現在、テーブルには上段に2つのパケット、下段に2つのパケットが並んでいるので、ど
 ちらの段も右のパケットを左のパケットの上に重ねる。

6 今、2つのパケットになっているので、下のパケットを上のパケットの上に重ねて一つに
 する。

*これから先はあなたの好みの演出で客をアッと言わせて下さい。


34.ヨセフス問題のマジックへの応用

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成27年9月18日付け)より転載。一部文言等を修正させていただきま
した。


 ヨセフス問題(環状配列)で、n=12(個)での飛び数p(2<=p<=13)の変化を調べたら、最後
に残る番号kの組合せが、

 (p,k)=(2,9)、(3,10)、(4,1)、(5,1)、(6,3)、(7,12)、(8,5)、(9,2)、(10,5)、(11,6)、(12,11)、(13,8)

となった。そこで、12枚を時計の文字版の位置に配置するようにして文字盤の各時刻に次
のカード(黒文字)を配置する。

1時:8か10 、2時: 、3時:6 、4時:9 、5時:4か5 、6時:(将来客が選んだカードをこの位置に仕込む
7時: 、8時:3 、9時:2 、10時:13 、11時: 、12時:11

 次に、空きの時刻の位置には、12時と6時を結ぶラインに対称に黒色で置かれた数字と
同じ数字の赤色カードを配置する。即ち、

1時:8か10 、2時:L 、3時:6 、4時:9 、5時:4か5 、6時:(将来客が選んだカードをこの位置に仕込む
7時:CかD 、8時:3 、9時:2 、10時:13 、11時:GかI 、12時:11(Jでもよい。)
○記号は赤色を示す。

 こうすれば、黒色のカードがある位置からその数字で指定される取り方で時計回りにカー
ドを進めば、6時位置のカードが最後に残り、赤色のカードがあるところからは、反時計回り
にカードをヨセフス方法で取り除いていくと、最後に6時位置のカードが最後に残る。
(開いたカードの次から数え始め、その数字に対応するカードを取り除く。)

 この原理を利用すると、カード配列が例えば(覚えやすいように変化させた。)

 C 、3 、E 、13 、G 、11 の6枚をデックのトップ側に

 $(ジョーカー)、8 、L 、6 、B 、4 の6枚をボトム側に

セットした計53枚のトランプ一揃いを準備しておく。(○印は赤色)

<やり方>

1.ケースからデックを取り出し、トップ6枚、ボトム6枚が乱れない程度にリフルシャッフルする。

2.両手でデックを広げて、客に中程から一枚カード引かせて覚えて貰う。

3.カードをデックのトップに戻して貰い何回かカットする。(客にさせてもかまわない。)

4.デックを表向きに持ち、両手でファンに開いて行きジョーカーを探し出しこのカードが表向
 きでトップの位置になるようデックをカットし(右手に集まったパケットを左手のパケットの下
 へ入れることになる。)
 テーブルに、このジョーカーを出す。

5.そのままデックを裏向きに持ち直す。(このとき上から6枚目に客のカードがある。)
 上から一枚ずつ時計の文字盤の1時の位置に相当する配置から、12時までを配る。

6.6時のカード以外ならどのカードを選ばせても、そこで現れる数字に従って、黒色なら時計
 回りで、赤色なら反時計回りでカードを除いて行くと必ず最後に6時の位置のカードが残り、
 従って客が選んでいたカードが出現する。

35.トランプ3枚のマークから数字を当てよう

 当HPがいつもお世話になっているHN「りらひい」さんが、ゲームを考案された。

当HPの掲示板「出会いの泉」(平成27年11月13日付け)より転載。一部文言等を修正させていただき
ました。


 3枚のカードのマークを聞いて数を答えるものを作ってみました。数学に関する事項はほと
んどありませんが、ゲームの達人の「20.52枚での挑戦」と類似のものなので書き込んで
みます。

 カードを次の順番に並べておく。
(C=クラブ,D=ダイヤ,H=ハート,S=スペード;A=1,T=10,J=11,Q=12,K=13)

CA→C5→D2→DJ→S6→C4→DK→C8→H9→C3→SQ→H7→ST→
DA→D5→H2→HJ→C6→D4→HK→D8→S9→D3→CQ→S7→CT→
HA→H5→S2→SJ→D6→H4→SK→H8→C9→H3→DQ→C7→DT→
SA→S5→C2→CJ→H6→S4→CK→S8→D9→S3→HQ→D7→HT

好きなところでカットしてもらい上から3枚のマークを順番に教えてもらう。

C,D,H,S(loop)の順番を覚えておく。
(わかりやすいように今回はアルファベット順にしました。)

1枚目のカードのマークを0として、順番に0,1,2,3と対応させる。たとえば1枚目がハートなら、
H=0,S=1,C=2,D=3
2枚目と3枚目のマークに対応した数字を2桁の4進法表記とみなして数に直す。
ただし例外として、求めた数が14となったときのみそれは3とみなす。
そうやって求めた数が1枚目の数になっている。

2枚目と3枚目の数を求めたいときは、A52J64K893Q7T(loop)の順番を記憶しておき、1枚
目の次の数とさらに次の数を答える。


※カードの並びが規則的すぎるというなら、マークごとに数字をいくつかずらせば、ぱっと見
 は分かりにくくなります。

例:C=+0,D=+1,H=+2,S=+3
CA→C5→D3→DQ→S9→C4→DA→C8→HJ→C3→S2→H9→SK→
D2→D6→H4→HK→C6→D5→H2→D9→SQ→D4→CQ→ST→CT→
H3→H7→S5→SA→D7→H6→S3→HT→C9→H5→DK→C7→DJ→
S4→S8→C2→CJ→H8→S7→CK→SJ→DT→S6→HA→D8→HQ(→loop)

やり方は、先ほどと同様にして数を求めたあとに、マークに応じてあらかじめ決めた分シフト
するだけです。


 なおさんからのコメントです。(平成27年11月14日付け)

 2枚目以降についてですが、この数字の列に何か意味があったりするのでしょうか?


 GAI さんからのコメントです。(平成27年11月14日付け)

 覚え易いように何かの語呂合わせとして組まれたのでしょう。
”英語にじゃー、虫喰い王、白菜臭い、納豆” (苦しい?)

サイ・ステビンス・システムを組むときは

5,9,10,K,    J,2,4,6,    Q, A,7,8,3
"極道 親父  兵隊にしろ、奥様一悩み" を使っています。


 なおさんからのコメントです。(平成27年11月14日付け)

 なるほどです。納得しました!


 りらひいさんからのコメントです。(平成27年11月15日付け)

 いやあ、最初に「数学に関する事項はほとんどありませんが」と断った通り、特に意味とい
うものはないと思います。適当に作って出来上がったものがたまたまこうなっただけです。

 ちなみに、これを作った時に2通り作れて、そのうちの片方だけ書きました。”わたしが作
りやすい方法”で作った結果こうなっただけで、ほかにも同様の手順が使えるカードの順番
はたくさんあると思います。

 2通りのうちのもう片方ものせておきますね。カードの並び順が違うだけでやり方は(例外
の処理も含めて)全く同様です。覚えやすい方でどうぞ。

CA→C5→D2→D9→SQ→H6→S7→C8→HJ→C4→D3→CK→ST→
DA→D5→H2→H9→CQ→S6→C7→D8→SJ→D4→H3→DK→CT→
HA→H5→S2→S9→DQ→C6→D7→H8→CJ→H4→S3→HK→DT→
SA→S5→C2→C9→HQ→D6→H7→S8→DJ→S4→C3→SK→HT

マークの順番は前と同様にC,D,H,S(loop)です。
数の順番は、A529Q678J43KT(loop)です。

 私の組み方は数字よりもマークの並びが本質です。2つのカードの並びを見比べてみると、
途中が少し変わっているだけであることがわかると思います。
先にマークの順番が決まって、あとはそれから計算で導きやすい数列を当てはめただけ、と
いうのが質問の答えになるかもしれませんね。(ちょっと日本語がわかりにくかったかも。)

 2通りのカードの並べ方において、マークがどんな順番で並んでいるかを見比べてみると、
途中が少し変化しているだけということがわかると思います。実際に比べてみると、

一例目:CCDDSCDCHCSHSDDHHCDHDSDCSCHHSSDHSHCHDCDSSCCHSCSDSHDH(loop)
二例目:CCDDSHSCHCDCSDDHHCSCDSDHDCHHSSDCDHCHSHDSSCCHDHSDSCSH(loop)

といった感じです。この並びが先にあって、ここから計算しやすい数の対応付けとして3の数
字だけ例外とした四進法を使っています。

#42枚目のCを最初にした方が見た目がきれいだったか…。


 なおさんからのコメントです。(平成27年11月15日付け)

 丁寧な回答有難うございます!良く分かりました。数学的な原理を使われてないとの事で
すが、数学を用いて次のように言い換えられそうです。

 長さが13のサイクル(数字)と長さ4のサイクル(マーク)の直積をして、マークの並びをず
らし、規則性を分かりにくく工夫しておられる、という感じのように思います。



    以下、工事中