分数は、小学校算数の一つの壁といわれる。多くの児童がつまづくところらしい。それまで、
１とか２とか絶対的な値だと思わせていた数に対して、分数との出会いで、どうも違う感覚を
児童に要求するところに原因があるようだ。
比の学習が小学校算数のメインテーマの一つだと思うが、分数の、比としての感覚を身に
つけないまま進級してしまうので、その後の学習で支障をきたすことになる。高校生でも分数
を見ると、「計算の手が止まってしまう」という生徒も数多い。比の計算（分数の計算）は、数
学に限らず、化学など、自然科学全般で必要とされる計算技法の一つである。比の感覚は、
是非身につけてほしいと願うところである。
分数は、３つの顔を持つ数である。
（１） 方程式の解としての表現（割り算の表現）
整数係数の１次方程式がいつも解けるように、新しい数を創造。
例 方程式 ３Ｘ＝６ の解は、Ｘ＝６÷３＝２ である。
（実は、この計算は、数学が苦手な人にとって、かなり難しい計算のようだ。
Ｘ を求めるために、両辺を ３ で割るという発想は、浮かばないらしい。
３を何倍したら、６になるかを考えて、Ｘ＝２ という解を発見する人が多い。）
上記のように割り切れる場合は、どんな人にとっても、それほどの困難さは感じられない。
ところが、方程式 ３Ｘ＝２ の解を問われると、数学が苦手な生徒は考え込んでしまう。
多分、それは自然な反応だと思う。今まで知っていた数の中に、３に掛け算して２となる
数が存在しないからである。
数学では、この場合、新しい数― 分数 ―を創造して、Ｘ＝２/３ とする。
すなわち、方程式 ａＸ＝ｂ の解は、ａ≠０である限り、機械的に、Ｘ＝ｂ÷ａ と考えて解
き、ｂ÷ａ という計算を分数 ｂ/ａ で表現しようということである。
（注意） 広島工業大学の大川研究室からコメントをいただいた。一部修正して、紹介し
たいと思う。
例えば、http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/3nen1/31_10.htmにも有
るように、分数 １２/３ には、
３ を Ｘ 回加えて１２になるように定めた解であるという見方（包含除）
と、
Ｘ を ３ 回加えて１２になるように定めた解であるという見方（等分除）
の２通りがある。すなわち、
ａＸ＝ｂ （ａ≠０）の解として、Ｘ＝ｂ/ａ があるわけだが、その解の意味として、
ａＸ を、ａ・Ｘ とする見方と、Ｘ・ａ とする見方
の２通りの見方があるということである。
大川研究室でも指摘していることであるが、交換法則 ＡＢ＝ＢＡ が成立するので
結果的に同じ値になり、同じ記号で表されるということになる。 ＡＢ＝ＢＡ があまり
にも当たり前と認識されるため、両者の差異のことを、皆すぐ忘れるのだろうとの
ことである。
（私も大川さんと同様に昔、小学校で習ったような気がするが、あまり両者を特段
に区別して意識したことはないように思う。全く不都合が起こらなかったので意識
することがなかったと言う方が正しいかもしれない．．．ちょっと、反省！）
（２） 単位１に対する絶対的な値としての表現（全体に対する割合としての表現）
（中国的な考え方といわれる）
例 分数 ２/３ は、単位１を３等分して、それを２つ分集めた量として把握される。
ここで混乱が起こる原因は、単位１という量そのものが、時と場所によって変化する点
であろう。
例えば、３００人に対する２/３という量と、３００００人に対する２/３という量は明らかに
異なるが、それぞれに対して、２/３という絶対的な値は同一である。
例 分数の計算 １/２＋１/３ で、１/２は単位１を２等分したものが１個分、１/３は単位１
を３等分したものが１個分で、それぞれ個数数え上げの単位となる量が異なり、このま
まの形では計算できない。
個数数え上げの単位をそろえるために、単位１を６等分したものを考える。
このとき、１/２は、３個分で、１/３は、２個分となる。すなわち、あわせて５個分である。
したがって、１/２＋１/３＝５/６ という計算が成り立つ。
（３） 基準の量に対する比較としての表現
（ギリシャ的な考え方といわれる）
例 分数 ２/３ は、何か基準となる量ではかると、一方が２個分、他方が３個分という比
較を表す場合にも用いられる。
比較は通常、「 ２ ： ３ 」という形で表現されるが、「：」の間に「−」を付け加えれば、
「÷」という記号になり、 ２ ： ３ ＝２÷３＝２/３ ということが理解される。
例 勝ち目（ｏｄｄｓ）という言葉がある。これは、事象の確率を比で表す方法である。
例えば、さいころを投げて、６の目が出る確率は、１/６ 、６の目以外の目が出る確率
は、５/６ であるので、６の目に賭けるときのオッズは、１：５（＝０．２）となる。
競馬等にもオッズという言葉があるが、これは上記とは違うようだ。
ある券に賭けられた金額に対する、全賭け金から諸経費を差し引いた払戻金の割合をオッ
ズと呼ぶ。（実際はもっと複雑で、こんな単純な計算ではオッズは求められない。）
例 ある競馬のレースで、Ａ君は、ある券を１００円を出して買った。
そのレースの全賭け金額は１００万円で、諸経費は２０万円であった。Ａ君の買った券の
賭け金総額が、５万円のとき、その券のオッズは、（１００−２０）÷５＝１６．０（倍）となる。
したがって、もしＡ君の買った券が勝てば、Ａ君は、１００×１６．０＝１６００（円）を手にす
ることができる。
（私自身、これまで競馬の馬券等を購入した経験がないので、オッズに詳しい方、上記
の文章で何か間違いがあればご指摘ください。）