軌跡について                              戻る

 当HPの読者のK.S.さんより、平成23年11月11日付けで標記話題をメールで頂いた。

2次曲線のうち、楕円は、「2定点からの距離の和が一定な点の軌跡」として定義される。

 その計算は、多くの教科書、書籍に載っているので省略することにしよう。

2次曲線のうち、双曲線は、「2定点からの距離の差が一定な点の軌跡」として定義される。

 その計算は、多くの教科書、書籍に載っているので省略することにしよう。

それでは、「2定点からの距離の商が一定な点の軌跡」として定義される曲線はどんな図形
だろうか。

 これについても、高校2年生であれば、数学IIの「図形と方程式」の単元で学ぶアポロニウ
スの円
となることはご存じだろう。

 すなわち、 PA/PB=m のとき、点Pは線分ABを、m : 1 に内分、外分する点を直径
の両端とする円となる。

 2次曲線の放物線、楕円、双曲線は、円錐の切断により得られる。

 円錐面 x2+y2−z2=0 と平面 ax+by+cz+d=0 の共有点は、

  a=b=0 、z=r のとき、 切断面は 円 となる。

  a=c=0 、y=r のとき、 切断面は 双曲線 となる。

  a=0 、b=±c のとき、 切断面は 放物線 となる。

  a=0 、b≠±c のとき、 切断面は 楕円 となる。


 「2定点からの距離」の「和」、「差」、「商」ときて、「積」の場合はどんな図形を表すのだろう
か?

 2定点を、A(−c,0)、B(c,0)とし、 AP・BP=a2 (一定) とする。

 P(x,y) とすると、条件より、 {(x+c)2+y2}{(x−c)2+y2}=a4

 このとき、 (x2−c22+2(x2+c2)y2+y4=a4 より、

        x4+2x22+y4−2c22+2c22+c4−a4=0

 よって、 (x2+y22−2c2(x2−y2)+c4−a4=0

 ここで、 a=c のとき、レムニスケートとなる。(→ 参考:「連珠形」)

 これは、トーラス  の切断面になる。
(→ 参考「忘れられない先生」)