当ＨＰの読者のＫ．Ｓ．さんより、平成２３年１１月１１日付けで標記話題をメールで頂いた。
２次曲線のうち、楕円は、「２定点からの距離の和が一定な点の軌跡」として定義される。
その計算は、多くの教科書、書籍に載っているので省略することにしよう。
２次曲線のうち、双曲線は、「２定点からの距離の差が一定な点の軌跡」として定義される。
その計算は、多くの教科書、書籍に載っているので省略することにしよう。
それでは、「２定点からの距離の商が一定な点の軌跡」として定義される曲線はどんな図形
だろうか。
これについても、高校２年生であれば、数学ＩＩの「図形と方程式」の単元で学ぶアポロニウ
スの円となることはご存じだろう。
すなわち、 ＰＡ/ＰＢ＝ｍ のとき、点Ｐは線分ＡＢを、ｍ ： １ に内分、外分する点を直径
の両端とする円となる。
２次曲線の放物線、楕円、双曲線は、円錐の切断により得られる。
円錐面 ｘ2＋ｙ2−ｚ2＝０ と平面 ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０ の共有点は、
ａ＝ｂ＝０ 、ｚ＝ｒ のとき、 切断面は 円 となる。
ａ＝ｃ＝０ 、ｙ＝ｒ のとき、 切断面は 双曲線 となる。
ａ＝０ 、ｂ＝±ｃ のとき、 切断面は 放物線 となる。
ａ＝０ 、ｂ≠±ｃ のとき、 切断面は 楕円 となる。
「２定点からの距離」の「和」、「差」、「商」ときて、「積」の場合はどんな図形を表すのだろう
か？
２定点を、Ａ（−ｃ，０）、Ｂ（ｃ，０）とし、 ＡＰ・ＢＰ＝２ａ （一定） とする。
Ｐ（ｘ，ｙ） とすると、条件より、 ｛（ｘ＋ｃ）2＋ｙ2｝｛（ｘ−ｃ）2＋ｙ2｝＝ａ4
このとき、 （ｘ2−ｃ2）2＋２（ｘ2＋ｃ2）ｙ2＋ｙ4＝ａ4 より、
ｘ4＋２ｘ2ｙ2＋ｙ4−２ｃ2ｘ2＋２ｃ2ｙ2＋ｃ4−ａ4＝０
よって、 （ｘ2＋ｙ2）2−２ｃ2（ｘ2−ｙ2）＋ｃ4−ａ4＝０
ここで、 ａ＝ｃ のとき、レムニスケートとなる。（→ 参考：「連珠形」）
これは、トーラス
の切断面になる。（→ 参考「忘れられない先生」）
