ギリシアの古代から有名な問題：
任意の角を３等分する作図はできるか？
がある。
この問題については既に、作図不可能ということで決着していることは周知の通りである。
しかしながら、角の３等分ができる場合があることも事実で、その場合に、どのような方法で３等
分されるのかを考えることも、一つの数学であろう。
当ＨＰの「私の備忘録」に掲載の「角の３等分方程式」において、角の３等分を可能にする線分
の長さが満たす方程式を、アルキメデスの方法を用いて求めた。別解として、次のようにして求め
る方法もある。
左図において、θ＝３α である。三角関数の、３倍角の公式から、
ここで、左図より、
なので、上式に代入して整理すると、
ｘ3−3ｘ−ａ＝０
という方程式が得られる。
この解が作図可能ならば、角の３等分は作図可能となる。
このページでは、どのような解が作図可能となるのか、また、作図可能な図形はどのような代
数的意味を持つのかについて、まとめてみたい。
定理 ＋、−、×、÷、√ を用いて表される数は、定木・コンパスを用いて作図可能である。
（加法・減法の作図方法） 正数 ａ、ｂ （ａ＞ｂ） を与えられた数とする。
このとき、ａ＋ｂ、ａ−ｂ は、次のように作図される。
（乗法・除法の作図方法） 正数 ａ、ｂ を与えられた数とする。
このとき、ａ×ｂ、ａ÷ｂ は、次のように作図される。
（平方根の作図方法） 正数 ａ を与えられた数とする。
このとき、√ａ は、次のように作図される。
（参考：作図問題における円の役割）
若き日のガウスは、正１７角形が作図可能であることを示した。それは、正１７角形の頂点 Ｚ が
満たす方程式 Ｚ17−１＝０ の一つの解 Ｚ が、次の形で与えられるからである。
ただし、ａ は、次の値である。
式の形から、作図可能であることは明らかであるが、この数を実際に作図するのは、多分大変
で、作図しようという気が全く起こらないのは私だけじゃないですよね！？（塾長）
ガウスは、さらに次の驚くべき事実も証明している。
定理 正ｎ角形が定木とコンパスで作図できるとき、
と素因数分解される。
さて、話を３次方程式に戻そう。四則計算と開平で作られた数は、必ず作図可能であった。
そこで、次の定理が成り立つ。
定理 ３次方程式が有理数解をもち、他に実数解を持てば、解は全て作図可能である。
また、２次方程式の理論と因数定理によれば、次の定理が成り立つ。
定理 ３次方程式が作図可能な解を持つとき、解のうち少なくとも一つは有理数解である。
上の定理の対偶を考えて、次の定理を得る。
定理
角の３等分方程式が有理数解を持たなければ、解は全て幾何学的に作図不能である。
（例） 角６０°の ３等分方程式は、ａ＝１ を代入して、ｘ3−3ｘ−１＝０
この方程式が、有理数解 α を持つと仮定すると、α は −１ の約数となるから、
α ＝ −１ 、１ である。しかるに、この何れも上記方程式の解にはなり得ない。
これは、矛盾である。よって、方程式は、有理数解を持たない。
よって、６０°の３等分の角を作図することは不可能である。
また、定木・コンパスを用いて作図するということは、次のような代数的意味を持つ。
直線を引くこと・・・・・ ２点 ( ａ ，ｂ )、( ｃ ，ｄ ) を通る直線の方程式 ｐＸ＋ｑＹ＋ｒ＝０ の係数
ｐ、ｑ、ｒ は、ａ、ｂ、ｃ 、ｄ の有理式で表される。
２直線の交点を求めること・・・・・ 連立一次方程式を解くこと。その解は、係数の有理式で表
される。
円を描くこと・・・・・ 中心 ( ａ ，ｂ ) とその半径の一端 ( ｃ ，ｄ ) が与えられたとき、円の半径
は、四則計算（＋−×÷）と平方根の計算により求められる。
直線と円、円と円の交点を求めること・・・・・ 一次と二次、二次と二次の連立方程式を解くこと。
これらの実数解は、四則計算（＋−×÷）と平方根
の計算により求められる。
このように、幾何学における作図問題は、代数における整式の問題・整方程式の解の性質
と密接に関係していることが分かった。そして、角の３等分問題が古代ギリシアで提出され、代
数の力を借りて、「作図できない！」という形で解決されたのは、１８３７年、ドイツの Wantzel に
よってである。ここまで到達するのに多大な時間を要したことを、我々は心に留めておかなけれ
ばならないと思う。
（参考文献：遠山 啓 著 数学入門（上・下） （岩波新書）
鈴木晋一・山下正勝 著 代数演算と作図（啓林館）
佐々木元太郎 著 方程式の理論と解法（科学新興社））