オイラーの定理                         戻る

 世の中に、あの数学界の巨星 Euler の偉大さを物語るように、定理に「オイラーの」と冠
されるものは数多い。例えば、

 ● 立体図形におけるオイラーの多面体定理

         (頂点の個数)−(辺の個数)+(面の個数)=2

 ● 関数論におけるオイラーの定理

           eX+iY(cosY+isinY)

 ● 整数論におけるオイラーの定理

            φ(n)≡1 (mod n)

      ただし、n は正の整数で、1 から n までの自然数のうち、n と互いに素となるもの
     の個数を φ(n) (オイラー関数)、a は n と互いに素な整数とする。

 ● ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 ここで、またオイラーの定理というものを紹介するのは、少し気が引けるが、とても興味あ
る事実なので、あえて取り上げたいと思う。

オイラーの定理   三角形の内接円の中心 I と外接円の中心 O との距離 d は、

                   

    で与えられる。 ただし、R は、外接円の半径、 r は、内接円の半径 である。


   三角形の外心O、重心G、垂心Hには、

       

  という美しい関係が成り立つことは、よく
  知られている。(→証明は、こちら

   しかし、それに劣らず、

   外心 O と内心 I の中心間の距離が、
  両者の半径のみによって表される


  という事実も、とても興味深い。

  (流石!オイラーですね...。)

(証明) よく知られた公式により、

     

   が成り立つ。このとき、

     
                       

   において、

     

       、   

   であるので、

     (a+b+c)2OI2=a22+b22+c22
                     +2abR2−abc2+2bcR2−a2bc+2caR2−ab2

               =(a+b+c)22−abc(a+b+c)

   ここで、△ABC の面積を S とおくと、

         2S=r(a+b+c)  、  4RS=abc

   が成り立つので、 abc=2rR(a+b+c) である。

   よって、 (a+b+c)2OI2=(a+b+c)22−2rR(a+b+c)2  より、

     OI2=R2−2rR  すなわち、  

   が成り立つ。 (証終)

 このオイラーの定理により、 R−2r ≧0 なので、

   三角形の外接円の半径は、内接円の直径以上である

ことが分かる。もちろん、正三角形においては、R=2r が成り立つ。

 上記では、三角形の外心と内心の距離に注目した公式であったが、外心と傍心の距離
についても同様の公式が成り立つ。(→ 参考:「傍接円の話題」)

定理  三角形の一つの傍接円の中心 I’ と外接円の中心 O との距離 d は、

                 

  で与えられる。 ただし、R は外接円の半径、 r’ は傍接円の半径 である。

(証明)  △ABC において、BC=a、CA=b、AB=c とし、2s=a+b+c とおく。

  BA : BD = b+c : a で、BI’ は∠ABCの外角の

 2等分線なので、 I’ は線分ADを、b+c : a に外分

 する点である。 よって、

   (−a+b+c)OI’=−aOA+bOB+cOC

 が成り立つ。 このとき、

   (−a+b+c)2OI’2

  =a2OA2+b2OB2+c2OC2

    −2abOA・OB+2bcOB・OC−2caOC・OA

 において、

    OA・OB=OA・OB・cos∠AOB=R2(R2+R2−c2)/(2R2)=(2R2−c2)/2

    OB・OC=(2R2−a2)/2  、  OC・OA=(2R2−b2)/2

   であるので、

     (−a+b+c)2OI’2=a22+b22+c22
                     −2abR2+abc2+2bcR2−a2bc−2caR2+ab2

                 =(−a+b+c)22+abc(−a+b+c)

   ここで、△ABC の面積を S とおくと、 4RS=abc  で、さらに、

    S=△AB’I’+△AC’I’−△BB’I’−△BA’I’−△CC’I’−CA’I’

     =sr’−(s−c)r’−(s−b)r’

     =(−a+b+c)r’/2

   が成り立つので、 abc=2r’R(−a+b+c) である。

   よって、 (−a+b+c)2OI’2=(−a+b+c)22+2r’R(−a+b+c)2  より、

     OI’2=R2+2r’R  すなわち、  

   が成り立つ。 (証終)

(コメント) 2円の中心間の距離が半径のみで得られるのは、とても美しい結果ですね!
      ちょっと証明が大変かな?と思ったのですが、今日の出張先での空き時間にチョ
      コチョコっと計算したらあっさり証明が出来てしまいました!