Ferrari の解法                        戻る 

 新学習指導要領により、「中学校では、2次方程式の解の公式は教えられなくなった」と思い
きや、実は依然として、しっかり各中学校で教えられているようだ。高校1年生対象の、基礎学
力調査により判明した。確かに、中学の教科書で教えられている2次方程式の解法は、基本
的には平方完成による方法で、これがなかなか難しい。旧課程でも、この平方完成のやり方を
飲み込めないものが多数いたことを思うと、中学側のほうで解の公式を手っ取り早く教えてしま
って、2次方程式を解かせたほうが、教える側にとっても、教わる側にとっても負担が少ない。
これが、意外と生徒が解の公式を知っている理由なのだろう。

 5次以上の方程式には解の公式は存在しない(Abel)が、4次以下の方程式については、
解の公式が存在する。1次方程式、2次方程式、3次方程式、4次方程式の解の公式は、古く
から既に知られている。

 このページでは、4次方程式の解の公式(Ferrariの解法)を取り上げる。

4次方程式 X4+aX3+bX2+cX+d=0 において、X に X−a/4 を代入することにより、
3 の項を消滅させることができるので、はじめから、4次方程式は、
                4+pX2+qX+r=0
の形としてよい。このとき、
                2−4(2λ−p)(λ2−r)=0

を、4次方程式の分解方程式という。

 もし、このような解λがあれば、

             (X2+λ)2=X4+2λX2+λ2
                   =(2λ−p)X2−qX+λ2−r
                   =(mX+n)2

となる m,n が存在し、4次方程式の問題は、2つの2次方程式 X2+λ=±(mX+n)
の問題に帰着され、解けることになる。

 上記の計算からも明らかなように、4次方程式 X4+pX2+qX+r=0 の分解方程式は、
2次方程式 (2λ−p)X2−qX+λ2−r=0 が重解を持つ条件 判別式 D=0 から得
られる。

(例) 4次方程式 X4−8X3+28X2−80X+48=0 を解け。

  求める解を X とし、Y=X−2 とおく。 X=Y+2 を、方程式に代入して、
     (Y+2)4−8(Y+2)3+28(Y+2)2−80(Y+2)+48=0
 展開して、左辺を整理すると、
      Y4+4Y2−32Y−48=0
 このとき、分解方程式は、
      (−32)2−4(2λ−4)(λ2+48)=0
 よって、
      λ3−2λ2+48λ−224=0
 この3次方程式の左辺は、(λ−4)(λ2+2λ+56) と因数分解され、解の一つとして、
        λ=4
 を得る。このとき、
           (Y2+4)2=Y4+8Y2+16
                 =(−4Y2+32Y+48)+8Y2+16
                 =4Y2+32Y+64
                 =4(Y+4)2
 より、2つの2次方程式
           Y2+4=±2(Y+4)
 すなわち、
        Y2−2Y−4=0 、 Y2+2Y+12=0
 を得る。
  これを解いて、  、 
 ところで、X=Y+2 なので、
            、 
 が、4次方程式の解となる。

 上記の問題のように、簡単に分解方程式の解の一つが見つかればよいが、一般的には
難しいと思う。ただ、4次方程式の解法の道筋を示している点で、Ferrariの解法は素晴ら
しいと思う。

 読者のために、練習問題を残しておこう。

練習 4次方程式 X4+2X2−4X+8=0 を解け。

                                (答  、 

(参考文献:永田雅宜 著 線形代数の基礎(紀伊國屋書店))


(追記) 平成22年10月8日付け

 当HPがいつもお世話になっているHN「攻略法」さんから、上記の問題の解答をお寄せい
ただいた。

(解) 4次方程式 X4+2X2−4X+8=0 の分解方程式は、

      (−4)2−4(2λ−2)(λ2−8)=0

    ∴ 2λ3−2λ2−16λ+12=0 より、 (λ−3)(2λ2+4λ−4)=0

   よって、解の1つとして、λ=3 を得る。このとき、

    (X2+3)2=X4+6X2+9=(−2X2+4X−8)+6X2+9=4X2+4X+1=(2X+1)2

  より、2つの2次方程式 X2+3=±(2X+1)  すなわち、

      X2−2X+2=0  、  X2+2X+4=0

   これを解いて、解は、  、  となる。 (終)

 攻略法さんからの情報によれば、この問題は、筑波大学(2006年度前期 理系)で次の
ような誘導形式により出題されたとのことである。

 F(x)=x4+2x2−4x+8 とする。

(1) (x2+t )2−F(x)=(px+q)2 が x の恒等式となるような整数 t、p、q の値を
  1組求めよ。
(2) (1)で求めた t、p、q の値を用いて、方程式 (x2+t )2=(px+q)2 を解くこと
  により、方程式 F(x)=0 の解をすべて求めよ。


(解)(1) 与式の左辺は、

         x4+2tx2+t2−(x4+2x2−4x+8)=2(t−1)x2+4x+t2−8

      与式の右辺は、 p22+2pqx+q2

     したがって、 2(t−1)=p2 、 4=2pq 、 t2−8=q2

      p、q は整数なので、第2式より、 ( p , q )=±( 1 , 2 ) 、 ±( 2 , 1 )

     このうち、t も整数になる1組を求めれば、 ( p , q )=( 2 , 1 ) で、 t=3

  (2) (1)より、 F(x)=(x2+t )2−(px+q)2=(x2+3 )2−(2x+1)2 なので、

      F(x)=(x2−2x+2)(x2+2x+4)

     よって、解は、  、  となる。 (終)

 この攻略法さんの解法に対して、当HPがいつもお世話になっているHN「FN」さんは、デ
カルトの方法(2次式の積として、係数比較により求める方法)により解かれた。

(解) x4+2x2−4x+8=(x2+ax+b)(x2+px+c) とおくと、x3 の係数を比較して、

     a+p=0 なので、 p=−a

  よって、 x4+2x2−4x+8=(x2+ax+b)(x2−ax+c) と書ける。

  右辺=x4+(b+c−a2)x2+a(c−b)x+bc より、係数比較して、

   b+c−a2=2  、 a(c−b)=−4 、 bc=8

  よって、 b+c=a2+2 、 b−c=4/a より、

      2b=a2+2+4/a 、 2c=a2+2−4/a

   この2式を掛けて、a2=A とおくと、 4bc=(A+2)2−16/A

  ここで、 bc=8 なので、 32=(A+2)2−16/A

  よって、 A3+4A2+4A−16=32A より、 A3+4A2−28A−16=0

   (A−4)(A2+8A+4)=0 から、 A=4 、a=2 、b=4 、 c=2

  したがって、 x4+2x2−4x+8=(x2+2x+4)(x2−2x+2)

     よって、解は、  、  となる。 (終)

 FNさんによれば、

 4次方程式と言えば、フェラーリの方法というイメージですが、Wikipedia には他に、デカル
ト、オイラー、ラグランジュの方法が載っています。デカルトの方法が一番簡単なように思い
ます。Wikipedia によると「方法序説」に書いてあるそうですが、見つかりませんでした。


とのことです。

(コメント) 攻略法さん、FNさんに感謝します。x3 の項がない4次式の因数分解、勉強に
      なりました!