Ｆｅｒｒａｒｉ の解法　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　新学習指導要領により、「中学校では、２次方程式の解の公式は教えられなくなった」と思い
きや、実は依然として、しっかり各中学校で教えられているようだ。高校１年生対象の、基礎学
力調査により判明した。確かに、中学の教科書で教えられている２次方程式の解法は、基本
的には平方完成による方法で、これがなかなか難しい。旧課程でも、この平方完成のやり方を
飲み込めないものが多数いたことを思うと、中学側のほうで解の公式を手っ取り早く教えてしま
って、２次方程式を解かせたほうが、教える側にとっても、教わる側にとっても負担が少ない。
これが、意外と生徒が解の公式を知っている理由なのだろう。

　５次以上の方程式には解の公式は存在しない（Ａｂｅｌ）が、４次以下の方程式については、
解の公式が存在する。１次方程式、２次方程式、３次方程式、４次方程式の解の公式は、古く
から既に知られている。

　このページでは、４次方程式の解の公式（Ｆｅｒｒａｒｉの解法）を取り上げる。

４次方程式 Ｘ⁴＋ａＸ³＋ｂＸ²＋ｃＸ＋ｄ＝０　において、Ｘ に Ｘ−ａ/4 を代入することにより、
Ｘ³ の項を消滅させることができるので、はじめから、４次方程式は、
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ⁴＋ｐＸ²＋ｑＸ＋ｒ＝０
の形としてよい。このとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　ｑ²−４（２λ−ｐ)(λ²−ｒ）＝０

を、４次方程式の分解方程式という。

　もし、このような解λがあれば、

　　　　　　　　　　　　　（Ｘ²＋λ）²＝Ｘ⁴＋２λＸ²＋λ²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（２λ−ｐ）Ｘ²−ｑＸ＋λ²−ｒ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝(ｍＸ＋ｎ）²

となる ｍ，ｎ が存在し、４次方程式の問題は、２つの２次方程式　Ｘ²＋λ＝±(ｍＸ＋ｎ）
の問題に帰着され、解けることになる。

　上記の計算からも明らかなように、４次方程式　Ｘ⁴＋ｐＸ²＋ｑＸ＋ｒ＝０　の分解方程式は、
２次方程式　（２λ−ｐ）Ｘ²−ｑＸ＋λ²−ｒ＝０　が重解を持つ条件　判別式　Ｄ＝０　から得
られる。

（例）　４次方程式　Ｘ⁴−８Ｘ³＋２８Ｘ²−８０Ｘ＋４８＝０　を解け。

　　求める解を Ｘ とし、Ｙ＝Ｘ−２ とおく。　Ｘ＝Ｙ＋２ を、方程式に代入して、
　　　　　（Ｙ＋２）⁴−８（Ｙ＋２）³＋２８（Ｙ＋２）²−８０（Ｙ＋２）＋４８＝０
　展開して、左辺を整理すると、
　　　　　　Ｙ⁴＋４Ｙ²−３２Ｙ−４８＝０
　このとき、分解方程式は、
　　　　　　（−３２）²−４（２λ−４）（λ²＋４８）＝０
　よって、
　　　　　　λ³−２λ²＋４８λ−２２４＝０
　この３次方程式の左辺は、（λ−４)(λ²＋２λ＋５６） と因数分解され、解の一つとして、
　　　　　　　　λ＝４
　を得る。このとき、
　　　　　　　　　　　（Ｙ²＋４）²＝Ｙ⁴＋８Ｙ²＋１６
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（−４Ｙ²＋３２Ｙ＋４８）＋８Ｙ²＋１６
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝４Ｙ²＋３２Ｙ＋６４
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝４(Ｙ＋４)²
　より、２つの２次方程式
　　　　　　　　　　　Ｙ²＋４＝±２（Ｙ＋４）
　すなわち、
　　　　　　　　Ｙ²−２Ｙ−４＝０　、　Ｙ²＋２Ｙ＋１２＝０
　を得る。
　　これを解いて、　　、　
　ところで、Ｘ＝Ｙ＋２ なので、
　　　　　　　　　　　　、　
　が、４次方程式の解となる。

　上記の問題のように、簡単に分解方程式の解の一つが見つかればよいが、一般的には
難しいと思う。ただ、４次方程式の解法の道筋を示している点で、Ｆｅｒｒａｒｉの解法は素晴ら
しいと思う。

　読者のために、練習問題を残しておこう。

練習　４次方程式　Ｘ⁴＋２Ｘ²−４Ｘ＋８＝０　を解け。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答　　、　）

（参考文献：永田雅宜　著　線形代数の基礎（紀伊國屋書店））


（追記）　平成２２年１０月８日付け

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんから、上記の問題の解答をお寄せい
ただいた。

（解）　４次方程式 Ｘ⁴＋２Ｘ²−４Ｘ＋８＝０ の分解方程式は、

　　　　　　(−４)²−４(２λ−２)(λ²−８)＝０

　　　　∴　２λ³−２λ²−１６λ＋１２＝０　より、　(λ−３)(２λ²＋４λ−４)＝０

　　　よって、解の１つとして、λ＝３ を得る。このとき、

　 　　(Ｘ²＋３)²＝Ｘ⁴＋６Ｘ²＋９＝(−２Ｘ²＋４Ｘ−８)＋６Ｘ²＋９＝４Ｘ²＋４Ｘ＋１＝（２Ｘ＋１）²

　　より、２つの２次方程式 Ｘ²＋３＝±(２Ｘ＋１) 　すなわち、

　　　　　　Ｘ²−２Ｘ＋２＝０　　、　　Ｘ²＋２Ｘ＋４＝０

　　　これを解いて、解は、　　、　　となる。　（終）

　攻略法さんからの情報によれば、この問題は、筑波大学（２００６年度前期　理系）で次の
ような誘導形式により出題されたとのことである。

　Ｆ（ｘ）＝ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８　とする。

（１）　(ｘ²＋ｔ )²−Ｆ（ｘ）＝（ｐｘ＋ｑ）²　が ｘ の恒等式となるような整数 ｔ、ｐ、ｑ の値を
　　１組求めよ。
（２） （１）で求めた ｔ、ｐ、ｑ の値を用いて、方程式　(ｘ²＋ｔ )²＝（ｐｘ＋ｑ）² を解くこと
　　により、方程式　Ｆ（ｘ）＝０　の解をすべて求めよ。

（解）（１）　与式の左辺は、

　　　　　　　　　ｘ⁴＋２ｔｘ²＋ｔ²−（ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８）＝２（ｔ−１）ｘ²＋４ｘ＋ｔ²−８

　　　　　　与式の右辺は、　ｐ²ｘ²＋２ｐｑｘ＋ｑ²

　　　　　したがって、　２（ｔ−１）＝ｐ²　、　４＝２ｐｑ　、　ｔ²−８＝ｑ²

　　　　　　ｐ、ｑ は整数なので、第２式より、　（ ｐ ， ｑ ）＝±（ １ ， ２ ）　、　±（ ２ ， １ ）

　　　　　このうち、ｔ も整数になる１組を求めれば、　（ ｐ ， ｑ ）＝（ ２ ， １ ）　で、　ｔ＝３

　　（２）　（１）より、　Ｆ（ｘ）＝(ｘ²＋ｔ )²−（ｐｘ＋ｑ）²＝(ｘ²＋３ )²−（２ｘ＋１）²　なので、

　　　　　　Ｆ（ｘ）＝（ｘ²−２ｘ＋２）（ｘ²＋２ｘ＋４）

　　　　　よって、解は、　　、　　となる。　（終）

　この攻略法さんの解法に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんは、デ
カルトの方法（２次式の積として、係数比較により求める方法）により解かれた。

（解）　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²＋ｐｘ＋ｃ）　とおくと、ｘ³ の係数を比較して、

　　　　　ａ＋ｐ＝０　なので、　ｐ＝−ａ

　　よって、　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝（ｘ²＋ａｘ＋ｂ）（ｘ²−aｘ＋ｃ）　と書ける。

　　右辺＝ｘ⁴＋（ｂ＋ｃ−ａ²）ｘ²＋ａ（ｃ−ｂ）ｘ＋ｂｃ　より、係数比較して、

　　　ｂ＋ｃ−ａ²＝２　　、　ａ（ｃ−ｂ）＝−４　、　ｂｃ＝８

　　よって、　ｂ＋ｃ＝ａ²＋２　、　ｂ−ｃ＝４/ａ　より、

　　　　　　２ｂ＝ａ²＋２＋４/ａ　、　２ｃ＝ａ²＋２−４/ａ

　　　この２式を掛けて、ａ²＝Ａ　とおくと、　４ｂｃ＝（Ａ＋２）²−１６/Ａ

　　ここで、　ｂｃ＝８　なので、　３２＝（Ａ＋２）²−１６/Ａ

　　よって、　Ａ³＋４Ａ²＋４Ａ−１６＝３２Ａ　より、　Ａ³＋４Ａ²−２８Ａ−１６＝０

　　　（Ａ−４）（Ａ²＋８Ａ＋４）＝０　から、　Ａ＝４　、ａ＝２　、ｂ＝４　、　ｃ＝２

　　したがって、　ｘ⁴＋２ｘ²−４ｘ＋８＝（ｘ²＋２ｘ＋４）（ｘ²−２ｘ＋２）

　　　　　よって、解は、　　、　　となる。　（終）

　ＦＮさんによれば、

　４次方程式と言えば、フェラーリの方法というイメージですが、Wikipedia には他に、デカル
ト、オイラー、ラグランジュの方法が載っています。デカルトの方法が一番簡単なように思い
ます。Wikipedia によると「方法序説」に書いてあるそうですが、見つかりませんでした。

とのことです。

（コメント）　攻略法さん、ＦＮさんに感謝します。ｘ³ の項がない４次式の因数分解、勉強に
　　　　　　なりました！