フェルマーの定理というと、
方程式 Ｘｎ＋Ｙｎ＝Ｚｎ （ｎ は３以上の自然数）を満たす自然数解（Ｘ，Ｙ，Ｚ）はない
という定理を思い浮かべる人が多いだろう。
この定理は、１９９５年に、アンドリュー・ワイルズ によって肯定的に解決されるまで、３００
年以上もの長い間、フェルマーの予想と呼ばれ、数学者たちを悩まし続けた。
しかし、ここでいうフェルマーの定理とは、
定理 （ａ，ｎ）＝１のとき、ａφ（ｎ）≡１（mod ｎ）
のことである。（証明は、こちらを参照）
ただし、φ(ｎ) はオイラーの関数といわれ、ｎ より小さい自然数のうち、ｎ と互いに素なもの
の個数を表す。
本によっては、両者を区別するために、後者を、フェルマーの小定理と呼ぶことが多い。
初等整数論では基本的な定理であり、多くの理論的基礎になっている。
フェルマーの定理によれば、任意の奇素数 ｐ に対して、 ２ｐ−１≡ １ （ｍｏｄ ｐ ）が成
り立つ。
ところで、この事実を少し変形して、 ２ｐ−１≡ １ （ｍｏｄ ｐ2 ） を満たす奇素数 ｐ を
考えた場合、実はそれほどないらしい。
ｐ＜６×１０9 （←６０億！）の範囲では、ｐ＝１０９３、３５１１ のみである。
ｐ＝１０９３ の場合について、
広島工業大学 大川研究室のＨＰの中の数学の問題コーナー（問題７９）に、解説が載っ
ている。
また、３ｐ−１≡ １ （ｍｏｄ ｐ2 ） を満たす素数 ｐ （ｐ＞３）についても同様で、
ｐ＜１０9 （←１０億！）の範囲では、ｐ＝１１、１００６００３ のみである。
大川研究室の解説を見ても分かるように、その証明は、実に巧妙で用意周到である。目
標を着実に視野に入れながら計算を実行しないと、思わず迷路に入ってしまうような、そん
な気分である。
（参考文献：和田秀男 著 数の世界 整数論への道（岩波書店））
（追記） 強引に計算を推し進めた解答は、こちらを参照。