中学入試問題に挑戦!                         戻る

 中学入試は小学生が対象である。当然問題も算数レベルの筈なのだが、意外と考えさせ、
数学的背景も兼ね備えた良問が多い。ためになる算数の問題をこのページで集めていこう
と思う。

 平成25年2月5日(火)付け朝日新聞朝刊に平成25年度麻布中学入試問題が掲載され
た。いくつか面白そうな問題があったので、小学生が解くレベルで考えてみた。

1. 満月から次の満月まで29.53日かかるものとします。ある閏年の9月30日が満月
  であるとき、次の満月を1回目として、100回目の満月となるのは、何年後の何月
  何日ですか。ただし、閏年は4年に1度必ずあるものとします。

(解) 100回目の満月となるのは、29.53×100=2953日後

    最初の1年目:365日 、2年目:365日 、3年目:365日 、4年目(閏年):366日 、

        5年目:365日 、6年目:365日 、7年目:365日 、8年目(閏年):366日

    から、8年後の9月30日が、2922日目。

      2953−2922=31 より、2953日後は、8年後の10月31日 (終)

2. 半径が3cmの円の周上に点Aがあります。点Aを中心として、この円を30°回転
  させてできる円が図のようにあります。黄色い部分の面積を求めなさい。


      

(解) 対称性から、右側半分の面積を求めれば十分である。

   ∠AOB=150°から、

   扇形AOBの面積=π・32・(150/360)=15π/4

   △AOBの面積=(1/2)・3・(3/2)=9/4

   よって、求める図形の面積は、

    2・(15π/4−9/4)=15π/2−9/2(cm2) (終)


(参考) 小学校では、円周率πは用いられず、3.14なので、上記に代入すれば、

     15π/2−9/2=15・1.57−4.5=23.55−4.5=19.05(cm2

(コメント) 上記の解答が小学生レベルかどうか少し不安?小学生に、30°、60°、90°の
      三角形の辺の比は既知としていいのだろうか?

3. A君とB君がX地点を同時に出発して、Y地点までそれぞれ一定の速さで歩き続
  けました。C君は2人が出発してから5分後にX地点を出発し、一定の速さで走り続
  けて2人を追いかけました。C君は出発して5分後にB君に追いつき、その10分後
  にA君に追いつきました。

(1) A君、B君、C君の速さの比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。


(解) A君、B君、C君の速さをそれぞれ a、b、c とおく。

   このとき、題意より、 5c=10b 、15c=20a すなわち、 c=2b 、3c=4a

    a=(3/4)c=(3/4)・2b=(3/2)b

   よって、 a : b : c = (3/2)b : b : 2b = 3 : 2 : 4 (終)

(2) C君はA君に追いついて、すぐに来た道を同じ速さで引き返しました。次に、C君
   がB君に出会うのは、C君がA君に追いついてから何分後ですか。分数で答えな
   さい。


(解) C君がA君に追いついてから x 分後にC君がB君に出会うとすると、

      20a−20b=xb+xc より、 30b−20b=xb+2xb

       よって、 x=10/3 より、 10/3分後に出会う。 (終)


(コメント) 算数の問題に方程式を使うのはやはり大人げないですね!次のようにも解ける
      ようです。

(別解) A君、B君、C君の速さをそれぞれ 3k、2k、4k とおく。

    C君がA君に追いついたとき、A君とB君の間の距離は、10×(4k−2k)=20k

    したがって、C君がB君に追いつくのは、 20k÷(4k+2k)=10/3  (終)

(コメント) こちらの方が美しい解答ですね!

(3) C君はB君に出会って、すぐにまた同じ速さでY地点に向かったところ、A君と同
   時にY地点に到着しました。C君の走った道のりの合計が5kmのとき、X地点か
   らY地点までの距離を求めなさい。


(解) C君がB君に出会ってから y 分後にY地点に到着したとする。

   C君の走った道のりは、 15c+(10/3)c+yc=5

   さらに、 20a+(10/3)a+ya=15c−(10/3)c+yc なので、

     30b+5b+(3/2)by=30b−(20/3)b+2by

    よって、 5+(3/2)y=−20/3+2y より、 y=70/3

   このとき、 30b+(20/3)b+(140/3)b=5 より、 (250/3)b=5

      ゆえに、 b=3/50

   したがって、X地点からY地点までの距離は、

   30b−(20/3)b+(140/3)b=9/5−2/5+14/5=21/5=4.2(km) (終)

(コメント) 3.の問題は、TVのクイズ番組に使えそうな問題ですね!方程式を解いている
      ので、小学生レベルの解答ではないと断言できますが、算数的にはどう解くのか
      興味がわきますね!

(コメント) やはり、上記の解答も十分大人げないですね!次のようにも解けるようです。

(別解) A君、B君、C君の速さをそれぞれ 3k、2k、4k とおく。

    C君がB君に出会ってから y 分後にY地点に到着したとすると、題意より、

       4ky−3ky=3k×(10/3)+4k×(10/3) なので、 y=70/3

    このとき、C君の走った道のりは、

      15×4k+(10/3)×4k+(70/3)×4k=5 なので、 k=3/100

   したがって、X地点からY地点までの距離は、

      5−2×4×(3/100)×(10/3)=5ー0.8=4.2(km) (終)


(コメント) まだ算数レベルにはほど遠いと思われるが多少は近づいたかな?


(追記) 平成29年5月4日付け

 上記の3.の問題を塾生達に考えてもらったところ意外と苦戦するようだ。私自身も上記
の解答に満足しているわけはないので、再度検討してみた。

 長い文章題と時間の経過が絡んでくるので、問題文を整理して次のような図にまとめてみ
た。少しは見通しがよくなって考えやすくなるだろう。

  

(1) A君、B君、C君の速さの比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

(解) 上図より、 b : c=1/10 : 1/5=1 : 2 なので、 c=2b

 同様にして、 a : c=1/20 : 1/15=3 : 4 なので、 a=(3/4)c=(3/2)b

 よって、 a : b : c = (3/2)b : b : 2b = 3 : 2 : 4 (終)

(2) C君はA君に追いついて、すぐに来た道を同じ速さで引き返しました。次に、C君
   がB君に出会うのは、C君がA君に追いついてから何分後ですか。分数で答えな
   さい。


(解) x 分後にBとCが出会うとすると、上図より、

    bx+cx=20a−20b なので、 3bx=10b  よって、x=10/3

(3) C君はB君に出会って、すぐにまた同じ速さでY地点に向かったところ、A君と同
   時にY地点に到着しました。C君の走った道のりの合計が5kmのとき、X地点か
   らY地点までの距離を求めなさい。


  Y地点まで y 分かかったとき、上図より、

   yc=(10/3)c+(10/3)a+ya なので、 2yb=(20/3)b+5b+(3/2)yb

   よって、 (1/2)yb=(35/3)b より、 y=70/3

  このとき、C君の走った道のりは、

   15c+(10/3)c+(70/3)c=(125/3)c=5 より、 c=3/25

 よって、

  XY=15c+(70/3)c−(10/3)c=(105/3)c=(105/3)(3/25)=21/5(km)


4.(1) コインがたくさんあり、そこからA君とB君の2人が交互にコインを取っていき
    ます。1回目はA君が1枚、2回目はB君が3枚、3回目はA君が5枚、4回目は
    B君が7枚、5回目はA君が9枚、・・・というように、2人は自分が前に取った枚
    数より4枚多くコインを取ります。何回か取った後、2人の持っているコインの枚
    数を比べたところ、差が31枚でした。コインを多く持っているのはどちらですか。
    また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。


(解) 2n−1回目にA君が取るコインの枚数は、 1+4(n−1)=4n−3(枚) なので、

   2n−1回目までにA君が取るコインの総数は、 

     1+5+・・・・+(4n−3)=n(4n−2)/2=n(2n−1)

  同様にして、

    2n回目にB君が取るコインの枚数は、 3+4(n−1)=4n−1(枚) なので、

   2n回目までにB君が取るコインの総数は、 

     3+7+・・・・+(4n−1)=n(4n+2)/2=n(2n+1)

   n(2n+1)−n(2n−1)=2n(偶数) で、31にはなり得ない。

   そこで、A君が2n+1回目にコインを取った後のコインの総数は、(n+1)(2n+1)で、

     (n+1)(2n+1)−n(2n+1)=2n+1=31

   から、n=15 となる。

    よって、コインを多く持っているのは、A君で、最後に取ったコインの枚数は、

       4×(15+1)−3=61(枚) (終)

(コメント) 小学生が上記のように解くとは信じられないので、多分もっと算数的な解法が
      あるのだろう。

 次のように考えると算数レベルかな?そんなに違わないかな?

(別解) 2n−1回目にA君が取るコインの枚数は、 1+4(n−1)=4n−3(枚) なので、

   2n−1回目までにA君が取るコインの総数は、 

     1+5+・・・・+(4n−3)=n(4n−2)/2=n(2n−1)

   2n回目までにB君が取るコインの総数は、1回当たりA君より2枚ずつ多いから、

     n(2n−1)+2n=n(2n+1)

   差が奇数の31個になるのは、A君が2n+1回目にコインを取ったとき。

    よって、 (n+1)(2n+1)−n(2n+1)=2n+1=31 から、n=15 となる。

   したがって、コインを多く持っているのは、A君で、最後に取ったコインの枚数は、

       4×(15+1)−3=61(枚) (終)

(2) コインがたくさんあり、そこからA君、B君、C君が順にコインを取っていきます。
  1回目はA君が1枚、2回目はB君が2枚、3回目はC君が4枚、4回目はA君が
  8枚、5回目はB君が9枚、6回目はC君が11枚、・・・というように、3人は自分が
  前に取った枚数より7枚多くコインを取ります。何回か取った後、3人の持っている
  コインの枚数を比べたところ、1番多い人と1番少ない人の差が87枚でした。
   コインを一番多く持っているのは誰ですか。また、その人が最後に取ったコイン
  は何枚ですか。考えられる場合をすべて答えなさい。


(解) 3n−2回目にA君が取るコインの枚数は、 1+7(n−1)=7n−6(枚) なので、

   3n−2回目までにA君が取るコインの総数は、 

     1+8+・・・・+(7n−6)=n(7n−5)/2

  同様にして、

    3n−1回目にB君が取るコインの枚数は、 2+7(n−1)=7n−5(枚) なので、

   3n−1回目までにB君が取るコインの総数は、 

     2+9+・・・・+(7n−5)=n(7n−3)/2

  また、

    3n回目にC君が取るコインの枚数は、 4+7(n−1)=7n−3(枚) なので、

   3n回目までにC君が取るコインの総数は、 

     4+11+・・・・+(7n−3)=n(7n+1)/2

  考えられる場合は、

   ・ C君が最大、A君が最小で、 n(7n+1)/2−n(7n−5)/2=87

      3n=87 で、n=29。

   ・ A君が最大、B君が最小で、 (n+1)(7(n+1)−5)/2−n(7n−3)/2=87

      6n+1=87 で、解なし。

   ・ B君が最大、C君が最小で、(n+1)(7(n+1)−3)/2−n(7n+1)/2=87

      5n+2=87 で、n=17。

  以上から、コインを一番多く持っているのは、B君またはC君で、

   B君が最後に取ったコインは、 7(n+1)−5=121(枚)

   C君が最後に取ったコインは、 7n−3=7・29−3=200(枚)

(コメント) 多分、この問題は小学生にとっては難問?

5. 三角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。以下の問いに答え
  なさい。

  三角すいA-BCDにおいて、AB=6cm、BC=5cm、BD=6cmとし、辺AB、辺
 BC、辺BD上にそれぞれ3点P、Q、Rを、AP=2cm、BQ=3cm、BR=3cm と
 なるようにとる。

(1) 三角すいABCD、三角すいABQR、三角すいPBQRの体積の比をできるだけ
   簡単な整数の比で表しなさい。


(解) 三角すいABCDの体積をVとおくと、三角すいABQRの体積は、

    V×(3/5)×(1/2)=(3/10)V

    同様に、三角すいPBQRの体積は、

    (3/10)V×(2/3)=(1/5)V

    よって、3つの三角すいの体積の比は、

           V:(3/10)V:(1/5)V=10 : 3 : 2  (終)

(2) EF=22cm、FG=18cm、GE=20cmの△EFGの形をした紙を使って2つ
  の三角すいを作ります。EF、FG、GEの中点M、N、Kを結ぶ線分を折り目として
  頂点E、F、Gを一致させるように折って作った三角すいをV1、EF、FG、GE上に
  それぞれ3点P、Q、Rを、EP=10cm、FQ=8cm、GR=12cmとなるようにと
  り、三角形EFGの形をした紙を線分PQ、QR、RPで切り離し、同じ長さの辺を重
  ね合わせて作った三角すいをV2とします。V1とV2の体積の比をできるだけ簡単
  な整数の比で表しなさい。

(解) △EPRと△EMKの面積の比は、頂角Eが共通なので、 11×10:8×10=11:8

   また、面EPRに対するEQの向きと、面EMKに対するENの向きは同じなので、

   △EPR、△EMKを底面とするそれぞれの三角すいの高さの比は、EQ:EN=9:12

   となる。したがって、求める体積の比は、 11×9:8×12=33:32 である。  (終)

(コメント) 空間把握が難しいですね!△EPR、△EMKを底面として、2つの三角すいの体
      積を考えることがポイントでした。算数レベルを遙かに超える超難問です...!

6. 8つの面がすべて合同な正三角形からなる立体(正8面体)について考えます。
  それぞれの面には、次のように1から8までの数字が書かれています。

   △ABC・・・1 、△ACD・・・2 、△ADE・・・3 、△AEB・・・4
   △FDC・・・5 、△FCB・・・6 、△FBE・・・7 、△FED・・・8

  この立体を面ABCが底面となるようにおきます。底面のいずれか1辺を軸として、
 隣り合う面が底面となるようにこの立体を動かすことを「転がす」ということにします。

       

(1) 1回目に辺ACを軸として転がし、続けて2回目に辺CDを軸として転がしました。
   その結果、最後に底面と重なる位置を、下の図の三角形に黄色に色つけして示
   しなさい。また、そのときの底面に書かれた数字を答えなさい。


(解) △ABCの下の右側の三角形で底面に書かれた数字は、5

 底面が面ABCである状態から4回自由に転がします。このとき、以下の(2)、(3)、
(4)に答えなさい。

(2) 黄色部アは、最後に底面と重なる位置の1つです。ア以外の、最後に底面と重
   なる位置全てを、図の三角形に黄色に色つけして示しなさい。また、アの位置に
   最後に重なる底面に書かれた数字として考えられるものをすべて答えなさい。


(解)
       

   初期状態から右回りに転がして数字は7、左回りに転がして数字は1。

(3) 4回自由に転がす転がし方は、全部で何通りありますか。ただし、最後の底面
   の位置が同じでも、途中の経路が違う場合は別の転がし方とします。


(解) 3×3×3×3=81(通り)

(4) 最後に底面となる面に書かれた数字を、(3)のすべての転がし方について足し
  合わせます。その和を求めなさい。


(解) 底面の数字1から移り得る数字は、2、4、6の3通り。

    底面の数字2から移り得る数字は、1、3、5の3通り。

    底面の数字3から移り得る数字は、2、4、8の3通り。

    底面の数字4から移り得る数字は、1、3、7の3通り。

    底面の数字5から移り得る数字は、2、6、8の3通り。

    底面の数字6から移り得る数字は、1、5、7の3通り。

    底面の数字7から移り得る数字は、4、6、8の3通り。

    底面の数字8から移り得る数字は、3、5、7の3通り。

  このとき、樹形図により、底面の数字1から始まって4回自由に転がした後の底面の数

 字が、1となるものは21通り、3となるものは20通り、5となるものは20通り、7となるも

 のは20通りで、したがって、最後に底面となる面に書かれた数字の和は、

    1×21+3×20+5×20+7×20=321

(コメント) 算数レベルのいろいろな解法を考えましたが、結局は樹形図利用に落ち着きま
      した。機械的な計算なので、試験時間以内に十分解答可能と思われます。


 このページをまとめるにあたり、ますいしいさんのブログを参考にさせていただいた。ます
いしいさんに感謝します。


 平成25年6月8日(土)、電車に乗って東京に向かっているとき、日能研の広告が目に留
まった。白百合学園中学(2013年)の入試問題である。以下は一部表現を変えている。

 17頭のラクダと遺言「長男に1/2、二男に1/3、三男に1/9ずつ与える。」が遺された。

そこに賢者が現れ、自分のラクダ1頭を加えて、長男に9頭、二男に6頭、三男に2頭ときれ

いに分配され、賢者はとても感謝され、しかも、自分のラクダも戻って、めでたしめでたし!

 これって昔からある有名な話じゃんと思って読んでいると、この話には続きがあったらしい。

 17頭のラクダと遺言「長男に1/2、二男に1/3、三男に1/6ずつ与える。」が遺された。

そこに愚者が現れ、賢者と同様に自分のラクダ1頭を加えて、長男に9頭、二男に6頭、三

男に3頭と分配したものの、自分のラクダも失ってしまった。う〜ん、残念!

 そこで、あなたが1頭のラクダを持つ賢者となるように、23頭のラクダを

   「長男に1/2、二男に1/x、三男に1/yずつ与える。」

という遺言を実行するとき、x、y の値は何でしょう?


 賢者となるためには、次の等式

  1/2+1/x+1/y=23/24 (x<y)

をみたすように x、y の値(整数)を見いだせばよい。

 さらに、x、y の値は当然24の約数で、3以上でなければならない。

 等式から、 1/x+1/y=11/24 すなわち、 (x+y)/xy=11/24

 24の約数で、和(x+y)が11で積(xy)が24となるのは、 x=3、y=8 である。


(コメント) 「長男に1/2、二男に1/3、三男に1/6ずつ与える。」という遺言では、愚者にな
      ってしまいますね!...f(^^;)


 平成26年2月4日(火)付け朝日新聞朝刊に平成26年度開成中学入試問題が掲載され
た。高校生対象でも十分通用しそうな問題について考察してみた。(一部改題)

1. 3つの整数A、B、Cがある。AとBの最大公約数は21、BとCの最大公約数は
  35、AとCの最大公約数は98である。ただし、A+B+C≦1000 とする。
   このような性質を持つ、3つの整数A、B、Cの組を1組求めよ。


(解) 題意より、 A=21a=3・7・a 、B=21b=3・7b (a、bは互いに素)

           B=35b’=5・7b’ 、C=35c=5・7c (b’、cは互いに素)

           A=98a’=14・7a’ 、C=98c’=14・7c’ (a’、c’は互いに素)

  上式より、 3a=14a’ 、3b=5b’ 、5c=14c’ なので、

 a=14 、a’=3 、b=5 、b’=3 、c=14 、c’=5 のとき、条件を満たす。

 このとき、 A=294 、B=105 、C=490 で、A+B+C≦1000 を満たす。  (終)


2. 下図は、2つの扇形と三角形を組み合わせたものである。弧PQ=5・弧QRのと
  き、角θ、φおよび2つの扇形の面積の和を求めよ。ただし、円周率π=3.14と
  する。

      

(解) 条件より、 2×9π×φ/360°=5×2×3π×θ/360°なので、 3φ=5θ

   △ABCにおいて、 20°+180°−φ=θ より、 600°−3φ=3θ

   よって、 8θ=600° より、 θ=75° また、 φ=125°である。

   2つの扇形の面積の和は、

 81π×φ/360°+9π×θ/360°=81π×125°/360°+9π×75°/360°

                         =225π/8+15π/8=30π=94.2  (終)


(コメント) 弧度法を知っていれば、もっとスッキリした解答になるだろう。


(追記) S(H)さんから、早稲田中学(2008年度)の入試問題をご紹介いただいた。
                                      (平成27年1月17日付け)

 2つの扇形を組み合わせた図がある。Aの扇形は半径が1cmで、面積が2cuである。B
の扇形は半径が10cmである。Bの扇形の面積を求めよ。但し、円周率は、3.14とする。

      

(解) 扇形Bを含む同心円の面積は、 100×3.14=314(cu) である。扇形の面積

 は(半径)2に比例するので、扇形Aの半径を10倍に拡大した扇形の面積は、

 102×2=200(cu)である。

 よって、求める面積は、314−200=114(cu) である。  (終)


(追記) 平成27年2月5日(木)付け朝日新聞朝刊に平成27年度桜蔭中学入試問題が掲
    載された。菊川怜さんや三浦奈保子さんなどが桜蔭の卒業生である。(一部改題)

1.(1)次の(  )にあてはまる数を答えなさい。

(@) {(5.6−2.8×(1+5/7))÷(18/35)+(2+2/3)}÷4.75=(  )

(A) (47/55−8/25÷(  ))×(19/36×9−(1+1/24)÷(5/7)+2/3)
   =2+3/8


(解)(@) 左辺={(28/5−(14/5)×(12/7))×(35/18)+8/3}×4/19
         =(98/9−28/3+8/3)×4/19
         =(38/9)×4/19
         =8/9

(A) (47/55−8/25÷(  ))×(19/4−(25/24)×(7/5)+2/3)=19/8 より、
  (47/55−8/25÷(  ))×(95/24)=19/8 なので、
  47/55−8/25÷(  )=3/5
 よって、 8/25÷(  )=47/55−3/5=14/55 より、
   (  )=8/25×(55/14)=44/35  (終)

(2) 下の図のようなアからケの9個のマスがあります。このアからケのマスの中に、
  約数が全部で9個ある整数の約数を小さい順に入れます。このとき、次の(  )に
  あてはまる数を答えなさい。

  (@) ア+ケ+オ=241 となる整数は(  )です。

  (A) ウ×ケ×キ=38416 となる整数は(  )です。







(解) 求める整数をNとすると、約数が全部で9個あることから、素数p、qを用いて、

   N=p8  または、 N=p22 (p<q)

(@) N=p8 のとき、 1、p、p2、p3、p4、p5、p6、p7、p8

 N=p22 (p<q) のとき、1、p、(q または p2)、pq、(q2 または p2q)、pq2、p22

 よって、 1+p4+p8=241 のとき、(p4−15)(p4+15)=0 で、この式を満たす素
     数pは存在しない。

     1+pq+p22=241 のとき、(pq−15)(pq+16)=0 で、 p=3、q=5

 したがって、 N=32・52=225

(A) 38416=24・74 であるので、N=p8 の場合は起こりえない。

 q<p2 のとき、q2<p2q なので、q・p2q・p22=p44=24・74 より、p=2、q=7

 q>p2 のとき、q2>p2q なので、p2・q2・p22=p44=24・74 より、p=2、q=7

 したがって、 N=22・72=196  (終)


(コメント) 解答の仕方がとても小学生的でないものになってしまった。小学生だったら、ど
      う計算するのだろう?


2.いろいろな大きさの正三角形を、次のように置いていきます。はじめに、1辺の長さ
 が1cmの正三角形3枚(1、2、3)と1辺の長さが2cmの正三角形2枚(4、5)を置
 きます。次からは、できた図形の最も長い辺を1辺とする正三角形をもとの図形のと
 なりに、下図のようにうずまき状に置いていきます。このとき、次の問いに答えなさい。

     

(1) 17番目の正三角形を置いたとき、できる図形の周の長さは何cmですか。
(2) 15番目の正三角形を置いたとき、できる図形の面積は、1番目の正三角形の
   面積の何倍ですか。


(解)(1) 21+28+37+49+65+65=265(cm)

 (2) 3+4+4+9+16+25+49+81+144+256+441+784+1369
   =3185(倍)

(コメント) 数列的に考えようとしましたが、実際に絵を描いて数えた方が速そうだったので、
      泥臭く求めてみました。

 1番目の正三角形から始めて1辺の長さの数列は、

 1,1,1,2,12162128374965,・・・

である。その階差数列を調べてみると、

  0,0,1,0,1,1,1,1216,・・・

となるので、最初のいくつかの項を除いて、何となく規則性が見えてくる。


3. あるお店でチーズケーキとプリンを買います。どちらも少なくとも1個は買うことに
  します。チーズケーキは1個300円、プリンは1個120円です。値段は消費税をふ
  くんでいます。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) チーズケーキとプリンを合わせて18個買い、代金が3500円以上4500円以下
  になるようにします。考えられる個数の組合せをすべて答えなさい。
(2) セールの期間には、チーズケーキは10個をこえると、こえた分はもとの値段の
  5%引きになります。セール期間中に買い物をし、その代金がちょうど9000円に
  なる場合の個数の組合せをすべて答えなさい。


(解)(1) チーズケーキをx個買うとすると、プリンは、18−x個なので、題意より、

  3500≦300x+120(18−x)≦4500 から、1340≦180x≦2340

  よって、7.・・・≦x≦13 より、

 (チーズケーキ,プリン)=(8,10)、(9,9)、(10,8)、(11,7)、(12,6)、(13,5)

(2) チーズケーキをx個、プリンをy個買うとする。1≦x≦10のとき、題意より、xが奇数は

  起こりえないので、 x=2、4、6、8、10

  このとき、それぞれ y=(9000−300x)/120=70、65、60、55、50

   x>10 のとき、  300×10+285(x−10)+120y=9000

    すなわち、 285x+120y=8850 より、 19x+8y=590

   このとき、 19×(−2)+8×5=2 より、 19×(−590)+8×1475=590

   よって、 19(x+590)=8(1475−y)

   19と8は互いに素なので、 x+590=8k 、 1475−y=19k

    x=8k−590>10 より、 k>75  よって、k≧76

    y=1475−19k≧1 より、 k≦77.・・・

   以上から、 k=76、77

    k=76 のとき、 x=608−590=18 、y=1475−1444=31

    k=77 のとき、 x=616−590=26 、y=1475−1463=12

 以上から、

(チーズケーキ,プリン)=(2,70)、(4,65)、(6,60)、(8,55)、(10,50)、(18,31)、(26,12)


(追記) 平成28年2月5日(金)付け朝日新聞朝刊に平成28年度桜蔭中学入試問題が掲
    載された。興味ある問題があったので挑戦してみた。(一部改題)

 等間隔に(1)から(9)までの番号がついた道路がある。3人A、B、Cの歩く速さ、走
る速さ、自転車の速さはそれぞれ等しいとするとき、次の問いに答えよ。

 2つの間隔の間を75秒で歩き、40秒で走り、25秒で自転車を走らせるものとする。

(イ) Aは10時に地点(1)を歩いて出発し、途中の地点から走って地点(9)に達した。
  地点(9)では1分休み、自転車で地点(1)に戻った。Bは10時に地点(1)を自転
  車で出発し、地点(5)に着いて4分45秒休み、その後は歩いて、地点(1)に戻っ
  た。2人が同時刻に地点(1)に戻ったとき、Aはどの地点から走り始めたか。

(ロ) (イ)のとき、Cは10時に地点(8)から自転車で地点(1)に向かった。地点(1)
  に着く途中で、A、Bとすれ違った。Bとすれ違った後、何秒後にAとすれ違ったか。


 長文を読んで頭がクラクラしてくるが、動きを次のように図示すると分かりやすい。

  


(解)(イ) 地点(x+1)から走り始めたとすると、

     75x+40(8−x)+60+25・8=4・25+285+75・4

   すなわち、 35x+580=685 より、 35x=105  よって、x=3

   したがって、Aは地点(4)より走り始めた。

(ロ) Bとすれ違うまでの時間をxとおくと、

    (4/100)x=−(7/175)x+7 より、x=175/2

  Aとすれ違うまでの時間をxとおくと、−(7/175)x+7=(3/225)x より、 x=525/4

  よって、 525/4−175/2=175/4 より、 43.75秒後にAとすれ違う。


(追記) 平成29年2月4日(土)付け朝日新聞朝刊に平成29年度開成中学入試問題が掲
    載された。背後に木部先生の気配を感じつつ挑戦してみた。(一部改題)

1. 次の各問いに答えなさい。

(1) 次の( )には同じ数が入ります。その数を求めなさい。

   (35/3)×(( )×1.4+( )÷(1/2)+20)÷(7/60)=2017

(2) 1から2017までの整数のうち、3でも4でも割り切れないものを考えます。その
   うち、2の倍数と5の倍数はそれぞれ何個ありますか。


 何れも当HPの「パズル2017」に類別されそうな問題で面白そう!

(解)(1) まず、( )×1.4+( )×2+20=2017/100 より、( )×3.4=17/100

      よって、 ( )=1/20

(2) 1から2017までの整数のうち、2の倍数は全部で、1008個ある。この中から、3また
  は4で割り切れるものを除けばよい。

 2・1、2・2、2・3、・・・・・・、2・1008 より、1、2、3、・・・・・・・、1008で、2または3また
は4で割り切れるものは、 504+336+252−168−84−252+84=672(個)

 よって、条件を満たす2の倍数は、 1008−672=336(個) ある。

 同様にして、1から2017までの整数のうち、5の倍数は全部で、403個ある。この中から、
3または4で割り切れるものを除けばよい。

 5・1、5・2、5・3、・・・・・・、5・403 より、1、2、3、・・・・・・・、403で、3または4で割り切
れるものは、 134+100−33=201(個)

 よって、条件を満たす5の倍数は、 403−201=202(個) ある。


(コメント) (1)は普通レベルにしても(2)は「小学生に個数定理?」と思うくらい難問ですね。
      それとも他に小学生レベルの解法があるのかな?


2.は問題文が長すぎてパス!


3. 次の各問いに答えなさい。
(1) 下の図において、四角形ABCDと四角形ABEFはどちらも長方形で、3つの直
  線AG、BD、EFが1点Hで交わっています。GEの長さが1cm、DFの長さが9cm、
  AFの長さがx cmのとき、x の値を求めなさい。

    

(2) A地点とB地点の間に一本道があります。阿部君はこの道をA地点からB地点
  へ向かって分速50mで進みます。馬場君もこの道をB地点からA地点へ向かって
  一定の速さで進みます。二人は同時に出発し、B地点から250m離れた地点です
  れ違いました。また、阿部君がB地点に着いてから46分12秒後に、馬場君はA地
  点に着きました。右の図は、二人が出発してからの時間とA地点からの道のりの関
  係を表しています。二人が出発してからすれ違うまでにかかった時間をy分とすると
  き、yの値を求めなさい。


    

 これは、中学入試らしい問題ですね。

(解)(1) 相似比から、 x=9/x より、 x=3(cm)

(2) 阿部君がB地点に到着するのは、すれ違ってから、 250÷50=5(分後)。

  よって、(1)と同様に考えて、 y=(46.2+5)×(5/y) から、 y2=256

  したがって、 y=16(分)


(コメント) 小学生に平方根は無謀かな?違う解法があるのかも。


4. 底面がAB=4cm、BC=3cm、CA=5cm、∠ABCの大きさが90°の三角形
  であり、側面がすべて長方形の透明な三角柱ABC-DEFのガラスでできた容器があ
  ります。この容器には水を入れることができ、どのような向きに置いても水は漏れな
  いものとします。また、容器のガラスの厚さは考えません。

    

   まず、この容器に少し水を入れたところ、面DEFを下にして水平な床に置いたとき
  と、面BCFEを下にして水平な床に置いたときとで、容器の下の面から水面までの高
  さが等しくなりました。

    

   次に、この容器に、これまで入っていた量の5/4倍の水をさらに追加したところ、
  面DEFを下にして水平な床に置いたときと、面ABEDを下にして水平な床に置いた
  ときとで、容器の下の面から水面までの高さが等しくなりました。

    

   次の問いに答えなさい。

(1) 長さ c は長さ a の何倍ですか。

(2) 長さ d は、長さ b より何cm長いですか、または、短いですか。

(3) 長さ a は何cmですか。

(4) BEの長さは何cmですか。

(5) 
    

  の状態のあと、この容器に水をさらに追加したところ、面DEFを下にして水平な床に
  置いたときと、面ACFDを下にして水平な床に置いたときとで、容器の下の面から水
  面までの高さが等しくなりました。このとき、等しい水面の高さは何cmですか。


(解)(1) 最初に水を入れて面DEFを下にして水平な床に置いたときの水面の高さをhとお
     くと、題意より、 h=a である。

    また、この容器に、これまで入っていた量の5/4倍の水をさらに追加したので高さは、
    9h/4で、題意より、 9h/4=c である。

    よって、 c=(9/4)a となり、長さ c は長さ a の9/4倍である。

(2) △ABCの面積は、6cm2で、BE=x とおくと、題意より、 6h=(3+b)ax/2

   また、 6h×(9/4)=(4+d)cx/2=(4+d)×(9/4)ax/2 より、

      6h=(4+d)ax/2 なので、 (3+b)ax/2=(4+d)ax/2

   よって、 3+b=4+d となり、 d−b=−1

   したがって、長さ d は、長さ b より 1cm短い。

(3) 4−a : 4=b : 3 より、 b=3(4−a)/4

  同様にして、 3−c : 3=d : 4 より、 d=4(3−c)/3=4−3a

 (2)より、 4−3a−3(4−a)/4=−1 なので、 a=8/9(cm)

(4) (3)より、 c=2、b=7/3、d=4/3 で、 h=8/9 となるので、

   6h=(3+b)ax/2 に代入して、 x=9/4(cm)

(5) 容器に水をさらに追加して、面DEFを下にして水平な床に置いたときの水面の高さをH
  とし、面ACFDを下にして水平な床に置いたときの側面の台形の上底の長さをeとおくと、
  題意より、
         6H=(5+e)H×(9/4)/2 なので、 e=1/3

   このとき、△ABCのACを底辺とする高さyは、 5y/2=6 より、 y=12/5 なので、

    12/5 : 5=(12/5−H) : 1/3 が成り立つ。

   これを解いて、 H=56/25(cm) となる。  (終)


(追記) 平成29年2月5日(日)付け朝日新聞朝刊に平成29年度桜蔭中学入試問題が掲
    載された。面白そうなので挑戦してみた。(一部改題)

1. 次の(  )にあてはまる数を答えなさい。

(1)@ {1.04÷9×(12−5−4/7)−13/42}×(2+23/26)=(  )

  A {7+6/11−(4+1/16)÷6.875}÷{15−((  )+5+1/3)}=6+3/4

(2) 0から9までの1けたの数字10個から、異なる2個の数字を選びます。その2個
   の数字をどちらも1回以上使って4個を並べた数を作ります。ただし、0を使うとき
   は、たとえば、0030は30、0101は101と考えることとします。

 @ このようにしてできる数は全部で(  )個あります。

 A 2020は小さい方から数えて(  )番目の数です。

 B 大きい方から数えて92番目の数は(  )です。


(解)(1)@ {1.04÷9×(12−5−4/7)−13/42}×(2+23/26)
      =(1.04/9)×(45/7)×(75/26)−(13/42)×(75/26)
      =15/7−75/84
      =105/84
      =5/4

 A {7+6/11−(4+1/16)÷6.875}÷{15−((  )+5+1/3)}=6+3/4
    (83/11)−(13/22)=(27/4){(29/3)−(  )}
    (153/22)×(4/27)=(29/3)−(  )
    (  )=(29/3)−(34/33)=285/33=95/11

(2)@ 102×(4!/3!+4!/(2!2!)+4!/3!)=45×14=630(個)

 A 0*** のタイプは、 9×3+9×3+9=63
   1*** のタイプは、 9×3+9×3+9=63
   2000、2002 の次が2020

   より、 63+63+2+1=129(番目)

 B 9*** のタイプは、 9+9×3+9×3=63(個) なので、92番目の数は、8***
   のタイプ。

   89** のタイプは、 4通り
   88** のタイプは、 9+9×2=27通り これで、94個目
    92番目の数は、88** のタイプで小さい方から3番目の数なので、
   8800、8808、8811、8818、8822、8828、8833、・・・ から、答えは、8811


2. 下の図は、AD=DH=16cm、GH=12cmの直方体ABCD-EFGHで、
  AF=20cmです。2つの動く点PとQが同時に出発して、毎秒2cmの速さで点P
  は長方形ADGFの周上を、点Qは三角形CDGの周上を次のように動きます。

 点P:A→D→G→F→A→D→G→・・・
 点Q:G→D→C→G→D→・・・


   

(1) 2点P、Qが初めて出会うのは、2点が出発してから何秒後ですか。
(2) 2点P、Qが4回目に出会うのは、2点が出発してから何分何秒後ですか。


(解) 点Pが長方形ADGFを一周するのに要する時間は、 8→10→8→10 の計36秒
   点Qが三角形CDGを一周するのに要する時間は、 10→6→8 の計24秒

(1) 2点P、Qが初めて出会うのは、線分DG上で、それが出発から x 秒後とすると、

   2x=36−2x から、 x=9  よって、2点が出発してから9秒後に初めて出会う。

(2) 2点P、Qが出会うのは線分DG上である。点Pが線分DG上にある時間は、出発から、

 8〜18、44〜54、80〜90、116〜126、152〜162、・・・

  点Qが線分DG上にある時間は、出発から、

 0〜10、24〜34、48〜58、72〜82、96〜106、120〜130、144〜154、・・・

 よって、2点P、Qが4回目に出会うのは、点Pが点Dを116秒後に出発し、点Qが点Gを
120秒後に出発して線分DG上で出会うので、 (20−2×4)÷2÷2=3

 よって、2点が出発してから、120+3=123(秒後) すなわち、2分3秒後 に4回目の
出会いがある。  (終)


(コメント) こういう問題って、いかにも算数っぽくて好きですね。(1)で方程式を立ててしま
      いましたが、立てなくても 36÷2÷2=9(秒後) としても、直ぐ分かります。


3. 1辺の長さがそれぞれ3cm、12cm、21cmの正方形を底面とする直方体から
  上の面を取り除いてできた3つの水槽A、B、Cを重ねて(Cの中にB、Bの中にA)
  底面を固定した容器がある。この容器を水平な床の上に置き、水槽A、B、のそれ
  ぞれに、蛇口a、b、cから毎秒一定の量の水を同時に入れ始め、全ての水槽が水
  で満たされるまで3つの蛇口から水を入れ続けました。ただし、容器の厚さは考え
  ないものとします。

(1) 下の図は、水を入れ始めてから容器が水で満たされるまでの時間と水面の高さ
   の関係を表したグラフです。水を入れ始めてから(ア)秒後までの水槽Bの水面が
   上昇する速さが毎秒1/27cm、(ウ)が189であるとき、次の@、Aを求めなさい。

  @ 1つの蛇口から1秒間に出る水の量
  A 水槽Cの高さ

    

(2) この容器を空にして、再び3つの蛇口から毎秒一定の量の水を入れました。全
   ての水槽が水で満たされるまでに2分かかったとき、1つの蛇口から1秒間に出
   る水の量を求めなさい。


(解)(1)@ 水槽Bの中に水槽Aがあるので、水槽Bの実際の底面積は、

        12×12−3×3=135(cm2

       よって、1つの蛇口から1秒間に出る水の量は、 135×1/27=5(cm3

A 水槽Aが水で満たされるのに要する時間は、 3×3×15÷5=27(秒)

  水槽Bが水で満たされるのに要する時間は、

    (135×9−5×27)÷10+27=135(秒)

  水槽Cの高さをh(cm)とすると、

    (21×21−12×12)×h−5×135=15×(189−135)

  すなわち、 297h=1485 より、 h=5(cm)

(2) 1つの蛇口から1秒間に出る水の量を x cm3とすると、

  水槽Aが水で満たされるのに要する時間は、 3×3×15÷x=135/x(秒)

  水槽Bが水で満たされるのに要する時間は、

    (135×9−x×(135/x))÷2x+135/x=675/x(秒)

  水槽Cの高さは5cmなので、

    (21×21−12×12)×5−x×(675/x)=3x×(120−675/x)

  すなわち、 1485−675=360x−2025 より、 360x=2835

  よって、1つの蛇口から1秒間に出る水の量は、63/8 cm3 となる。  (終)


(コメント) よく考えられた問題ですね!解いて楽しかったです。


4. 立体1(底面が半径6cmの直円錘(ただし、母線の長さ25cm))、立体2(底面
  が半径3cm、高さ20cmの直円柱)、立体3(底面が半径4cm、高さ15cmの直
  円柱から底面が半径2cm、高さ15cmの直円柱をくりぬいたもの)のそれぞれが
  1個以上あります。

   立体1の下の面は赤、立体2の上下の面は青、立体3の上下の面は黄色に塗ら
  れていて、どの立体もその他の面は全て白く塗られています。このとき、次の問い
  に答えなさい。ただし、円周率は、3.14とします。

(1) 立体1、2、3の1個ずつについて、白く塗られている部分の面積と、赤、青、黄
   色に塗られている部分の面積をそれぞれ求めなさい。

(2) 全ての立体の赤く塗られている部分の面積の合計と、青く塗られている部分の
   面積の合計と、黄色く塗られている部分の面積の合計がどれも同じとき、全ての
   立体の白く塗られている部分の面積の合計は最も少なくて何cm2ですか。

(3) 全ての立体の白く塗られている部分の面積の合計が5652cm2であるとき、立
   体1、2、3はそれぞれ何個ずつありますか。考えられる個数の組を全て答えなさ
   い。ただし、立体1、2、3はどれも異なる個数あるとします。


(解)(1) 白 立体1・・・25×25×3.14×(2×3.14×6)÷(2×3.14×25)
               =25×3.14×6=471(cm2
         立体2・・・2×3.14×3×20=376.8(cm2
         立体3・・・2×3.14×4×15+2×3.14×2×15
               =2×3.14×6×15=565.2(cm2
       赤 立体1・・・6×6×3.14=113.04(cm2
       青 立体2・・・3×3×3.14×2=56.52(cm2
       黄 立体3・・・2×(4×4×3.14−2×2×3.14)
               =2×12×3.14=75.36(cm2

(2) (1)より、立体1、立体2、立体3の個数の比は、 2 : 4 : 3 なので、求める面積は、

  少なくとも 471×2+376.8×4+565.2×3=4144.8(cm2

(3) 題意より、 471×x+376.8×y+565.2×z=5652

  5652は471で割り切れるが、立体2、立体3は0個(同数)となり、不適。よって、立体2、
 立体3は、1個以上ある。このとき、 x≦10、y≦13、z≦9 の範囲で求めればよい。   

 右辺の小数部分がないので、起こり得る組合せは、

 (y,z)=(6,1)、(7,2)、(8,3)、(9,4)、(11,1)、(13,3)、(1,6)、(2,7)、
      (3,8)、(4,9)

 (y,z)=(6,1)のとき、 471×x+376.8×6+565.2×1=5652 より、
            471×x=2826  このとき、 x=6 となり、不適

 (y,z)=(7,2)のとき、 471×x+376.8×7+565.2×2=5652
            471×x=1884  このとき、 x=4

 (y,z)=(8,3)のとき、 471×x+376.8×8+565.2×3=5652
            471×x=942  このとき、 x=2

 (y,z)=(9,4)のとき、 471×x+376.8×9+565.2×4=5652
            471×x=0  このとき、 x=0 となり、不適

 (y,z)=(11,1)のとき、 471×x+376.8×11+565.2×1=5652
            471×x=942  このとき、 x=2

 (y,z)=(13,3)のとき、 471×x+376.8×13+565.2×3=5652
            471×x=−942  このとき、x は負数となり、不適

 (y,z)=(1,6)のとき、 471×x+376.8×1+565.2×6=5652
            471×x=1884  このとき、 x=4

 (y,z)=(2,7)のとき、 471×x+376.8×2+565.2×7=5652
            471×x=942  このとき、 x=2 となり、不適

 (y,z)=(3,8)のとき、 471×x+376.8×3+565.2×8=5652
            471×x=0  このとき、 x=0 となり、不適

 (y,z)=(4,9)のとき、 471×x+376.8×4+565.2×9=5652
            471×x=−942  このとき、x は負数となり、不適

 以上から、考えられる個数の組は、

  (x,y,z)=(4,7,2)、(2,8,3)、(2,11,1)、(4,1,6)


(コメント) 文章は長いが、比較的平易な問題と言えるでしょう。(3)は考えられる個数の組
      をすべて答える問題で、これは少し身構えてしまいますね!

  途中で計算しながら気づいたのですが、471×x+376.8×y+565.2×z=5652
 から、両辺を簡約して、 5x+4y+6z=60 と出来るんですね。



  以下、工事中!