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問題 1 次の計算をせよ。

(1) {1/x(x+1)}+{1/(x+1)(x+2)}+{1/(x+2)(x+3)}+{1/(x+3)(x+4)}

(2) y+1/z=z+1/x=1 のとき、 xyz+1 の値を求めよ。
                                            (解答はこちら
問題 2

(1) {1+4/(x+2)}/[x2−10−(x3+8)/{x+4/(x+4)}] を計算せよ。

(2) a+b+c=0 のとき、次の式の値を求めよ。
    {(b−c)/a+(c−a)/b+(a−b)/c}{a/(b−c)+b/(c−a)+c/(a−b)

                                             (解答はこちら
問題 3 次の式を簡単にせよ。

(1)
    

(2)    (ただし、 x2≧1)
                                             (解答はこちら

問題 4 次の式の値を求めよ。

(1) x−1/x=1 (x>0) のとき、 x2+1/x2 、 x+1/x

(2) x=(+1)/2 のとき、 x5−x3+x                   (解答はこちら

問題 5

(1) 整式 F(x) を x+2 で割ると 6 余り、x−6 で割れば、 −10 余るという。
  F(x) を x2−4x−12 で割ったときの余りを求めよ。

(2) x の3次式 F(x) を x2−1 で割ると 6x+2 余り、x2+1 で割ると 2x+8 余るという。
  F(x) を求めよ。
                                             (解答はこちら

問題 6

(1) 2次方程式 x2−2x+5=0 の2つの解を、α、β とするとき、次の値を求めよ。
   (イ) α3+β3        (ロ) α2−β2

(2) 2次方程式 x2−2x+a=0 の2つの解を、α、β とするとき、α、β の間に
   α2+β2=1 の関係があるとき、定数 a の値を求めよ。
                                            (解答はこちら

問題 7

(1) 次の方程式を解け。
  (イ) x4−4x3−6x2+11x−2=0
  (ロ) 2x4−5x3+x2−5x+2=0

(2) 4x4−15x2−19x−15=0 の1つの解が、
   (−1+i)/2 であるとき、他の解を求めよ。
                                             (解答はこちら

問題 8

(1) 2次方程式 2x2−10x+3=0 の2解の逆数を2解とする整数係数の方程式を一
   つ作れ。

(2) ある x の2次方程式の1次の係数を書き誤ったため、2解 1±i を得た。この方程
   式の正しい解の一つが2であるとき、他の正しい解を求めよ。
                                            (解答はこちら

問題 9

(1) 方程式 x3−3x+1=0 の3つの解を、α、β、γ とするとき、α2+β2+γ2
   値を求めよ。

(2) x についての n 次の整式 4x−nx2−4n2+n3 を、x2−1 で割ったときの余りを
   求めよ。また、割り切れるときの n の値を求めよ。
                                            (解答はこちら

問題 10

(1) 連立方程式 2x−y=1 、4xy+3y2=−x2 を解け。

(2) 連立方程式 x2=6x+2y 、y2=2x+6y を解け。
                                             (解答はこちら

問題 11

(1) 無理方程式 x2−2x+6√(x2−2x+8)=21 を解け。

(2) 分数方程式 1/(x−1)+1/(x+1)=a を解け。
                                             (解答はこちら

問題 12

(1) 連立方程式 x2+2xy−3y2=5 、2x2−xy+y2=7 を解け。

(2) 連立方程式 xy+yz=27 、zx+xy=32 、yz+zx=35 を解け。

                                             (解答はこちら

問題 13

(1) x2+y2+z2+3=2(x+y+z) が成り立つとき、実数 x、y、z はすべて1に等しいこ
   とを証明せよ。

(2) x+y+z=1/x+1/y+1/z=1 であるとき、(x+y)(y+z)(z+x)の値を求めよ。

                                              (解答はこちら

問題 14

(1) 次の2つの不等式を同時に満たす x の値の範囲を求めよ。
     2x2−5x−3<0 、 x2−4x+2≧0

(2) 不等式 x2+ax+1>0 を解け。ただし、a は実数の定数とする。
                                             (解答はこちら

問題 15

(1) 不等式 |x2−4|>2x+5 を解け。

(2) 不等式 1+5/(x−4)>4/(x−3) を解け。
                                             (解答はこちら

問題 16

(1) a>0 、b>0 、c>0 、bc+ca+ab=1 のとき、 a+b+c≧ であることを
  証明せよ。

(2) a、b、c が三角形の3辺であるとき、次の不等式を証明せよ。
       a4+b4+c4<2(a22+b22+c22
                                             (解答はこちら

問題 17

(1) sinθ=3/5 のとき、 cosθ、tanθ の値を求めよ。

(2) θは第3象限の角で、4sinθcosθ= のとき、次の式の値を求めよ。

  (イ) sinθ+cosθ

  (ロ) (cos2θ)/(1−tanθ)+(sin2θ)/(1−1/tanθ)
                                             (解答はこちら

問題 18

(1) 次の方程式を解け。ただし、0°≦θ≦360°

  (イ) sinθ=−1/2    (ロ) 2sin(2θ−45°)=

(2) 次の不等式を解け。

  (イ) sinθ>−1/2    (ロ) (cosθ−1/2)(cosθ+1/2)>0
                                              (解答はこちら

問題 19

(1) 2次関数 y=(−1/2)x2+2x−2 のグラフの軸の方程式と頂点の座標を求めよ。

(2) 放物線 y=−3x2+4x+7 を平行移動したもので2点(1,1)、(2,−8)を通る
   2次関数を求めよ。
                                             (解答はこちら

問題 20

(1) 2次関数 y=ax2+bx+1/a は、x=3のとき最大値8をとるという。定数 a、b の値
  を求めよ。

(2) 2次関数 y=ax2+bx は、x=1のとき最小値 −1/a をとるという。定数 a、b の値
  を求めよ。
                                               (解答はこちら

問題 21

(1) cos2θ+sinθ+1 の最大値と最小値を求めよ。

(2) −π/2≦θ≦π/2 のとき、2−sin(θ−π/3) の最大値と最小値およびそのと
   きのθの値を求めよ。
                                               (解答はこちら

問題 22

(1) x>0 、y>0 のとき、 x+y=4 ならば、xy の最大値を求めよ。

(2) x>0 、y>0 、xy=2 のとき、 2x+5y の最小値を求めよ。
                                               (解答はこちら

問題 23

(1) 半径18cm、中心角40°の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

(2) x についての次の方程式の解を判別せよ。
      x2−(sinθ+1)x+2sinθ=1
                                               (解答はこちら

問題 24

(1) −1≦x≦2 のとき、y=|x2−4|の最大値・最小値およびそのときの x の値を求
   めよ。

(2) 2つの変数 x 、y の関数 x2−2xy+3y2+2x−10y+12 の最大値または最小値
   を求めよ。
                                               (解答はこちら

問題 25

(1) 半径 r の3つの円が2つずつ互いに接するとき、これら3つの円の間に囲まれた部分
   の面積を求めよ。

(2) 次の連立方程式を解け。ただし、0≦x≦π/2 、0≦y≦π/2
      2cos(x+y)=1 、 sin(x−y)=0
                                               (解答はこちら

問題 26

(1) 分数関数 y=(x2−3x+2)/(x+1) の漸近線の方程式を求めよ。

(2) 分数関数 y=(x2+x+1)/(x2−x+1) の最大値、最小値を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 27

(1) 無理関数 y=3−√(x+3)のグラフが x 軸と交わる点の座標を求めよ。

(2) 1≦x≦3 のとき、 y=x−1/x の最大値、最小値を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 28

(1) 平面上の2点A(1,1)、B(3,5)とする線分ABを 2:3 に外分する点の座標を求め
   よ。

(2) 四辺形ABCDの4辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、
   AC2+BD2=2(PR2+QS2) であることを証明せよ。

                                               (解答はこちら

問題 29

(1) 次の各直線の方程式をつくれ。

  (イ) 点(−5,2)を通り、直線 2x+3y=7 に垂直

  (ロ) 2点A(2,3)、B(4,−1)を結ぶ線分ABの垂直2等分線

(2) y 軸上に点(0,1)がある。x 軸上に点P(a,0)をとり、Pを通ってAPに垂直な直線を
  g とする。

  (イ) g が点(3,2)を通るように、a を求めよ。

  (ロ) g が点(3,3)を通るように、a が定められるか。

                                               (解答はこちら

問題 30

(1) x の2次方程式 x2−a(a+2)x+a3−1=0 が与えられている。ただし、a は定数
   とする。この方程式がただ1つの正の解を持つための a の範囲を求めよ。

(2) x の2次方程式 ax2−(a+1)x−4=0 の一つの解が−1と0の間に、他の解が
   2と3の間にあるためには整数 a はどんな値をとればよいか。

                                               (解答はこちら

問題 31

(1) x 軸上の点Pから直線 3x+4y+2=0 に至る距離が2になるように点Pの位置を
   定めよ。

(2) a 、b が 1/a+1/b=k (k は0でない定数)の関係を満たしながら変わるとき、直
   線 x/a+y/b=1 はある定点を通る。その定点の座標を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 32

(1) k がどのように変わっても直線 (k+2)x−(3k+1)y+1−2k=0 はある定点を
  通る。この定点の座標を求めよ。

(2) 点(2,1)を通る直線を引き、この直線と直線 y=x および x 軸とでできる三角形
   の面積を2にしたい。この直線の方程式を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 33

(1) 次の式を簡単にせよ。ただし、 a>0、b>0 とする。

     

(2)     のとき、  の値を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 34

(1) 次の式を簡単にせよ。

     log354+log34.5+log3{1/(27)}−log327

(2) 2=5=10 (x≠0) のとき、 1/x+1/y=1/z であることを証明せよ。

                                               (解答はこちら

問題 35

(1) 点Pが直線 2y−x+1=0 の上を動くとき、点(1,3)と点Pを結ぶ線分の中点Qの
   軌跡を求めよ。

(2) ABを直径とする半円周上の点をPとする。APの延長上に点Qをとり、PQ=PBとす
   るとき、Qの軌跡を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 36

(1) 次の式の値を求めよ。

      

(2) log x +log y =log y +log x のとき、 a=b または x=y であることを証
   明せよ。

                                               (解答はこちら

問題 37

(1) (イ) 円 x2+y2−6y=0 の周上の点(,1)における接線を求めよ。

  (ロ) x2+y2=9 と x2+y2−2x−10y−45=0 の共通弦の方程式を求めよ。

(2) (イ) 2点A(−3,1)、B(4,8) を通り、直線 x=a 上に中心を持つ円の方程式
      を求めよ。

  (ロ) (イ)の円が x 軸から長さ6の線分を切り取るという。その方程式を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 38

(1) 関数 y=(log10 x)(4−log10 x) の最大値または最小値を求めよ。

(2) log10 (x+6)=log10 2y 、 2log10 x ≦log10 y +log10 2 を満足する整数 x 、y
   の値を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 39

(1) 47100 は168桁の数である。4725 は何桁の数か。

(2) x が、整数部分が1桁で、log10 x2 とlog10 (1/x) の仮数が等しいとき、x を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 40

(1) y=x2−2ax+4a2 の頂点は a が変化するとき、どんな曲線を描くか。

(2) x 、y についての1次方程式 y=2xsinθ+cos2θ が表す直線は θ の応じて動く。
  θ のどのような値に対しても、この直線が通り得ない範囲を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 41

(1) 直線 y=x+1 から直線 y=mx+4 に測った角が60°であった。mの値を
   求めよ。

(2) a>0 、0≦x≦π で、F(x)=2sin2x+a(sinx+cosx)−1 のとき、
   (イ) sinx+cosx=t とおくとき、F(x)を t の式で表せ。
   (ロ) t のとる値の範囲を求めよ。
   (ハ) F(x)の最大値と最小値を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 42

(1) 次の数列の第 n 項 a と第 n 項までの和 S を求めよ。
  (イ) 1,3,5,7,9,11,・・・
  (ロ) 6,12,24,48,96,・・・

(2) a 、b が整数で、a>b のとき、a と b との間にあって3を分母とする既約分数の和を
  求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 43

(1) 0≦ x ≦2π のとき、 cos x −sin x の最大値と最小値を求めよ。また、その
  ときの x の値も求めよ。

(2) A+B+C=π/2 のとき、 sin2A+sin2B+sin2C+2sinAsinBsinC の値を求
  めよ。
                                               (解答はこちら

問題 44

(1) 次の和を求めよ。 12+42+72+102+・・・・・(第n項までの和)

(2) 次の和を求めよ。 1+2x+3x2+・・・・+nxn-1
                                               (解答はこちら

問題 45

(1) 次の方程式を解け。
  (イ) cosθ+cos2θ+cos3θ=0 (0≦θ<2π)
  (ロ) sin x +sin y =1 、 cos x +cos y = (0≦x、y<2π)

(2) 0<x<π、0<y<π、sin(x+y)<(sin 2x +sin 2y )/2 を満たす x ,y の値を座
  標とする点の存在範囲を図示せよ。
                                               (解答はこちら

問題 46

(1) 数列 1,2,4,7,11,・・・ について

  (イ) 第 n 項を求めよ。
  
  (ロ) 初項から第 n 項までの和を求めよ。

(2) a1=1、a=2an-1+1 なる数列の一般項 a を n の式で表せ。

                                               (解答はこちら

問題 47

(1) 次の極限値を求めよ。

      

(2) 数列
        

   において、

  (イ) 一般項を求めよ。
  (ロ) この数列は、実数 k のどんな値に対して収束するか。

                                               (解答はこちら

問題 48

(1) △ABCにおいて、 a/b=cosB/cosA が成り立つとき、△ABCはどのような三角
  形か。

(2) 
   左図において、OA=BC=1 のとき、線分ABの長
  さを求めよ。

                          (解答はこちら







問題 49

(1) 次の数列の和を求めよ。

      1/(5・6)+1/(6・7)+1/(7・8)+・・・+1/(49・50)

(2) 1 から n までの正の整数がある。このうちから、互いに異なる2つの数を選んで作っ
  た積の総和を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 50

(1) z1=1+i 、z2=1−i 、z3=3(i−1) のとき、 z1・z2/z3 の偏角と絶対値を
  求めよ。

(2) α 、β は複素数で、|α|=|β|=1、|α+β|= であるとき、

  (イ) α/β を極形式で表せ。

  (ロ) β2/(α+β)=Pα+Qβ を満足する実数 P、Q を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 51

(1) n → ∞ のとき、次の式の極限値を求めよ。
                              

(2) 
   

  について、次の問いに答えよ。

  (イ) 上の極限値を求めよ。

  (ロ) 0≦ x ≦5 の範囲で、y=f(x) のグラフを描け。

                                               (解答はこちら

問題 52

(1) 次の各式を満たす複素数はどんな図形を描くか。

  (イ) |z+i|=3

  (ロ) |z−1|=2|z+2|

(2) 四辺形ABCDの頂点A、B、C、Dがそれぞれ複素数 z1、z2、z3、z4 であるとき、

     z1+z3=z2+z4  かつ z4+i・az1=z1+i・az2 (a は正数)

  なら、これはどんな形の四辺形か。

                                               (解答はこちら

問題 53

(1) 次の無限級数に和があればそれを求めよ。

     

(2) a、b、c が1から9までの自然数で、この順で等差数列をなし、

     

  が成り立つ。a、b、c を求めよ。
                                               (解答はこちら

問題 54

(1) 複素数平面上に2点A(1+i)、B(−1+3i)があるとき、正三角形ABCの頂点Cを表
  す複素数を求めよ。

(2) 複素数平面上で異なる3点A、B、C を表す複素数がそれぞれ z1、z2、z3 で、

      3z12+4z22+z32−2z23−6z12=0

  が成り立つとき、△ABCの形状を調べよ。
                                               (解答はこちら

問題 55

(1) 次の極限値を求めよ。

  (イ)      (ロ)
(2) 関数 において、 であるとき、定数 a、b を求めよ。

                                               (解答はこちら

問題 56

(1) 六角形ABCDEFにおいて、2組の対辺ABとDE、BCとEFがそれぞれ長さが等しく、
  平行であれば、CDとFAも平行で長さが等しいことを証明せよ。

(2) 点Oを始点とする次の4つのベクトルの終点はすべて一直線上にあることを証明せよ。

      、  、 3−2 、 5−4
                                               (解答はこちら



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