微分積分を3時間でマスターする方法       戻る

 このページでは、厳密性を無視して、初等的な微分積分を一望しようと思う。極限の定義か
ら始まるのが普通だが、ここでは一切割愛した。微分積分に対する処し方と応用の仕方が分
かることを目標とした。多分3時間ほどで、微分積分のあらましが理解されるものと思う。

1.関数について

 このページで扱う関数は、aX2+bX+c のような多項式関数に限定する。関数は、
F(X) = aX2+bX+c のように、記号 F(X) を用いて表される。

2.関数の値の計算

 関数 F(X) に対して、X=a のときの関数の値を、F(a) と表す。

(例) F(X) =2 に対しては、F(0) =2 となる。
    F(X) =2X+3 に対しては、F(0) =2・0+3=3 となる。

3.導関数と原始関数

 関数 G(X) = X に対して、関数 F(X) = nXn−1 を、G(X) の導関数といい、G(X) に対し
て、F(X) を求めることを、「微分する」という。導関数 F(X) は G’(X) とも表される。

 逆に、G’(X) = F(X) となる関数 G(X) を、関数 F(X) の原始関数といい、F(X) に対して、
G(X) を求めることを、「積分する」という。原始関数 G(X) は 不定積分ともいわれ、

         
と表される。

(例)  (1)’=0 、 (X)’=1 、 (X2)’=2X 、 (X3)’=3X2

   

4.導関数と原始関数の線形性

 和(差)の微分は、微分の和(差)に等しく、実数倍の微分は、微分の実数倍に等しい。

 和(差)の積分は、積分の和(差)に等しく、実数倍の積分は、積分の実数倍に等しい。

この性質から、次のような微分積分の計算が可能となる。

(例) (2X+3)’=(2X)’+(3)’=2(X)’+3(1)’=2・1+3・0=2

   

5.微分係数の計算

 関数 F(X) に対して、その導関数 F’(X) の X=a のときの値 F’(a) を、微分係数という。

(例) 関数 F(X)=X3−2X に対して、微分係数 F’(−1)は、次の手順で求められる。
   関数 F(X) を微分して、導関数 F’(X) は、F’(X)=3X2−2
   この X に −1 を代入して、F’(−1)=3(−1)2−2 =3−2 =1

6.微分係数の幾何学的意味

 関数 F(X) に対して、微分係数 F’(a) は、

曲線 Y= F(X) の、
        X=a における接線の傾き


を表す。
(例) 放物線 Y=X2 のグラフと、3本の直線
   (1) Y=2X
   (2) Y=2X−1
   (3) Y=2X−2
  のそれぞれとの位置関係から、接する状態というものを理解しよう。

放物線と直線の位置関係     Y=X2 のグラフと直線 Y=2X は、
     X2=2X から、X=0、2 なので、
   異なる2点で交わる

    Y=X2 のグラフと直線 Y=2X−1 は、
     X2=2X−1 から、X=1 なので、
   1点で接する

    Y=X2 のグラフと直線 Y=2X−2 は、
     X2=2X−2 を満たす実数はないので、
   交わらない

 以上から、
放物線 Y=X2 のグラフと直線 Y=2X−1 は、
点(1,1)で接し、 Y=2X−1 が接線となる。

 ところで、F(X)=X2 とおくと、F’(1)=2 で
ある。これは、接線 Y=2X−1 の傾きに等しい。

 接線は、接点付近における曲線の状態を、直線として近似するという意味において、大切な
考え方である。微分を学習する前の段階では、放物線の接線は、判別式を活用して求めるの
が普通であるが、一度微分を学習すると、接線は、微分係数の幾何学的意味を利用して、簡
単に求められるようになる。

(例) 放物線 Y=X2−2X−1 上の点(3,2)における接線の方程式を求めよ。

   Y’=2X−2 なので、X=3 のとき、Y’=2・3−2=4
  よって、傾き 4 で、点(3,2)を通る直線の方程式は、Y=4(X−3)+2=4X−10

7.関数の増減

 接線は、接点付近における曲線の状態を、直線として近似しているので、接線の傾きを表す
微分係数 F’(a) の正負の符号から、 X=a における関数 F(X) の増減の状態を知ることが
できる。すなわち、

       F’(a)>0 ならば、X=a の近くで、関数 F(X) は増加の状態
       F’(a)<0 ならば、X=a の近くで、関数 F(X) は減少の状態


(例) F(X)=X2 において、F’(X)=2X
   X>0 では、いつも F’(X)=2X>0 なので、X>0 において、F(X)は増加関数
   X<0 では、いつも F’(X)=2X<0 なので、X<0 において、F(X)は減少関数

 導関数の符号を調べることにより、関数の増減の状態が分かるということは、画期的なこと
である。この場合、増減の変わり目の計算がポイントになる。

 上の(例)からも分かるように、X=0 で、減少から増加に状態が変化している。この増減
の変わり目 X=0 は、導関数 F’(X)=2X =0 とすることにより、求められる。(実際に、
増減が変化しているかどうかは、周りの値の変化を調べる必要がある。)

(例) 関数 F(X)=X3−3X の増減を調べよ。

   F’(X)=3X2−3=3(X+1)(X−1)=0 より、X=−1、1
   F’(X)>0 を解いて、X<−1、1<X     F’(X)<0 を解いて、−1<X<1
  よって、X<−1、1<X のとき、F’(X)>0 から、F(X)は増加関数
      −1<X<1 のとき、F’(X)<0 から、F(X)は減少関数

   以上の関数の増減の状態は、次のような増減表にまとめられる。

        増減表

 増減表において、X=−1 の前後で、増加から減少に変化している。このようなとき、
       X=−1 で、関数 F(X)は極大であるといい、極大値は、2 となる。
同様に、X=1 の前後で、減少から増加に変化している。このようなとき、
       X=1 で、関数 F(X)は極小であるといい、極小値は、−2 となる。

 極大値・極小値は、局所的な意味での最大値・最小値のことである。極大値・極小値は、
まとめて、極値といわれる。

8.関数のグラフ

 増減表を利用して、関数のグラフを描くことができる。

(例) 関数 F(X)=X3−3X2+2 のグラフをかけ。

   F’(X)=3X2−6X =3X(X−2)=0 より、
       X=0、2
  よって、次の増減表を得る。

        

  したがって、求めるグラフは右上図となる。
9.面積と定積分

直角三角形の面積    左図の三角形の面積は、(底辺)×(高さ)÷2=1×2÷2=1
  である。
   ところで、Y=2X の原始関数 G(X) は、G(X)=X2
  このとき、G(0)=0、G(1)=1 なので、G(1)−G(0)=1
   この2つの計算結果が等しいことに注意する。

   上記の計算が示唆するように、積分による面積の計算が可能と
  なる。(もう少し一般的な場合は、こちらを参照)

図形の面積   つまり、左図のような図形の面積は、

     

 により求められる。ただし、G(X) は、F(X) の原始関数と
 する。

  ここで、Sの式における積分計算を、定積分の計算と
 いう。

(例) 右図のような図形の面積を求めよ。

    

     

  (注) 右図の図形は台形なので、面積は、
     S=(3+7)×2÷2=10 である。


(例) 下図のような図形の面積を求めよ。

放物線の面積
  求める面積Sは、

      

  である。




10.定積分の計算

 関数 F(X)において、F(X)≧0 のとき、定積分の計算は、面積の計算という意味を持った
が、定積分の計算は、一般の関数に対しても、行うことができる。ただし、その計算結果は、
面積という意味を持たないことに注意する。

(例)
    

11.面積の計算

 ここでは、いくつかの面積の公式を紹介する。

(1)
放物線と長方形    左図のような、放物線とX軸が囲む図形の面積は、

          

   また、この面積は、左図の長方形の面積の
          3分の2倍
   に等しい。

  この面積の公式を用いると、下図のような図形の面積は、暗算で求められる。

公式利用による面積の計算


   求める面積は、

     S=(3−1)×3×(2/3) =4







(2)
下に凸の放物線の面積  左図のような場合、求める面積は、

     

 また、この計算は、次のように解釈される。

                

2つの図形で囲まれた図形の面積
    一般に、左図のような図形に対して、
   求める面積は、

      

   で与えられる。











  (例) 放物線 Y=X2 と直線 Y=2X+3 が囲む図形
     の面積を求めよ。

        X2 =2X+3 より、(X−3)(X+1)=0  
          よって、X=3、−1
       したがって、求める面積は、

   

12.卒業試験問題

  曲線 Y=X3 について、次の問に答えよ。
(1) 曲線上の点(1,1)における接線の方程式を求めよ。
(2) 曲線と(1)の接線との交点のX座標を求めよ。
(3) 曲線と接線で囲まれた図形の面積を求めよ。


(答) (1) Y=3X−2 (2) X=−2、1 (3) 27/4

 みなさん、無事に卒業できたでしょうか?

 (お願い) このページのタイトル通り、微分積分が3時間でマスターできたかどうかについ
       て、アンケートを取りたいと思います。所要時間を、こちらまでメールでお願いし
       ます。アンケートの結果によっては、もしかしたらタイトルが変更になるかもしれ
       ません.....f(^_^) 。