かぎゅうせん                                       「いろいろな曲線」のページに戻る 
蝸牛線

       

    極方程式は、 

 この曲線は、パスカルの蝸牛線(別名リマソン(1650年))といわれる。

 a>b、a=b、a<b の各場合でグラフの形状が異なる。

特に、a=bのときは、心臓形(Cardioid)といわれる。

   a>b のとき                a<b のとき
a<b のとき

   a=bのとき

a=b のとき(心臓形)    作図の原理
      
 直径OA(=a) の円周上を動く点Qがある。
Oを始点とし、直線OQ上に、PQ=P’Q=b
となる点P、P’をとる。
 このときの点P、P’の描く軌跡が蝸牛線と
いわれる曲線である。
 この曲線は螺獅線の一種である。螺獅線
における定直線が、定円となった場合が、こ
の蝸牛線である。

 蝸牛線のうち、特に、曲線 r=2cosθ+1 は、角を3等分する作図に用いられる。
それでは、角を3等分する方法を考えてみよう。
蝸牛線を用いた角の3等分  左図において、△OBCに余弦
 定理を用いて、
       BC=2cosθ
 であることが分かる。

  さらに、
 BH=OH−1
   =OCcos2θ−1
   =(2cos2θ+1)cos2θ−1
   =cos4θ+cos2θ
   =2cos3θcosθ

 従って、

 cosα=2cos3θcosθ÷2cosθ
    =cos3θ
 より、
    α=3θ

 よって、∠OCB=θ となり、
∠OCB が ∠ABC の3等分を
与えている。



 以上、計算により示したが、あまり美しい解答とはいえない。幾何的に示すには、次のよう
にすればよい。
幾何的な証明

  左図において、
 △BCD、△BDOは二等辺三角形
 である。
  よって、∠BCD=θ とおけば、
  ∠BOD=2θ となるので、
  ∠ABC=3θ となる。