かぎゅうせん
蝸牛線

　　　　　　　

　　　　極方程式は、　

　この曲線は、パスカルの蝸牛線(別名リマソン（1650年))といわれる。

　ａ＞ｂ、ａ＝ｂ、ａ＜ｂ の各場合でグラフの形状が異なる。

特に、ａ＝ｂのときは、心臓形（Cardioid)といわれる。

　　　ａ＞ｂ のとき　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＜ｂ のとき


　　　ａ＝ｂのとき

	作図の原理
	直径ＯＡ(＝ａ) の円周上を動く点Ｑがある。 Ｏを始点とし、直線ＯＱ上に、ＰＱ＝Ｐ’Ｑ＝ｂ となる点Ｐ、Ｐ’をとる。 　このときの点Ｐ、Ｐ’の描く軌跡が蝸牛線と いわれる曲線である。 　この曲線は螺獅線の一種である。螺獅線 における定直線が、定円となった場合が、こ の蝸牛線である。

　蝸牛線のうち、特に、曲線　ｒ＝２ｃｏｓθ＋１　は、角を３等分する作図に用いられる。
それでは、角を３等分する方法を考えてみよう。
　　左図において、△ＯＢＣに余弦
　定理を用いて、
　　　　　　　ＢＣ＝２ｃｏｓθ
　であることが分かる。

　　さらに、
　BH＝ＯＨ−１
　　　＝ＯＣｃｏｓ２θ−１
　　　＝(２ｃｏｓ２θ＋１)ｃｏｓ２θ−１
　　　＝ｃｏｓ４θ＋ｃｏｓ２θ
　　　＝２ｃｏｓ３θｃｏｓθ

　従って、

　ｃｏｓα＝２ｃｏｓ３θｃｏｓθ÷２ｃｏｓθ
　　　　＝ｃｏｓ３θ
　より、
　　　　α＝３θ

　よって、∠ＯＣＢ＝θ となり、
∠ＯＣＢ が ∠ＡＢＣ の３等分を
与えている。



　以上、計算により示したが、あまり美しい解答とはいえない。幾何的に示すには、次のよう
にすればよい。


　　左図において、
　△BCD、△BDOは二等辺三角形
　である。
　　よって、∠BCD＝θ とおけば、
　　∠BOD＝２θ となるので、
　　∠ABC＝３θ となる。