楕円                                      「いろいろな曲線」のページに戻る

       

    媒介変数表示は、  

この曲線は、円をX軸方向、または、Y軸方向に一定倍率で、拡大・縮小することにより得られる。

       の場合と  の場合がある。

  

 楕円は、2つの定点F、F’からの距離の和が一定な点Pの軌跡である。
このときの2つの定点を、焦点という。

       のとき、焦点の座標は、

       のとき、焦点の座標は、



 上記の楕円の定義を用いて実際に作図する場合、よく教科書等では、一定の長さの紐の
両端を画鋲でとめ、紐が緩まないように鉛筆を走らせる絵が描かれている。

 しかし、この作画方法は一般の人を説得するには十分であるが、だいぶ誤差が伴う方法
で厳密性に乏しい。

 そこで、次のように作画する方法があることを最近知ったので、紹介したい。

楕円の作図  2つの定点F、F’からの距離の和を 2a
とする。

 線分FF’の中点Oを中心とし、半径 a の
円を描く。

 点Fを通る任意の直線と円との交点をH
とし直線上に、FH=HQとなる点Qをとる。

 点Hを通り直線FQと垂直な直線と直線
F’Qとの交点をPとする。

  このとき、点Pは楕円上の点である。

 実際に、

   PF+PF’=PQ+PF’
          =QF’
          =2OH  ( 中点連結定理)
          =2a

 したがって、点Pは楕円上の点である。

 さらに詳しくいえば、直線PHは、楕円の接線になっている。(→参考:楕円に接する円

 楕円は、円を一定方向に拡大縮小したものであるが、多少形は変わるものの円と同様
の性質が成り立つ。(→参考:「方べきの定理」)

 円 O において、円外の1点 P から円に引いた2つの接線のなす角は、直線 OP により
2等分される。

証明は明らかだろう。

 直角三角形OPAと直角三角形OPBが合同なので、

       ∠OPA=∠OPB

   このことと同様のことは、楕円では期待できない
  だろうと思いきや、次のように文言を修正すれば
  やはり成り立つというのは驚きである。




   左図のように、楕円外の1点 P

  から、2点 F、F’ を焦点とする楕

  円に引いた接線の接点を A、B

  とするとき、

     ∠F’PA=∠FPB

  が成り立つ。



 F=F’ の場合が円なので、上記の事実は、円の場合の一般化になっている。

(証明)
   左図のように、焦点 F、F’ から接
  線に垂線を下ろし、その足を、C、C’、
  D、D’ とする。

   このとき、

  FC×F’C’=FD×F’D’(=一定)

  である。




 実際に、上図において、楕円
                    

                   (ただし、  とする)

の離心率を
          

として、焦点 F、F’の座標は、F(ae,0)、F’(−ae,0) と書ける。

 点 P の座標を、(x1,y1)とおくと、楕円の準線は、 x=a/e 、x=−a/e なので、

   −a/e<x1<a/e  すなわち、 a−ex1>0 、 a+ex1>0  が成り立つ。

 このことから、点と直線の距離の公式を用いて、

       FC=k(a−ex1) 、 F’C’=k(a+ex1)  

   ただし、
         

と書ける。 よって、

FC×F’C’=k2(a−ex1)(a+ex1)=a24(a2−e212)/(b412+a412

 ここで、 b212+a212=a22 が成り立つので、

   FC×F’C’=b4(a4−(a2−b2)x12)/{b2(a4−(a2−b2)x12)}=b2

同様にして、 FD×F’D’=b2 が成り立つので、

      FC×F’C’=FD×F’D’

である。

(コメント:解析的には上記のように示されるが、もっと幾何学的に示すことは出来ないのだ
     ろうか?もし、幾何学的な証明を見いだされた方は、こちらまでご教示下さい。)

      上記では、離心率や点と直線の距離など解析幾何の知識を用いたが、もう少し
     易しく解こうと思えば次のようになるであろうか?

      楕円上の1点 P を接点とする接線に垂線を下ろしたとき、その足は楕円の補助
     円 x2+y2=a2 上の点であるという事実がある。(→参考:楕円の作図

      楕円
          

     において、傾き m の接線の方程式は、  で与えられる。

      実際に、楕円 b22+a22=a22 に、y=mx+k を代入して整理すると、

         (a22+b2)x2+2kma2x+a2(k2−b2)=0

       この2次方程式が重解をもつので、

         判別式 D/4=k224−(a22+b2)a2(k2−b2)=0

       これより、 k2=a22+b2 なので、求める公式が得られる。

     いま、この接線に垂直で焦点を通る直線は、
                                 

     2つの直線の交点の座標を、(X,Y)とおくと、

        (Y−mX)2+(mY+X)2=a22+b2+a2−b2=(m2+1)a2

        (m2+1)(X2+Y2)=(m2+1)a2  から、 X2+Y2=a2

      以上から、 2つの直線の交点は、円 X2+Y2=a2 上の点である。

     
  左図において、△OCC’は2

 等辺三角形なので、

    ∠OCF=∠OC’F’

 である。

  よって、△OCFと△OC’F’

 に余弦定理を適用して、

              

         よって、 OF2=a2−b2=OF’2 なので、

              (FC2+b2)F’C’=(F’C’2+b2)FC

              (FC×F’C’−b2)(FC−F’C’)=0

             FC−F’C’=0 すなわち、 FC=F’C’ のとき、

                FC=F’C’=b なので、 FC×F’C’=b2 が成り立つ。

             FC−F’C’≠0 のとき、 FC×F’C’=b2 が成り立つ。

          以上から、何れにしても、 FC×F’C’=b2 が成り立つ。

         (コメント:計算量はそれほど変わらないかな?)


 さて、証明の本題に戻ろう。

   左図において、

    FP=L、F’P=L’、∠F’PA=α、

    ∠FPF’=β、∠FPB=γ

  とおく。

   FC×F’C’=FD×F’D’  なので、




                       Lsin(α+β)×L’sinα=Lsinγ×L’sin(β+γ)

  すなわち、  −2sin(α+β)×sinα=−2sinγ×sin(β+γ)

三角関数における積和の公式により、

   cos(2α+β)−cosβ=cos(β+2γ)−cosβ

よって、 cos(2α+β)=cos(β+2γ) より、 cos(2α+β)−cos(β+2γ)=0

三角関数における和積の公式により、  −2sin(α+β+γ)sin(α−γ)=0

明らかに、 0<α+β+γ<π 、−π<α−γ<π なので、 α−γ=0 である。

したがって、 α=γ より、 ∠F’PA=∠FPB が成り立つ。 (証終)

(コメント) この性質は、名古屋工大の入試問題で問われた。


 上記では、「∠F’PA=∠FPB」であることを解析的に示したわけであるが、初等幾何学的
証明を当HP読者のM.S.さんよりメールで頂いた。(平成25年2月23日付け)

(証明) Fの接線PBに関して対称な点をF0、F’の接線PAに関して対称な点をF0’とおく。

     

 このとき、次のことが成り立つ。

(1) 3点F、A、F0’および3点F’、B、F0は同一線上にあり、F’F0=FF0’=(長軸の長さ)

  実際に、点Aは楕円上の接点なので、∠PAF=∠HAF’

   また、△AHF’≡△AHF0’なので、∠HAF’=∠HAF0

   よって、 ∠PAF=∠HAF0’から、3点F、A、F0’は同一線上にある。

   このとき、 FF0’=FA+AF0’=FA+AF’=(長軸の長さ)

  同様に、3点F’、B、F0は同一線上にあり、F’F0=(長軸の長さ)であることも示される。

(2) 対称な点なので、PF=PF0 、PF’=PF0

 (1)(2)より、 △PF0F’≡△PFF0’(3辺相等) なので、 ∠F0PF’=∠FPF0

 従って、 ∠F’PF0’=∠FPF0’−∠FPF’=∠F0PF’−∠FPF’=∠FPF0 より、

   ∠F’PA=(1/2)∠F’PF0’=(1/2)∠FPF0=∠FPB  (証終)


(コメント) 鮮やかな初等幾何的証明ですね!とても分かりやすいです。M.S.さんに感謝
      します。因みに、平成25年2月19日に証明されたそうです。


 楕円の持つ次の性質も面白い。

   楕円
       

  上の点 P と焦点 F を結ぶ線分 PF の

  中点 M を中心とし、MPを半径とする

  円は、楕円の補助円 x2+y2=a2 に

  内接する。








(証明) 楕円の離心率を、 e とすると、、焦点 F の座標は、F(ae,0) と書ける。

 点 P の座標を、(x1,y1)とおくと、 M((x1+ae)/2,y1/2) である。

 このとき、 OM2={(x1+ae)2+y12}/4 で、

         (ae)2=a2−b2  、  y12=(a22−b212)/a2

 より、 OM2=(x12+2x1ae+(ae)2+y12)/4

         =(x12+2x1ae+a2−b2+(a22−b212)/a2)/4

         =(x12+2x1ae+a2−b212/a2)/4

         =((ex12+2x1ae+a2)/4

         =(ex1+a)2/4

   ex1+a>0  なので、 OM=(ex1+a)/2 より、 MN=(a−ex1)/2

 また、 PF2=(x1−ae)2+y12

        =x12−2x1ae+(ae)2+(a22−b212)/a2

        =x12−2x1ae+a2−b2+b2−b212/a2

        =(ex12−2x1ae+a2

        =(ex1−a)2

     a−ex1>0 なので、 PF=a−ex1=2MN

 よって、M を中心としMPを半径とする円は楕円の補助円 x2+y2=a2 に内接する。

                                                 (証終)


       以下、工事中!