はいせん                                         「いろいろな曲線」のページに戻る
擺線
    媒介変数表示は、   

 この曲線は、サイクロイドと普通いわれる。

定直線に沿って円が滑らずに回転するときの、円周上の定点の軌跡である。



性質 1.円が1回転してできる弧の長さは、円の直径の4倍

        
                         

    2.円が1回転してできる弧とX軸で囲まれた部分の面積は、円の面積の3倍

   


(追記) 上記では定積分を用いて面積を求めたが、カヴァリエリの原理を用いると簡単に求
     められる。筑波大学附属駒場高校の更科先生、鈴木先生からご教授いただいた方
     法である。両先生に感謝したい。(平成29年2月27日付け)

    

 上図の左側の部分(黄色)を x 軸に平行な線分AA’で切ったとき、 AA’=(π−θ)a

同様に、x 軸に平行な線分BB’で切ったとき、 BB’=(π−(π−θ))a=θa

 よって、左側の部分(黄色)の面積は、カヴァリエリの原理より、

  AA’×a+BB’×a=(AA’+BB’)×a=πa×a=πa2

 以上から、サイクロイドと x 軸で囲まれた部分の面積は、

  πa2+πa2+πa2=3πa2

となる。


性質  3.サイクロイドの縮閉線もまたサイクロイドである

(追記) サイクロイドは、1501年シャルル・ブヴェルが円積問題に関連して述べたのが最初
     である。その後、ガリレオらが研究し、橋のアーチとしてその使用法が示唆された。

     サイクロイドのアーチは、建築学上他のどんな曲線よりも優れているという。ホイヘ
     ンス(1629〜1695)は、サイクロイドを上下逆にした曲線が等時降下線になることを
     示し、振子時計の製作に用いた。

        等時降下線・・・曲線上の質点が重力のみによって曲線上を降下するとき、曲線上どこにあって
                  も同じ時間で最下点に到達するという曲線


   サイクロイドは、その特殊な美しさ・優雅な性質から『幾何学のヘレン』とも呼ばれる
  そうだ。

   ヘレン・・・トロイのヘレンは、戦争が起こってしまうほどの歴史上に残る美女である。

(参考文献:E.T.ベル 著 田中 勇・銀林 浩 訳 数学をつくった人々(T) (東京図書))


(追々記) 平成19年4月1日付け

 3月31日何とはなしにTVを見ていたら、「世界一受けたい授業!!SP」(NTV系)で面白
い問題を紹介していた。

     

 直線、サイクロイド、楕円のそれぞれの曲線上に沿って、点Aから青球を転がり落とすと
き、どの場合が最も速く点Bに到達するだろうか?

 サイクロイドが最速降下線という事実を知っている方は何でもない問題であるが、知らな
い方はかなり迷うだろう。(直線の場合は最も距離が短いし、楕円の場合は点Aから急降
下していて速そうに見えるし、...。)

    サイクロイドの媒介変数表示    

から、サイクロイド上の任意の点における速度ベクトルは、 θ=ωt として、

    ( dx/dt , dy/dt ) =( aω(1−cosθ) , aωsinθ )

で与えられるから、接線と x 軸の正の向きとなす角を α とすると、

     tan α = dy/dx =sinθ/(1−cosθ)=cot(θ/2)=tan(π/2−θ/2)

 よって、 α=π/2−θ/2 が成り立つ。

 このとき、 y = a(1−cosθ) = 2asin2(θ/2) = 2acos2α となるので、

        

が成り立つ。 この式こそが、サイクロイドが内面で持つ性質を特徴づけている。

 上図において点Aを原点とし、水平方向左向きに x 軸を取り、鉛直下向きに y 軸を取る。

初速度が 0 で、質点に働く力が重力のみの場合、質点の速さ v は、質点の y 座標を y と

して、力学的エネルギー保存の法則から、 v2 = 2gy ( g は、重力加速度) により与え

られる。

 いま、質点を「光」と考え、光の速さが v2 = 2gy で与えられるような媒質の中を進むも

のとすると、光は、光学的に最短の経路を進み、屈折の法則から、

        

が成り立つ。

 ところで、  を上式に代入すると、

        

が成り立ち、光は、サイクロイドに沿って進むことになる。

 このことは、サイクロイドが最速降下線であることを示している。

(コメント) 上記は厳密とは言えないが、だいたいの雰囲気はあっているのかな?