円柱の切り口                        戻る

   左図のように、半径1の円柱と平面が交わっています。
  平面と円柱の底面とのなす角は、45度とします。

  このとき、その切り口は、どんな曲線になるでしょうか?
  
   まずは、アンケートにお答えください。
  左右どちらが正解でしょうか、直感でお願いします。


                                    
     

 多分、このホームページを訪問される方でしたら、「右が正解!」と答える人が多いことで
しょう。もちろん、それが正解です。このページでは、その理由を考えてみたいと思います。

 最近の高等学校の学習指導要領では、空間図形の処理が大幅に削減されました。ここ
では、その削減されたテクニックを使いますので、ちょっと不慣れな方は、こちらで特訓して
下さい。

 円柱の方程式は、X+Y=1 で表されますが、これを、媒介変数表示をすると、
X=cosθ、Y=sinθ (0≦θ≦2π) となります。

媒介変数  ここで、θ は左図のように、X軸の正の向きを
 始線として動径の表す角とします。角度の単位
 はラジアンです。

  このとき、上記の問題の解決の糸口は、
 左図のように、
          弧の長さは θ に等しい
 という事実です。



  即ち、上記の立体図形で、切り口を平面上に展開した場合、横軸がθ軸になります。
(円弧の長さを、 新たな物差しにするということです!)

円柱と平面の切り口の曲線 ところで、平面の方程式は、X+Z=1
としてよいので、
        Z=1−X=1−cosθ 
となります。

 従って、切り口を平面に展開したとき
の曲線の方程式は、

   Z=1−cosθ (0≦θ≦2π)

で、そのグラフは、左図のようになります。



(追記) ところで、上図の面積はいかほどになるでしょうか?この面積を求めるのに、微
     分積分の道具を持ち出すまでもなく、実は暗算で求めらます。

  左図のように等積変形すると、求め
 る面積は、
    底辺の長さ= π
     高 さ = 2
 の長方形の面積となります。

  よって、答は、2π です。

  このような考え方をすると、この面
 積の計算も十分中学生的と言えるの
 ではないでしょうか?



   また、円柱を横から見た図を考えれば、平面が円柱
  の側面を真っ二つに切り分けていることが了解されま
  す。

   側面積は、4π なので、

  求める面積は、その半分 2π と考えることもできます。