心臓形                                    「いろいろな曲線」のページに戻る


  ケルスマのカーディオイド(1689年)といわれる。

  媒介変数表示は、 a>0 として、

    x=2acost−acos2t 、 y=2asint−asin2t

  極方程式は、 r=2acosθ+2a
          

 媒介変数表示から極方程式を導くには、次のように計算すればよい。

   x−a=2a(1−cost)cost 、 y=2a(1−cost)sint より、

  (x−a)2+y2=4a2(1−cost)2

  ここで、t =π-θ とおき、 とすれば、 が得られる。

これは、パスカルの蝸牛線の特別な場合である。

 また、この心臓形は、外サイクロイドの特別な場合でもある。作図の方法など、詳しくは
外サイクロイドの項目を参照してください。

 いろいろな計量問題に、この曲線は登場する。

(1) 曲線の長さ  16a

(2) 曲線で囲まれた図形の面積  6πa2

(3) 曲線を始線θ=0の周りに回転して出来る立体の体積  64πa3/3

(4) 曲線を始線θ=0の周りに回転して出来る立体の表面積  128πa2/5


 証明は、読者の方に委ねよう。