円と球の求積(直感的方法)              戻る

 正方形や長方形などの面積の公式は、誰でもが納得しやすい。なぜなら、面積の概念そ
のものが、単位正方形が何個あるかによって決まるからで、そこは疑いようがないところで
あろう。

 平行四辺形や台形、ひし形の面積の公式も、その延長線上にあり、比較的容易である。

 しかしながら、円の面積はまだしも、球の体積、球の表面積の公式となると、その直感的
な把握は難しいようである。

 私の周囲の方々に伺っても、「そんなの、鵜呑みにして覚えて、計算したよ〜」という場合
が多い。私自身、最初にどうやって教えられたのか、もう忘れてしまっているのだが、以前
にNHK教育テレビで、円柱と円錐と球の模型を水槽に沈めて、その押しのけた水の量で
球の体積の公式を説明していたのを見たような気がする。

 このページでは、円や球という図形に的を絞って、その面積や体積・表面積の公式を、直
感的に求める方法について整理しておきたい。

 出発点は、まず円周率である。円周率は、直径に対する円周の比で定義される。数学の
場合、直径というものはあまり使用頻度の高い語彙ではなく、むしろ、半径と絡めた方が本
質的かもしれない。( → 参考「円の面積」

 したがって、円の半径を r 、円周率を π とすると、円周の長さは、

      (円周の長さ) = 2 π r

という公式により求められる。これは、円周率の定義そのものなので、疑う余地は全くない。

 小学校4年で、円や球の概念を学習するわけであるが、あくまでも「見た目」の形の理解
に重きが置かれる。この頃は、円の持っている美しい対称性と、自然に触れ合うことが大
切で、妙に心引かれるものを感じるときでもあろう。

 小学校5年で、扇形や中心角、円周率などの用語が登場し、円の面積の公式を語るため
の役者が勢ぞろいする。曖昧さを上手くカバーしながら、巧妙に、平行四辺形の面積もしく
は長方形の面積を用いて、円の面積が求められる。分かりやすさに重きを置くので、論理
の微妙な部分は反古にされる。小学校でのこのような対応は、むしろ教育的なのだろう。

       左図のような半径 r  
  の円を、右図のように  
  細かく扇形に等分割
  する。   
          

 等分割されたものを、上下に2分割し、下図のようにかみ合せる。

  ⇒ 

  そうすると、教室の遠くからは、あたかも長方形かのように見える図形ができる。

               

  「横がちょっとデコボコでは〜?」という質問があった場合は、すかさず「今は、分割数
が少なくて、そう見えるかもしれないが、この分割数をどんどん増やしていくと、だんだんと
滑らかになります。」と説明すれば、恐らく多くの小学生には納得してもらえることと思う。

 厳密に言えば、あやふやだが、円の面積というものを既知の図形に変換することにより、
具体的に体感できる方法としては、優れた指導法だと思う。(多分おおくの小学校では、こ
のようなやり方で教えられているはずである。)

 この長方形の縦の長さは、円の半径 r に等しく、横の長さは、半円周の長さ π r に等し
いので、

      (円の面積) = π r2

という公式が作られる。

 円の面積公式の、厳密な意味での証明は、三角関数の微分積分を待たなければならな
い。しかし、この証明に出会える日本の高校生は、現行のカリキュラムでは非常に少ない。
(恐らく、日本の高校3年生の1割位ではないだろうか?)

 学習指導要領で、球の体積や表面積の公式は高校1年で学ぶ「数学T」の「図形と計量」
に強制移動させられてしまったが、平成24年度から始まった新学習指導要領では、また、
中学校数学に差し戻しにされた。(旧学習指導要領では中学3年だが、もっと昔は、中学1年で教
えられていた!)
 

 円や球は、その全方位的な対称性から、長方形や直方体にはない図形の美しさが感じら
れる対象である。数学的なものの見方・考え方を養成するには格好の対象だと思う。その
反省から中学校数学に復活したのだろう。

 円の面積の場合は、円周の長さが既に定まっていたので、容易に直感的な求積法を導
くことができたが、球の場合は、少し事情が異なる。足がかりとなり得る球の表面積、体積
の何れもが定められていないからである。

 しかし、そのどちらかを与えれば、次の直感的な方法により、他方は定まる。

   半径 r の球において、中心から放射状に、左図のよう
  なコーンを考える。(図では、1個しかないが、これが球面
  上密集しているような図を想像して下さい... f(^_^) 

   このコーンの高さは、r に等しいとしてよい。

   このとき、球の表面積 S と体積 V には、次の等式

       V=(1/3)・S・r

  が成り立つ。

 一般的に、表面積を直感的方法で求めることは、難しい。
(球の表面積が、球に外接する円柱の側面積に等しいことが言えればよい。)

 それに対して、体積の方は、

カヴァリエリ(Cavalieri)の原理

  2つの立体を、平行な平面で切ったときの切り口の面積がいつも等しければ、2つの立
 体の体積は等しい。


という、直感的に受け入れやすい原理があるので、説明しやすい。

 カヴァリエリの原理を用いると、底面積と高さが同一である、円錐と角錘の体積は等しい
ことが分かる。また、角錐の体積が、角柱の体積の3分の1であることは、当HP:「角錐の
体積」
により、理解されることだろう。

 球の表面積 S と体積 V の関係式で、「3分の1」が乗ぜられるのは、この「3分の1」であ
る。

 カヴァリエリの原理を用いて、球の体積は、次のようにして求められる。
                              (当HP:「カヴァリエリの原理」より再掲)
 下図において、

    「半径 r の半球
  と、
    「半径 r、高さ r の円柱から半径 r、高さ r の円錐を取り除いた立体

  のそれぞれの体積は等しい。
            球の体積   

   実際に、それぞれの立体を、底面に平行な
  平面(点線)で切断したときの断面積は、2つ
  とも
         π (r−X)
 
 に等しい。

  従って、球の体積は、 2×(πr3−(1/3)πr3)=(4/3) π r3

以上から、

      (球の体積) = (4/3) π r3

という公式が作られる。

 解析的には、高校3年で学ぶ「数学III」の微分積分において、円の回転体の体積として、
球の体積の公式は求められる。(←以前は高校2年で学ぶ「数学II」の内容であった。)

 ところで、半径、高さがともに r の円錐、半球、円柱の体積の比が、1 : 2 : 3 になる
という事実は、とても美しい。

 さらに、半径、高さがともに r の円柱、円錐、球、の体積の比が、3 : 1 : 4 になるが、
何となく、円周率 3.14 と意味ありげで、興味深い。

 球の体積の公式から、表面積Sは、 (4/3) π r3 = (1/3)・S・r より、S = 4 π r2

以上から、

      (球の表面積) = 4 π r2

という公式が作られる。

 球の体積、表面積については、いろいろな覚え方があるが、次は、有名でしょう。

      球の体積 は、 身の上に心配あるので、参上

      球の表面積は、心配ある事情

上記以外の直感的方法がないかどうか、今後の研究課題としたい。


 当HP読者のHN「或る髷すと」さんからのコメントです。(平成25年8月18日付け)

 アルキメデスの文献(The method of Archimedes)のp.18〜p.21の命題2も、議論は複
雑な部分もありますが、積分を用いないため、カウ゛ァリエリの原理と同様に、直感的な方法
と言えるのではないかと考えます。

 アルキメデスの求積は、例えば、半径 r の円の面積は、πr2 ではないと矛盾するというよ
うに、全て背理法により証明が行われているため、予め結果を知っておく必要がありました。
そこで、the method of Archimedesにあるような仮想の天秤を用いたようです。


(コメント) 或る髷すとさんに感謝します。


 或る髷すとさんからのコメントです。(平成25年8月25日付け)

 アルキメデスの「The method of Archimedes」の仮想天秤について、少し解説じみたことを
試みます。

 アルキメデスの論文には、数式や比の考え、次元の異なる量の加減乗除が無いため、少
し理解しにくいと思うので、下記の議論が理解の助けになればと思います。是非、古代ギリ
シャの数学を味わってみて下さい。

 y=x2 の放物線がx軸と作る図形の 0≦x≦1 における面積を仮想天秤で求めます。つま
り、∫0x2dx を求めます。

 原点を天秤の支点とし、天秤の横木を -1≦x≦1 におけるx軸とします。y=x が 0≦x≦1
で作る三角形を考え、放物線と三角形を点X(x,0)でx軸に垂直な線分で切り取ると、切り口
の長さは、
       (放物線の切り口) : (三角形の切り口)= x2 : x = x : 1
となります。

 そこで、 (点Xから支点までの長さ) : (点A(-1,0)から支点までの長さ)= x : 1

ですので、放物線の切り口の線分を点Aにつるすと、三角形の切り口の線分とそのままの位
置で釣り合います。図形は切り口の線分が無限に集まったものと考えると、そのままの位置
にある三角形と、点Aでつるした放物線が作る図形は釣り合います。

 三角形の重心は点(2/3,0)にあるので、三角形を重心につるすと、

    (三角形の面積) : (放物線が作る図形の面積)= 3 : 2

となり、三角形の面積は、1/2 から、放物線が作る図形の面積は、1/3 となります。

 よって、∫0x2dx=1/3 が証明されました。

 さて、以上が仮想天秤の概要ですが、もう少し検討してみます。この方法では、x の定積
分を求めるのに、xn−1 の図形の重心が既知でなければなりません。xn−1 の重心を決
定するには、結局、xn の定積分を計算しなければならないため、重心が既知である図形を
用いた特殊な場合に使用は制限されます。ですから、カウ゛ァリエリの原理や積分法の様な
汎用性は勿論ありませんが、味わいのある手法と思います。

 アルキメデスは仮想天秤を用いて、放物線、球、楕円球、回転放物線体、回転双曲線体、
交差円柱、円柱の切片の求積を行っています。全て二次式の積分の問題に帰着されます。
しかし、半円の重心決定の様な、二次式の積分に帰着されない問題も仮想天秤を用いて
解決しています。(→ 参考:「重心の位置」)

 現代の我々は仮想天秤を用いて、上記以外の図形の求積を行えるのでしょうか。何か面
白い結果がありましたら、お知らせ下さい。


(コメント) 仮想天秤という考え方、面白いですね!∫0x2dx=1/3 の証明に感動しまし
      た。このような機会を与えていただいた、或る髷すとさんに感謝します。