方べきの定理                             戻る 

 平面幾何で記憶に残る定理としたら、三平方の定理とこの方べきの定理だろう。他にも、
メネラウスの定理やチェバの定理などいろいろあるが、定理の簡明さを考えたら、この2つ
が筆頭だろうと思う。

方べきの定理

  円周上の4点 A、B、C、D に対して、2つの線分 AB、CD
 が円内の1点 P で交わるとき、

      PA・PB=PC・PD

 が成り立つ。




(証明) 右図において、 △PAD∽△PCB なので、

       PA:PC=PD:PB

  より成り立つ。 (証終) 
   


   円周上の4点 A、B、C、D に対して、2つの線分
  AB、CD が円外の1点 P で交わるとき、

      PA・PB=PC・PD

  が成り立つ。




(証明) 右図において、 △PAC∽△PDB なので、

       PA:PC=PD:PB

  より成り立つ。 (証終) 


   円外の1点 P より、接線PT と、円と A、Bで交わる直線
  を引く。このとき、

         PA・PB=PT2

  が成り立つ。






(証明) 右図において、 △PAT∽△PTB なので、

       PA:PT=PT:PB

  より成り立つ。 (証終) 
    

 方べきの定理は、円の持つ美しい性質の結果として得られるが、現行の学習指導要領で
は高校1年で通常学ぶ「数学A」を待たなければいけない。日本の高校生にとって、とても不
幸なことである。

 この方べきの定理に酷似した定理が、楕円においても成り立つことを最近知ることが出来
た。
   左図のように、長軸が互いに直交し、4点で交

  わる2つの楕円がある。

   線分 AC、BD の交点を P とおくと、

      PA・PC=PB・PD

  が成り立つ。

   ただし、長軸、短軸の長さはともに等しいもの

  とする。




 証明は大変そうなので、具体例で追認しておこう。

   左図のように、2つの楕円

     

   

 が、4点 A、B、C、D で交わっている。

 線分 AC、BD の交点を P とおく。

  A(0,1)を通る直線を、 y=mx+1

 とおく。3式を連立することにより、

  m=−1 、

 が得られる。



これらを、直線と楕円の交点の座標(A以外)

    

に代入して、点 B、C、D の座標をそれぞれ求めると、

    

 よって、直線ACの方程式 : y=−x+1 、直線BDの方程式 : y=x−5/4 から、

   P(9/8 , −1/8)

となる。このとき、簡単な計算から、  PA・PC=243/160  、  PB・PD=243/160

なので、 PA・PC=PB・PD の成り立つことが推察される。


(コメント) この証明を掲載した算額は現存しないという。一般的な証明を試みようとしたが
      計算が煩雑そうで躊躇してしまった。現時点では、上記の具体例で納得すること
      にしよう。一般的な証明に成功された方、ぜひご教示ください。(こちらへ)

(追記) 平成20年7月12日付け

 上記の楕円の場合の方べきの定理について、「一般的な証明を試みようとしたが、計算
が煩雑そうで躊躇してしまった」のは、直接的に交点の座標を求めてから何しようとしたた
めである。

 この件について、平成20年7月11日付けで、H.K.さんから、

   4つの交点は、実は、同一円周上にある

旨のメールを頂いた。

 次のように考えると、交点の座標を求めなくても証明されるとのことである。

 問題の条件から、2つの楕円の方程式は、 a>b>0 として

   b2(x−p)2+a2(y−q)2=a22  、  a2(x−r)2+b2(y−s)2=a22

としても一般性は失われない。

 このとき、上記2つの楕円の交点は、円の方程式

    b2(x−p)2+a2(x−r)2+a2(y−q)2+b2(y−s)2=2a22

を満たし、4点は同一円周上にある。

 よって、円の場合の方べきの定理から、楕円においても成り立つことが分かる。

 H.K.さんからの情報によれば、同様のことが、互いに軸が直交する放物線においても
成り立つようだ。



   左図のように、軸が互いに直交し、4点で交わる

  2つの放物線がある。このとき、

   線分 AC、BD の交点を P とおくと、

      PA・PC=PB・PD

  が成り立つ。



 証明は、上記と同様にして、

 2つの放物線の方程式  (x−a)2=4py+b  、  (y−c)2=4qx+d  の交点が、

円の方程式 (x−a)2+(y−c)2=4qx+4py+b+d を満たすことから明らかであろう。

(コメント) このような手法の証明を昔やったことを思い出しました。図形と方程式の証明問
      題では必須の技法でした。このような証明に気づかせていただいた H.K.さんに
      感謝いたします。


 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんから、上記の話題に関する公式を投稿
して頂いた。別な視点からの方べきの定理の拡張で、大変興味深いものでした。GAI さん
に感謝します。(平成26年7月7日付け)

 円では、円とその円内に点Pをとり、点Pを通る2本の割線(円との共有点が2個の直線)と
円との交点を、A、B と C、D とするとき、

  PA・PB=PC・PD ⇔ PA・PB : PC・PD=1 : 1

というよく知られた方べきの定理が成立する。そこで、楕円ではいかなることになるのか?

 これに対し、楕円の中に任意の二点 P1、P2 をとる。P1 を通る異なる2本の割線をL1、M1

  とし、それぞれが楕円と交わる点を A1、B1

   C1、D1 で、それぞれと点P1との長さを、

  P1A1=a1、P1B1=b1、P1C1=c1、P1D1=d1

  としておく。一方、P2 を通り、先の直線 L1、M1

  にそれぞれ平行な直線を L2、M2 とし、これが

  楕円と交わる点をそれぞれ A2、B2 と C2、D2

とし、P2 との長さを、P2A2=a2、P2B2=b2、P2C2=c2、P2D2=d2 とするとき、

   a1・b1 : c1・d1=a2・b2 : c2・d2

なる関係式が成立する。

 今まで、方べきの定理は、円の図形に限定された定理と思い込んでいた世界を、さらなる
広さの世界から見れる視座を与えられた気分でした。