円のある性質2                            戻る

 同じ長さをもつ、すべての閉じたなめらかな曲線の中で最大の面積を囲むものが「円周」
であることはよく知られた事実である。素朴な図形である円であるが、このほかにもいろい
ろな性質を秘めている。

 
   例えば、ただ漠然と長方形と円を交わらせても、特徴
  ある性質は浮かび上がってこないが、意図的に、円が
  長方形を切り取る弦(赤色の部分)の長さが等しい場合
  に注目してみると、ある性質の成り立つことが分かる。




 右図において、 PQ=RS が成り立つとき、

      AP = AR

が成り立つ。
    

 証明は易しい。

(証明) 方べきの定理より、 AP・AQ=AR・AS なので、PQ=RS=K とおくと、

        AP・(AP+K)=AR・(AR+K)

    AP2+AP・K=AR2+AR・K  より、 (AP−AR)(AP+AQ+K)=0

    AP+AQ+K≠0 なので、 AP−AR=0 すなわち、 AP=AQ (証終)

 証明からも分かるように、この性質は長方形という性質に依らない。すなわち、一般の四
辺形において成り立つ性質である。

この性質を用いると、次の事実が成り立つ。

    左図のように、四辺形ABCDに円が交わっている。

   ただし、4つの弦PQ、TU、VW、RSの長さは全て等

   しいものとする。

    このとき、  AB+CD=BC+DA

   が成り立つ。





 証明は、明らかであろう。