内接円のある性質                      戻る

  左図のような正三角形 ABC において、
 円 I は、その内接円とする。

  各辺に平行な、内接円の接線が各辺と
 交わる点を、それぞれ、
     P 、 Q 、 R 、 S 、 T 、 U
 とする。

  頂点 A より、底辺 BC に下ろした垂線
 の足を、M とし、PQ との交点を、H とす
 る。

  △ABC の面積を S とし、△APQ 、
 △BSR 、△CUT の面積を、それぞれ
  S1 、 S2 、 S3  とする。

 正三角形 ABC の一辺の長さを、6 とすると、 S = 9 である。

 正三角形においては、内心と重心は一致するので、 AH : AM = 1 : 3 が成り立つ。

 面積比は、相似比の2乗に等しいので、 S1 となる。

 対称性から、 S2 = S3

 したがって、次の関係式
                    

が成り立つ。

 上記の証明の方針を検討してみると、この等式は、一般の三角形についても成り立つこ
とが予想される。

 頂点 A、B、C より各対辺に下ろした垂線の長さを、それぞれ hA、hB、hC とおく。

また、BC=a 、CA=b 、AB=c に対して、p=(a+b+c)/2 とおき、内接円の半径を、

r とおく。

1 = S×((hA−2r)/hA2 、S2 = S×((hB−2r)/hB2 、S3 = S×((hC−2r)/hC2

である。また、

   (hA−2r)/hA+(hB−2r)/hB+(hC−2r)/hC=3−2r(1/hA+1/hB+1/hC

において、

   1/hA+1/hB+1/hC=a/(2S)+b/(2S)+c/(2S)=p/S=1/r

なので、

   (hA−2r)/hA+(hB−2r)/hB+(hC−2r)/hC= 1

となる。したがって、一般の三角形においても、

         

が成り立つ。

(応用例) 問題の設定は、冒頭と同様とする。下図の緑色の部分の面積を求めてみよう。

    内接円の半径は、明らかに、1 なので、

      S1 = (1/2)・(4/3)・1 =2/3

      S2 = (1/2)・2・(3/2) =3/2

      S = (1/2)・4・3 =6

    よって、等式により、S3 = 1/6

 上記の面積は、もちろん等式を用いなくても求めることはできるが、ちょっとだけ計算は
大変かもしれない。

(追記) 平成21年12月1日付け

 上記の応用問題について、HN「zarusan」さんから等式を用いない別解を頂いた。

    内接円の半径は、明らかに、1 で、円に外接す

   る正方形の面積は、4。 この正方形と三角形と

   の重ならない部分は、S3 と合同であることから、

      S3=S1+S2+4−S=1/6

(コメント) この応用問題は等式を試してもらうための問題で、「zarusan」さんのような別
      解も有りですね!素朴な解法で、こちらの方が本解でしょう。「zarusan」さんに
      感謝します。