ブラマグプタの公式                        戻る 

 インドの数学者ブラマグプタ(598〜660)は、とても美しい公式を残している。そして、この公
式のおかげで、長年多少違和感のあった「ヘロンの公式」が、実は必然的なものであることが
理解できた。ブラマグプタに大いに感謝しなければならない。

ブラマグプタの公式    円に内接する四角形の4辺の長さを、a、b、c、d とするとき、
  四角形の面積 S は、

 

 で与えられる。

(証明)  S=△ABC+△ACD において、B+D=180°より、sin B=sin D なので、

                  2S=(ab+cd)sin B

    ここで、余弦定理により、AC2=a2+b2−2abcos B=c2+d2−2cdcos D

    B+D=180°より、cos D=−cos B であることに注意して、cos B を求めれば、

          

    となる。このとき、

   

    となることが簡単な計算で示される。
    (この計算は、因数分解の典型的な計算なので、詳しいところは読者にまかせよう!)

   a+b+c−d=a+b+c+d−2d=2(s−d) などから、

          

    これより、sin B を求めて、2S=(ab+cd)sin B に代入すれば、公式が得られる。
                                                     (終)

 ブラマグプタの公式の美しさは、何といっても、その一様性にある。四角形の周の長さの
半分(s)から一様に各辺の長さを引いている。そこには、一点のためらいもない。

 それに対して、三角形の面積を求めるヘロンの公式:

          
           (ただし、 a 、b 、c は三角形の三辺で、sは、三角形の周の長さの半分)

においては、その一様性が見られない。 s のみが、何か場違いな、不自然な形である。

 この点について、ヘロンの公式を高校2年のときに学んで以来、ヘロンの公式を目にする
度に幾ばくかの違和感を感じていた。

 ところが、ブラマグプタの公式を用いれば、この違和感は一掃される。s の存在にも必然
性があったのだ!

 次のように考えればよい。

 三角形を、4辺のうちの1辺の長さが 0 の四角形と考える。しかも、三角形には必ず外接
円が存在するので、ブラマグプタの公式における条件は満たされる。


 よって、ブラマグプタの公式により、三角形の面積は、

             

と理解される。このように考えると、やはり、ヘロンの公式においても、一様性があると認識
せざるを得ない。

(参考文献: D.ウェルズ 著 大橋義房 訳 みつけよう!数学!(岩波書店)
        永井勇一 著 3角関数 (科学新興社モノグラフ))

(追記) 上記でブラマグプタの公式について紹介したが、最近その一般化が存在することを
     知った。(平成18年2月11日付け)

   四角形ABCDの4辺の長さを、a、b、c、d とし、

       a+b+c+d=2s  、 A+C=2θ

  とする。このとき、四角形ABCDの面積 S は次の式で与えられる。

    


 上記において、特に四角形ABCDが円に内接するとき、円に内接する四角形の性質から、
A+C=180°なので、θ=90°すなわち、cosθ=cos90°=0 なので、ブラマグプタの
公式がえられる。


(追記) HN「通りすがり」さんから、「一般化されたブラマグプタの公式」の名前は「ブレート
    シュナイダーの公式
」と言われることをご教示頂いた。(平成27年10月11日付け)


 この一般化されたブラマグプタの公式の証明を考えてみよう。

(証明) S=△ABD+△BCD=(1/2)ad・sinA+(1/2)bc・sinC より、

           2S=ad・sinA+bc・sinC

  両辺を平方して、 4S2=a22・sin2A+2abcd・sinAsinC+b22・sin2C ・・・(1)

  ここで、余弦定理より、BD2=a2+d2− 2ad・cosA=b2+c2− 2bc・cosC なので、

     a2−b2−c2 +d2=2ad・cosA− 2bc・cosC

  より、 (a2−b2−c2 +d2)/2=ad・cosA− bc・cosC で、両辺を平方して、

(a2−b2−c2 +d22/4=a22・cos2A−2abcd・cosAcosC+b22・cos2C ・・・(2)

(1)+(2)より、

      4S2+(a2−b2−c2 +d22/4=a22−2abcd・cos(A+C)+b22

                         =a22−2abcd・cos2θ+b22

                         =a22−2abcd・(2cos2θ−1)+b22

                         =(ad+bc)2−4abcd・cos2θ

よって、 16S2+(a2−b2−c2 +d22=4(ad+bc)2−16abcd・cos2θ より、

16S2=4(ad+bc)2−(a2−b2−c2 +d22−16abcd・cos2θ

   =(2ad+2bc+a2−b2−c2 +d2)(2ad+2bc−a2+b2+c2 −d2)−16abcd・cos2θ

   ={(a+d)2−(b−c)2 }{(b+c)2−(a−d)2}−16abcd・cos2θ

   =(a+d+b−c)(a+d−b+c)(b+c+a−d)(b+c−a+d)−16abcd・cos2θ

   =(2s−2c)(2s−2b)(2s−2d)(2s−2a)−16abcd・cos2θ

   =16(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−16abcd・cos2θ

 以上から、 S2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcd・cos2θ となり、

      

を得る。(証終)

 一般化されたブラマグプタの公式から、特に四角形が円に内接する場合として、ブラマグ
プタの公式が導かれたが、それでは、四角形が円に外接する場合は、どんな公式が導か
れるのだろうか?興味の種は尽きない。


 円に外接する四角形の4辺の長さを、a、b、c、d とし、

      a+b+c+d=2s  、 A+C=2θ

 このとき、四角形ABCDの面積 S は次の式で与えられる。

    


 証明は易しい。

(証明) 円に外接する四角形の性質から、対辺の長さの和は等しいので、a+c=b+d=s

    である。よって、 s−a=c、s−b=d、s−c=a、s−d=b なので、

   一般化されたブラマグプタの公式から、 S2=abcd−abcd・cos2θ=abcd・sin2θ

   したがって、    が成り立つ。(証終)


 獨協大学(2013)で、次のような問題が出題された。

 半径 r の円に四角形ABCDが外接している。このとき、四角形ABCDの面積は、

  (AB+CD)・r

(解) 上図において、接線の長さが相等しいことから、 a+c=b+d が成り立つ。

   よって、四角形ABCDの面積を円の中心を用いて4分割すると、

    S=ar/2+ar/2+ar/2+ar/2=(a+b+c+d)・r/2=(a+c)・r

   すなわち、 S=(AB+CD)・r が成り立つ。  (終)


 さらに、上記の四角形が円に内接している場合は、非常に美しい公式となる。


  四角形が円に内接しているので、θ=90°である。

  よって、sinθ=sin90°=1 より、

  四角形ABCDの面積 S は次の式で与えられる。

       




(参考文献:辻 正次、平野智治 著  新三角法 (共立出版)
       中村文則氏(札幌旭丘高校)のHP「三角形の面積をひも解く」 )


(追記) 平成25年4月15日付け

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんから、ブラマグプタの公式の練習問
題を頂いた。

 円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5cm、BC=19cm、CD=7cm、DA=15cm のとき、
この四角形ABCDの面積を求めよ。

(解) s=(5+19+7+15)/2=23 なので、

  求める面積は、ブラマグプタの公式より、 S=√(18・4・16・8)=3・8・4=96(cm2


(追記) 平成26年3月11日付け

 ヘロンの公式、ブラマグプタの公式と、n角形(n=3、4)の面積を、その辺の長さのみを
用いて表す公式を見てきたが、それもここまでであるという残念な定理が示されている。
すなわち、

 5以上の任意の自然数nに対して、円に内接するn角形の面積を、四則演算とk乗根を
とる操作を通して、辺の長さで表現する一般の公式は存在しない。

 証明は、次の文献を参照されたい。

  数学セミナー’09 11月号 p.42〜48 Non-Biri数学研究会 「ヘロンとガロワ」


(追記) 平成27年10月10日付け

 上底がa、下底がb、高さhの台形の面積Sは、小学校5年で学ぶように、S=(a+b)h/2
で与えられる。

 等脚台形は円に内接するので、ブラマグプタの公式が利用できる。

 等脚台形の側長をcとすると、 2s=a+b+2c より、 s=(a+b)/2+c

 このとき、 s−a=(b−a)/2+c 、s−b=(a−b)/2+c 、s−c=(a+b)/2

より、S2={(b−a)/2+c}{(a−b)/2+c}{(a+b)/2}2

     ={c2−{(b−a)/2}2}{(a+b)/2}2

 ここで、 c2−{(b−a)/2}2=h2 なので、 S=(a+b)h/2


(コメント) 台形の面積の公式は平行四辺形の面積の公式からの導入が鮮烈で、上記の
      証明は何となくもどかしい。ただ、ブラマグプタの公式を利用しても示されることが
      理解できた。