球帯と球冠                               戻る

 球帯とは球面を平行な二平面で切ったときに、その二平面に挟まれる球面の部分を言う。
このとき、上面(上底)は半径 a の円、底面(下底)は半径 b の円である。
      

 特に、 a=0 であるような球帯を、球冠と言う。

 この球帯の高さを h とすると、側面積 S は、非常に美しい形で表される。

          

ただし、r は、側面の球の半径とする。

 この公式を、   と分解して考えれば、

      (大円の周の長さ)×(球帯の高さ)

という形で表現することができる。

例 原点中心で半径 3 の球を平面 z=1 、 z=2 で切ったときに出来る球帯の側面
 積を求めよ。

  上記の公式を知っていれば、複雑な計算をすることなく、 2π×3×1=6π と即答
 だろう。

(公式の証明)
  左図において、

    

  ここで、 x2+y2=r2 より、 y’=−x/y

 より、
     

 となる。
                   (証明終)




(コメント) 球帯の側面積が、上底、下底の半径に無関係に、高さと球の半径のみで定ま
      るところが面白いですね!

 球帯の側面積の公式を、半径 r の球に適用すれば、球の表面積の公式が得られる。

   左図において、

      (大円の周の長さ)=2πr

      (球帯の高さ)=2r

   なので、球の表面積は、

    (大円の周の長さ)×(球帯の高さ)=4πr2



 また、球冠については次のような驚嘆に値する美しい公式が成り立つ。

  左図の球冠において、側面積 S は、

    

 で与えられる。

  証明は易しい。

  (r−h)2+b2=r2 より、

      2rh=h2+b2=R2

  よって、  が成り立つ。





(コメント) 球冠も上底側から眺めると円なわけで、その面積が、円の公式っぽい式で与え
      られるところが数学らしいですね!

 球冠の側面積が、Rのみで定まることから、次の性質が導かれることは自明だろう。

 左図において、半径 R の球と半径 r の球が交わり
かつ、半径 r の球は半径 R の球の中心を通るものと
する。

 このとき、半径 r の球の半径 R の球の内部にある
部分の表面積は、r の値によらず一定で、

          πR2

で与えられる。









(追記) 平成21年7月11日付け

  当HPの掲示板「出会いの泉」に、7月9日付けで、HN「ゆっきもも」さんから質問が寄せ
られた。

  任意の位置でスライスした(正確な半球でないもの)場合の表面積の求め方を教え
 てください。


 この問いかけに対して、当HPがいつもお世話になっている、らすかるさんが明解に回答
された。(平成21年7月10日付け)

  球を同じ幅でスライスすると、それぞれの側面積は同じになる。

  よって、直径のどの位置で切ったかが分かれば、

   4πr2×(直径を切り取った長さ)/(直径) = 2πr×(直径を切り取った長さ)

  で求まる。


(コメント) らすかるさんの求めた側面積に上底、下底の面積を加えれば、表面積は求め
      られる。

       このページの冒頭で、次の公式

        球帯の高さを h とすると、側面積 S は、  

         (ただし、r は、側面の球の半径)


      を定積分計算で示したが、らすかるさんのように考えると、この公式も覚えやす
      いですね!

 また、当HPがいつもお世話になっているHN「凡人」さんも球冠の場合についての解答
を寄せられた。(平成21年7月10日付け)(←若干文言等を修正させていただきました)

  半径Rの球を、中心からの距離dで切った図形(の小さい方)とする。

    

  側面積を S とおくと、

   

 これに、断面積のπ(R2−d2)を足して、求める表面積は、π(R−d)(3R+d) となる。

 一応確認のために、d=0 とした時は、半球の表面積と一致し、d=−R とすると、全球
の表面積になる。

(コメント) 凡人さん、ありがとうございます。重積分した2πR2(1−d/R)という結果は、上
      記で得られた公式より求められる 2πR(R−d) とも一致していますね!

      上記では、球冠の側面積を重積分で求めたが、高校の数学Vの範囲で十分求め
     られる。むしろその方が普通かも...。
     (随分昔に東大の入試問題に出題されたかな?)


 当HPをご覧になった Y.S.さんから、次のような質問をメールでいただいた。
                                      (平成23年7月19日付け)

 錠剤の表面積を計算したいと思います。錠剤を次のように


  1. Upper Biconvex dome

  2. Lower Biconvex dome

  3. Middle cylinder




と、3つの部分に分けて考えた場合、1と2の半径と表面積は、以下の計算式

  radius of curvature r given by r=(h2+(d/2)2)/(2h)
 where d is the diameter and h is the height.

  Surface area of a spherical dome’s ceiling is A=2πrh.

により求められるとあるのですが、何故、このような計算式になるのか分かりません。

 Y.S.さんの質問に答えて、計算してみた。

(計算) 上面の球冠を、曲率半径 rc の球面の一部と考え、球冠の底円の直径を d とし、

     底円から球冠の頂上までの距離を h とする。

   左図において、三平方の定理より、

     (rc−h)2+(d/2)2=rc2

   よって、 2rc・h=h2+(d/2)2 より、

  曲率半径 rc は、

      rc={h2+(d/2)2}/2h

  により与えられる。




 このとき、球冠の表面積の公式 :

        球冠の高さを h とすると、側面積 S は、  

         (ただし、r は、側面の球の半径)
   (※ 証明はこちら

により、求める表面積Aは、 A=2πrch により与えられる。



    以下、工事中!