正５角形の数理　　　　　　 　　　　　　　　　　　　戻る

　当ＨＰでは、「正５角形の作図と折り紙」と題して正５角形において成り立つ性質を調べた。

　そこでは、相似な三角形、例えば、△ＡＣＤ∽△ＤＦＣ　を見つけて、ＡＣ＝＋１　である
ことを求めている。ただし、正５角形の一辺の長さを２とする。

　 　また、左図のように、

　　　　ＦＡ＝ａ　、　ＦＣ＝ｂ　、　ＦＥ＝ｃ

　　とおくと、「 ａ ： ｂ 」が黄金比であることは、

　　よく知られているし、

　　　　　　ａ2＋ｂ2＝ｃ2

　　が成り立つという事実も面白い。

　このように、正５角形には、いろいろな数理が
隠れているように感じる。　　

　このページでは、正５角形の係わるいろいろな数理を調べてみたいと思う。

　　　　左図のように、正５角形の５頂点を、

　　　　　　　１　、２　、３　、４　、５

　　　とし、正５角形の外接円の弧１５上の任意の点Ｐ

　　　に対し、各頂点と点Ｐの距離を、

　　　　　ｘ1　、ｘ2　、ｘ3　、ｘ4　、ｘ5

　　　とおく。このとき、

　　　　　　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 ＝ ｘ2 ＋ ｘ4

　　　という等式が成り立つらしい。

　これは、数学セミナー　’１０　１月号　「エレガントな解答をもとむ」で問われている問題で
ある。本当に成り立つのかな？という思いから、まず特別な場合を考えてみた。

　　　　左図は、点Ｐが頂点 １ に重なっている場合で
　　　ある。正５角形の一辺の長さを２とする。

　　　　このとき、　ｘ1 ＝ ０　で、

　　　　　ｘ2 ＝ ｘ5 ＝ ２　、　ｘ3 ＝ ｘ4 ＝ ＋１

　　　より、　　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 ＝ ＋３

　　　　　　　　ｘ2 ＋ ｘ4 ＝ ＋３

　　　なので、　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 ＝ ｘ2 ＋ ｘ4



　同様に、点Ｐが頂点 ５ に重なっている場合も、　ｘ5 ＝ ０　で、

　　　　　ｘ1 ＝ ｘ4 ＝ ２　、　ｘ2 ＝ ｘ3 ＝ ＋１

　　　より、　　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 ＝ ＋３　、　ｘ2 ＋ ｘ4 ＝ ＋３

　　　なので、　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 ＝ ｘ2 ＋ ｘ4　が成り立つ。


　この等式が、正５角形の外接円の弧１５上の任意の点Ｐに対して成り立つとは驚きだ！

　この問題について、当HPがいつもお世話になっているＨＮ「凡人」さんから解答をお寄せい
ただいた。（平成２２年１月１４日付け・・・一部文言等を修正させていただきました！）

（解）　円の中心を Ｏ、半径を １、弧Ｐ１に対する中心
　　　角を ２θ とおく。（ ０°≦θ≦３６°）

　　　　各頂点とＯ、Ｐで作る二等辺三角形を考えると、

　　　　　ｘ1＝２ｓｉｎθ

　　　　　ｘ2＝２ｓｉｎ（θ＋３６°）

　　　　　ｘ3＝２ｓｉｎ（θ＋７２°）

　　　　　ｘ4＝２ｓｉｎ（θ＋１０８°）＝２ｓｉｎ（７２°−θ）

　　　　　ｘ5＝２ｓｉｎ（θ＋１４４°）＝２ｓｉｎ（３６°−θ）

　　　である。
　このとき、

　　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 − ｘ2 − ｘ4

＝２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ（θ＋７２°）＋２ｓｉｎ（３６°−θ）−２ｓｉｎ（θ＋３６°）−２ｓｉｎ（７２°−θ）

＝２｛ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（θ＋７２°）−ｓｉｎ（７２°−θ）＋ｓｉｎ（３６°−θ）−ｓｉｎ（θ＋３６°）｝

＝２（ｓｉｎθ＋２ｃｏｓ７２°ｓｉｎθ−２ｃｏｓ３６°ｓｉｎθ）

＝２ｓｉｎθ（１＋２ｃｏｓ７２°−２ｃｏｓ３６°）

　ここで、　φ＝３６°とおくと、　５φ＝１８０°　から、　３φ＝１８０°−２φ

　よって、　ｓｉｎ３φ＝ｓｉｎ（１８０°−２φ）＝ｓｉｎ２φ　より、

　　　　　３ｓｉｎφ−４ｓｉｎ3φ＝２ｓｉｎφｃｏｓφ

このとき、　３ｓｉｎφ−２ｓｉｎφ（１−ｃｏｓ２φ）＝２ｓｉｎφｃｏｓφ　より、

　　　　　　ｓｉｎφ＋２ｓｉｎφｃｏｓ２φ＝２ｓｉｎφｃｏｓφ

　したがって、　ｓｉｎφ（１＋２ｃｏｓ２φ−２ｃｏｓφ）＝０　が成り立つ。

　すなわち、　ｓｉｎφ≠０　なので、　１＋２ｃｏｓ７２°−２ｃｏｓ３６°＝０　が成り立つ。

　以上から、　　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 ＝ ｘ2 ＋ ｘ4　が成り立つ。　

（コメント）　「凡人」さんの素晴らしい解答に感動しました。凡人さんに感謝します。
　　　　　　ただ、もっと初等的な証明がありそうな．．．予感！

　平成２２年１月１８日付けで、ＨＮ「名無し」さんより、「トレミーの定理」を用いて解ける旨の
ご教示を頂きました。

　１辺の長さが２の正５角形において、対角線の長さは、＋１　であることに注意する。

円に内接する四角形Ｐ１２５において、　２ｘ2＝２ｘ5＋（＋１）ｘ1　・・・・　（１）

円に内接する四角形Ｐ１３５において、　２ｘ3＝（＋１）ｘ1＋（＋１）ｘ5　・・・　（２）

円に内接する四角形Ｐ１４５　において、　２ｘ4＝（＋１）ｘ5＋２ｘ1　・・・　（３）

　よって、　（１）−（２）　より、　２ｘ2−２ｘ3＝（−＋１）ｘ5　・・・　（４）

　（３）＋（４）　より、　２ｘ2−２ｘ3＋２ｘ4＝２ｘ5＋＋２ｘ1

　したがって、　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 ＝ ｘ2 ＋ ｘ4　が成り立つ。　

（コメント）　鮮やかですね！「名無し」さんに感謝します。

　この問題については、他にもいろいろな解が知られている。数学セミナー　’１０　４月号
「エレガントな解答をもとむ」の解答を参考にしてまとめておこう。

（別解その１）
　　　左図において、円周角

　　　　∠１Ｐ２、∠２Ｐ３、∠３Ｐ４、∠４Ｐ５

　　は全て等しく、　２π÷５÷２＝π/５ である。

　　　さらに、左図のように色分けされた６個の小図形

　　を組み合わせて、左下図のような図形を作る。

　　（Ｐ１から数えて、偶数番目だけが裏返されている
　　ことに注意）




　　このとき、円周角

　　　∠ＰＡＢ、∠ＡＢＣ、∠ＢＣＤ、∠ＣＤＥ

　は全て等しく、　２π÷５÷２＝π/５ である。

　　さらに、左図において、　∠ＡＰＱ＝２π/５　なので、

　∠ＡＱＰ＝π−２π/５−π/５＝２π/５　である。

　　よって、△ＡＰＱは２等辺三角形となる。

　同様に、△ＢＱＲ、△ＣＲＳ、△ＤＳＥも２等辺三角形。




　以上から、

　　　ｘ1 ＋ ｘ3 ＋ ｘ5 ＝ （ｘ2 − ＢＱ） ＋ （ＢＱ ＋ ＣＳ） ＋ （ｘ4 − ＣＳ）＝ ｘ2 ＋ ｘ4

が成り立つ。

（コメント）　鮮やかですね！図形を組み替えて２等辺三角形を見出すというアイデアは思い
　　　　　　つきません．．．。横浜市の山田正昭さんに感謝します。


（追記）　平成２２年１０月１０日付け

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんが、上記の性質

　　正５角形ＡＢＣＤＥが、円に内接しているとする。弧ＡＥ上の任意の点Ｐに対して、
　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＝ＰＢ＋ＰＤが成り立つ。

の一般化を考えられた。

　上記の性質に相当することが、正 ｎ 角形で成り立つかどうかを考えてみよう。ｎ が偶数で
あれば成り立たないから、ｎ は奇数とする。

　まず、ｎ＝３　の場合を考える。

　正３角形ＡＢＣが円に内接しているとする。

　弧ＡＣ上の任意の点Ｐに対して、ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ　が成り立つ。

　これは、四角形ＰＡＢＣにトレミーの定理を適用すればただちに得られる。

　実際に、正３角形ＡＢＣの一辺を １ とすれば、ＰＡ・１＋ＰＣ・１＝ＰＢ・１　が成り立つことか
ら明らかだろう。

　正５角形のときの証明は既に与えられている。トレミーの定理を使うのがもっとも簡単であ
る。

　一辺の長さを２として、対角線の長さが　＋１　であることを使っているが、これもトレミ
ーで出るから、トレミーの定理だけでやってみよう。

（別証）　一辺の長さを１とし対角線の長さを ａ として、次の四角形にトレミーの定理を使うと、

　　四角形ＡＢＣＤについて、　１・１＋１・ａ＝ａ・ａ　より、　１＋ａ＝ａ2　・・・（１）

　　四角形ＰＡＢＣについて、　ＰＡ・１＋ＰＣ・１＝ＰＢ・ａ　より、　ＰＡ＋ＰＣ＝ａ・ＰＢ　・・・（２）

　　四角形ＰＢＣＤについて、　ＰＢ・１＋ＰＤ・１＝ＰＣ・ａ　より、　ＰＢ＋ＰＤ＝ａ・ＰＣ　・・・（３）

　　四角形ＰＣＤＥについて、　ＰＣ・１＋ＰＥ・１＝ＰＤ・ａ　より、　ＰＣ＋ＰＥ＝ａ・ＰＤ　・・・（４）

　（２）＋（４）　より、　ＰＡ＋２ＰＣ＋ＰＥ＝ａ・（ＰＢ＋ＰＤ）

　（３）を代入して、　ＰＡ＋２ＰＣ＋ＰＥ＝ａ2・ＰＣ　より、　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＝（ａ2−１）・ＰＣ

　（１）　より、　ａ2−１＝ａ　なので、　（３）より、　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＝ａ・ＰＣ＝ＰＢ＋ＰＤ　が成り

　立つ。　（証終）

　さて、ＦＮさんからの出題です。正７角形の場合に次の命題を証明してください。

　正７角形ＡＢＣＤＥＦＧが円に内接しているとする。弧ＡＧ上の任意の点Ｐに対して、
ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＋ＰＧ＝ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ　が成り立つ。


　平成２２年１０月１０日付けで、ＨＮ「ぽっぽ」さんから、

　正５角形の場合をトレミーの定理を使わず初等的に証明することができました

との報告を頂いた。応用すれば正７角形以上の場合でもできそうということで、次の証明を
頂いた。

（別証）　まず次の補題を示す。

　円Ｏの内部に弦ＡＢがあり、弧ＡＢの中点をＣ、Ｃでない方の弧ＡＢ上を自由に動く
点をＤとするとき、ＤＡ＋ＤＢとＤＣは比例する。

　実際に、トレミーの定理により、　ＤＣ・ＡＢ＝ＤＡ・ＣＢ＋ＤＢ・ＣＡ

　　　　ここで、　ＣＡ＝ＣＢ　で、　ＡＢ/ＣＡ＝ｋ　とおくと、ｋは定数で、

　　　　　　　　ＤＡ＋ＤＢ＝ｋ・ＤＣ　すなわち、　ＤＡ＋ＤＢとＤＣは比例する。

　この補題により、

　　　　ＰＡ＋ＰＣ＝ａ・ＰＢ　、　ＰＣ＋ＰＥ＝ａ・ＰＤ　、　ＰＥ＋ＰＧ＝ａ・ＰＦ

　　　　ＰＡ＋ＰＧ＝ｂ・ＰＤ　、　ＰＢ＋ＰＦ＝ｃ・ＰＤ　　（ ａ、ｂ、ｃ は定数）

　したがって、　２ＰＡ＋２ＰＣ＋２ＰＥ＋２ＰＧ＝ａ（ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ）＋ｂ・ＰＤ

　また、　ＰＢ＋ＰＦ＝ｃ・ＰＤ　より、　２ＰＡ＋２ＰＣ＋２ＰＥ＋２ＰＧ＝（ａ＋ｂ＋ａｃ）ＰＤ

　よって、　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＋ＰＧ　と　ＰＤ　は比例する。

　また、ＰＤ　と　ＰＢ＋ＰＦ　は比例するので、　ＰＤ　と　ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ　は比例する。

　よって、　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＋ＰＧ　と　ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ　も比例するので、

　　　　　　　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＋ＰＧ＝ｋ（ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ）　　（ｋ は定数）

　　特に、Ｐ＝Ａ　のとき、　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＋ＰＧ＝ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ　なので、　ｋ＝１

　したがって、常に、ｋ＝１　で、

　　　　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＋ＰＧ＝ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ　が成り立つ。　（証終）

　ぽっぽさんの別証に対して、らすかるさんからのコメントです。（平成２２年１０月１１日付け）

　ぽっぽさんの計算を単に短縮しただけですが．．．次のようにしてもいいですね。。

　　　ＰＡ＋ＰＣ＝ａ・ＰＢ　、　ＰＥ＋ＰＧ＝ａ・ＰＦ　、　ＰＢ＋ＰＦ＝ｃ・ＰＤ　の３式から

　　　　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＋ＰＧ＝ａ（ＰＢ＋ＰＦ）＝ａｃ・ＰＤ

　　また、　ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ＝（ｃ＋１）ＰＤ

　　よって、　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＋ＰＧ　と　ＰＢ＋ＰＤ＋ＰＦ　は比例する。

（コメント）　ＦＮさん、ぽっぽさん、らすかるさん、ありがとうございます。

　らすかるさんは、正２ｎ＋１角形についても同様の命題が成り立つことを示された。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年１０月１１日付け）

（証明）　正２ｎ＋１角形 Ａ0Ａ1・・・Ａ2n　について、ぽっぽさんの補題より、

　　　ＰＡｉ＋ＰＡ2ｎ-ｉ＝ｋｉＰＡｎ　（ｋｉ は定数）

　　　が成り立つ。このとき、

　　ＰＡ1＋ＰＡ3＋ＰＡ5＋・・・＋ＰＡ2ｎ-1＝（ｋ1＋ｋ3＋・・・＋ｋｎ-1）ＰＡｎ

　　　また、　ＰＡ0＋ＰＡ2＋・・・＋ＰＡ2ｎ＝（ｋ0＋ｋ2＋・・・＋ｋｎ-2＋１）ＰＡｎ

　　よって、

　　ＰＡ1＋ＰＡ3＋ＰＡ5＋・・・＋ＰＡ2ｎ-1　は、　ＰＡ0＋ＰＡ2＋・・・＋ＰＡ2ｎ　に比例する。

　　Ｐ＝Ａ0　とおいて、比例定数は、１ となる。

　　したがって、

　　　　　ＰＡ1＋ＰＡ3＋ＰＡ5＋・・・＋ＰＡ2ｎ-1＝ＰＡ0＋ＰＡ2＋・・・＋ＰＡ2ｎ　（証終）

　さて、ＦＮさんは、この命題の逆が成り立つかどうかについて関心を持たれた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年１０月１１日付け）

　逆は成り立つたつだろうか。即ち、次の命題が成り立つだろうか。

　５角形ＡＢＣＤＥが円に内接している。弧ＡＥ上の任意の点Ｐに対して、

　　　　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＝ＰＢ＋ＰＤ

　が成り立てば、５角形ＡＢＣＤＥは、正５角形である。

　点Ｐを３角形の頂点と一致させることにより、正３角形であることが示されるので、３角形
の場合は成り立つ。

　また、３角形の場合はもっと強く次の命題が成り立つだろうか。

　３角形ＡＢＣが円に内接している。弧ＡＣ上の異なる２点Ｐに対して

　　　　ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ

　が成り立てばABCは正３角形である。

　このＦＮさんの問題について、らすかるさんが代数的に解かれた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年１０月１１日付け）

（解）　円を単位円とし、Ａ( ｃｏｓｕ ，ｓｉｎｕ )、Ｃ( ｃｏｓｕ ，−ｓｉｎｕ )、Ｂ( ｃｏｓｖ ，ｓｉｎｖ )　とする。

　　ただし、　−ｕ≦ｘ≦ｕ＜ｖ≦π　である。このとき、Ｐ( ｃｏｓｘ ，ｓｉｎｘ )　として、

　　ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ　を定義域に注意しながら和積の公式などを使って整理すると、

　　　　２ｓｉｎ｛（ｕ−ｘ）/２｝＋２ｓｉｎ｛（ｕ＋ｘ）/２｝＝２ｓｉｎ｛（ｖ−ｘ）/２｝　より

　　　　　　ｓｉｎ｛（ｕ−ｘ）/２｝＋ｓｉｎ｛（ｕ＋ｘ）/２｝＝ｓｉｎ｛（ｖ−ｘ）/２｝

　　　　２ｓｉｎ（ｕ/２）ｃｏｓ（ｘ/２）＝ｓｉｎ（ｖ/２）ｃｏｓ（ｘ/２）−ｃｏｓ（ｖ/２）ｓｉｎ（ｘ/２）

　　　　　２ｓｉｎ（ｕ/２）＝ｓｉｎ（ｖ/２）−ｃｏｓ（ｖ/２）ｔａｎ（ｘ/２）

　　　　よって、　ｃｏｓ（ｖ/２）ｔａｎ（ｘ/２）＝ｓｉｎ（ｖ/２）−２ｓｉｎ（ｕ/２）

　　　ここで、　ｖ＝π　とすると、　０＝１−２ｓｉｎ（ｕ/２）　より、　ｓｉｎ（ｕ/２）＝１/２

　　　　よって、　ｕ/２＝π/６　より、　ｕ＝π/３

　　　これは正三角形の場合で、任意の ｘ に対して、ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ　が成り立つ。

　　　（ｖ＝π、ｕ≠π/３　ならば、ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ　となるＰは存在しない。）

　　　ｖ＜πのとき、　ｔａｎ（ｘ/２）＝｛ｓｉｎ（ｖ/２）−２ｓｉｎ（ｕ/２）｝/ｃｏｓ（ｖ/２）

　　　右辺は定数で、−π/２＜ｘ/２＜π/２　だから、ｘ は唯一に決まる。

　　　|ｘ|≦ｕ　ならば解は一つ、|ｘ|＞ｕ　ならば解なしなので、ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ　となるＰは高々

　　　1個。　よって、解が２個以上あるのは正三角形の場合のみ。　（終）


　らすかるさんの証明に対して、ＦＮさんからのコメントです。（平成２２年１０月１２日付け）

　きれいな証明ですね。一番最初の ＰＡ＝２ｓｉｎ（（ｕ−ｘ）/２）） は図を書けば計算なしで出
ますね。初等幾何の命題ですから初等幾何的な証明にこだわりたくなるのですが、簡単に
はできないのでしょう。次の形で問題として残しておきます。

　５角形ＡＢＣＰＱ円に内接していて、ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＢ、ＱＡ＋ＱＣ＝ＱＢ が成り立っている。
このとき、△ABCが正三角形であることを初等幾何的に証明せよ。


　ＦＮさんが、「５角形では逆は成立しない」ことを示された。（平成２２年１０月１１日付け）

（証明）　Ｃを通る直径に関してAとE、BとDが対称になるように取る。

　　　　らすかるさんの証明と同様にして、

　　　　　ＰＡ＋ＰＥ＝ｋＰＣ　、　ＰＢ＋ＰＤ＝ｍＰＣ

　　　従って、　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＝（ｋ＋１）ＰＣ　、ＰＢ＋ＰＤ＝ｍＰＣ　となり、

　　　　　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ　と　ＰＢ＋ＰＤ　は比例する。

　　　だから、Ｐ＝Ａ　のときに等しくなれば、常に成り立つ。

　　　　そこで、　ＡＣ＋ＡＥ＝ＡＢ＋ＡＤ　となるように、Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ を取れればよい。

　　　　ＣとＡ、Ｅを固定し、ＢをＡからＣまで動かす。(もちろんＤも対称になるように動かす)

　　　左辺の ＡＣ＋ＡＥ　は一定であり、右辺のＡＢ＋ＡＤ　はＢがＡのとき、ＡＥ、

　　　ＢがＣのとき、２ＡＣ　（ＡＥ＜ＡＣ）　にとっておけば、ＡＥ＜ＡＣ＋ＡＥ＜２ＡＣ　であるから

　　　あるＢ、Ｄについて、ＡＣ＋ＡＥ＝ＡＢ＋ＡＤにできる。

　　　　以上から、正５角形以外に条件を満たすものはたくさんある。　（証終）


　らすかるさんが、ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＥ＝ＰＢ＋ＰＤ　を満たす５角形を具体的に構成された。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２２年１０月１１日付け）

　五角形ＡＢＣＤＥにおいて、

　　Ａ(41/50，3√91/50)　、Ｂ(-7/25，24/25)　、Ｃ(-1､0)　、Ｄ(-7/25，-24/25)　、

　　Ｅ(41/50，-3√91/50)

とすればよい。



　　　以下、工事中