角の2等分線                               戻る

 当HPの「角の二等分線の長さ」において、次の公式を示した。

角の二等分線の長さの公式


     △ABC において、ADは∠Aの二等分線
    である。

     このとき、
            
    が成り立つ。


(追記) 平成24年2月11日付け

 数学の研究会で、開成高校の木部先生が、角の2等分線の長さの公式

    

を紹介された。知っている公式なので、嬉しかった!いよいよこの公式も全国区かな?


 角の2等分線について長さADを求める問題は多数あるが、∠ADCに注目し、その角の
大きさを求める問題は少ない。

例 △ABCにおいて、∠A=80°、∠B=30°、∠C=70°とする。∠Aの二等分線が
 辺BCと交わる点をDとする。このとき、∠ADCを求めよ。

(解) ∠ADC+40°+70°=180°より、 ∠ADC=70°  (終)

 上記の解を見て分かるように、「三角形の内角の和は180°」という性質を使うだけで、
特別なことは何も起こらないように見える。それ故に、この手の問題は少ないのだろう。

 これに対して、埼玉県立豊岡高校の五十嵐英夫先生が、次の性質に着目された。


     △ABC において、ADは∠Aの二等分線
    である。

     このとき、
            
    が成り立つ。

(証明) ∠A=β−α なので、 θ+(β−α)/2=β より、

      θ=β−(β−α)/2=(α+β)/2  (証終)

 この性質を用いれば、上記の例の問題は、∠ADC=(30°+110°)/2=70°となる。

 また、五十嵐先生は、次の性質も示されている。

    

(証明) 角の2等分線の性質より、 BD : DC=AB : AC なので、

    △ABCの高さを1とすると、

  1/tanα−1/tanθ : −1/tanβ+1/tanθ=1/sinα : 1/sinβ=sinβ : sinα

が成り立つ。 よって、 cosα−sinα/tanθ=−cosβ+sinβ/tanθ より、

      (sinα+sinβ)/tanθ=cosα+cosβ

すなわち、
       

が成り立つ。  (証終)

 この公式は、α、βが具体的に分からない場合に有効だろう。

例 辺ABの傾きが 4/3 で、辺ACの傾きが −3/4 のとき、線分ADの傾きを求めよ。

(解) tanα=4/3 より、 sinα=4/5 、cosα=3/5

    tanβ=−3/4 より、 sinβ=3/5 、cosβ=−4/5

   よって、 tanθ=(4+3)/(3−4)=−7  (終)

(コメント) 今まで計算してきたはずなのに、上記のように公式化できるとは知りませんでし
      た。五十嵐先生に感謝します。


 角の2等分線に関して、次の性質があることを最近知ることが出来た。



   左図において、線分AEは∠Aの2等分線である。

  このとき、  =bc  が成り立つ。










(証明) 線分AEは∠Aの2等分線なので、 BD : DC = c : b である。

    このとき、 BD=ac/(b+c) 、 DC=ab/(b+c)

 △ABD∽△CED より、  : ac/(b+c) = ab/(b+c) : K

  よって、 (K=a2bc/(b+c)2 より、 K2+a2bc/(b+c)2

 ところで、 2=c2+a22/(b+c)2−2ac2/(b+c)cosB において、

  cosB=(c2+a2−b2)/(2ca) なので、

 2=c2+a22/(b+c)2−2ac2/(b+c)・(c2+a2−b2)/(2ca)

   =c2+a22/(b+c)2−c(c2+a2−b2)/(b+c)

   =c{c(b+c)2+a2c−(c2+a2−b2)(b+c)}/(b+c)2

   =c(b2c+2bc2+c3+a2c−bc2−a2b+b3−c3−a2c+b2c)/(b+c)2

   =c(2b2c+bc2−a2b+b3)/(b+c)2

   =bc(2bc+c2−a2+b2)/(b+c)2

   =bc{(b+c)2−a2}/(b+c)2

   =bc−a2bc/(b+c)2

 したがって、

  K2+a2bc/(b+c)2=bc−a2bc/(b+c)2++a2bc/(b+c)2=bc

となる。 (証終)

 他の頂点に対しても同様のことを行えば、

    =ca  、  =ab

したがって、新たな公式

   =(abc)2

が得られる。

(コメント) 何となく美しい公式ですね!

 出張で横浜へ向かう電車の中で、上記のことを考えていたら、もっと初等的に証明できる
ことに気がついた。同様のことを、当HPがいつもお世話になっているHN「FN」さんからもご
教示いただいた。(平成23年6月16日付け)

(別証) ΔABDとΔAECにおいて、

       ∠ABD=∠AEC(弧ACの上に立つ円周角)

       ∠BAD=∠EAC(ADEは∠Aの2等分線)

   よって、 ΔABD∽ΔAEC より、 AB : AD = AE : AC なので、 AB・AC=AD・AE

   これより、 K=bc  (別証終)

(コメント) FNさんに感謝します。


(追記) 平成25年2月13日付け

角の二等分線の長さの公式


     △ABC において、ADは∠Aの二等分線
    である。

     このとき、
            
    が成り立つ。



 上記を証明するのに、余弦定理を用いるよりも、もっと簡便な方法があることをFNさんの
証明を見て思った。

(証明) △ABE∽△ADE より、 a/(x+y)=x/b

     すなわち、 x2+xy=ab

    また、方べきの定理より、 xy=mn

    したがって、 x2+mn=ab より、

      

    が成り立つ。  (証終)


(コメント) この証明を見るとまさに裏技の証明に相応しい証明ですね!
      絶対に忘れない...かな。


(追記) 平成25年9月28日付け

 角の2等分線の長さを求めるのに「なぜ唐突に外接円?」ということで、土佐高校の藤岡優
太先生が次のような別解を考えられた。円を使わないごく自然な解法だと思う。

  左図において、 △ABC=2△ADE+△BDE+△CDF

 ここで、 △ABC=(1/2)absin2θ

   △ADE=(1/2)Lsinθ・Lcosθ=(1/4)L2sin2θ

   △BDE+△CDF=(1/2)mnsin2θ

  したがって、 (1/2)absin2θ=(1/2)L2sin2θ+(1/2)mnsin2θ より、

   ab=L2+mn すなわち、 L2=ab−mn が成り立つ。


(コメント) 垂線を下ろして、三角形の面積を分割する発想に感動しました。


(追記) 平成26年1月25日付け

 角の2等分線というと、2等分線の長さを問うたり、線分の比を求める問題が多い。よく次
の図形が問題に用いられる。
      

 角の2等分線の性質から、BD : DC = 3 : 2 なので、BD=3、DC=2 となる。

 さらに、上図の場合、 C=2B という関係式が成り立つ。このような関係式が成り立つこ
と自体初体験であるが、新しい問題への発展の可能性を秘めているような予感がする。

  辺AB上に、AE=AC=4 となる点Eをとると、明ら
 かに、△ACD≡△AEDとなり、その結果として、

    △EBDは2等辺三角形

 となる。よって、

  ∠C=∠AED=2∠B より、 C=2B が成り立つ。





 上記の、五十嵐英夫先生(埼玉県立豊岡高校)の結果を用いれば、

   ∠ADC=(∠B+180°−2∠B)/2=90°−∠B/2

であることも分かる。


(コメント) 「三角形の内角の和は180度」という関係はとても美しい。数式化すれば、
  A+B+C=180°となる。上記の関係 2B−C=0 という関係もある意味で美しい。

 実は、次の事実が知られている。

 上記の△ABCの3辺の長さを、a=BC、b=CA、c=AB とすると、 c2=b(a+b) が、
成り立っている。このとき、一般に、

 (a,b,c)=(γ2−β2,β2,βγ)  (β、γは互いに素な自然数で、γ/2<β<γ)

と表される。逆に、三角形の3辺が上記の形に表されれば、必ず、2B−C=0 という関係
が成り立つ。

 上記の△ABCは、β=2、γ=3 という場合である。β、γの値を変えれば、2B−C=0
という関係を持つ△ABCは無数に作ることができる。


(追記) 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。
                                       (平成28年1月28日付け)

 △ABCがあり、次の各条件下のAの角度はそれぞれ何?ただし、∠Aの2等分線が辺BC
と交わる点をDとする。

(1) ∠B : ∠C = 2 : 1 で、 AB = CD

(2) ∠A : ∠C = 2 : 3 で、 AB+CD = AC

 しばらくぶりに考える時間が持てたので挑戦してみた。(1)は、何となく上記の「C=2B
の場合の図が参考になりそうな...予感。(平成28年4月11日付け)

(解)(1) 題意より、∠B : ∠C = 2 : 1 即ち、∠B=2∠C なので、△ABD≡△AEDとな
     るように点Eをとることができる。

     

 このとき、∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠Cより、∠EDC=∠Cとなるので、△EDC
は2等辺三角形となる。

 よって、AB = CD=a とおくと、AE=a で、BD=DE=EC=b とおけて、△ABCは、
CA=CB=a+b の2等辺三角形となる。

 したがって、 ∠A+∠A+(1/2)∠A=180°より、 ∠A=72°となる。

(2) 工事中