三角形の辺と角の関係というと、正弦定理や余弦定理が直ぐに思い起こされるが、
Ａ ≦ Ｂ ならば、 ａ ≦ ｂ
という関係も、基本的であり重要な性質と言えるだろう。 スローガン風に言えば、
最大辺には最大角が対応する
となる。いろいろな問題解決に役立つ知識である。
最近、次のような関係も成り立つことを知ることができた。
△ＡＢＣにおいて、
中央の項は、三角形の内角の加重平均（重み付き平均）である。
加重平均については次の定理が基本的である。
定理 実数 Ａ、Ｂ、Ｃ の加重平均を、ＷＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ）と書くとすると、
Ｍｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦ＷＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ）≦Ｍａｘ（Ａ，Ｂ，Ｃ）
が成り立つ。
（証明は、加重平均（重み付き平均）を参照）
上記の定理において、
Ｍｉｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）の最大値は、６０°
なので、不等式の左側は納得されるが、Ｍａｘ（Ａ，Ｂ，Ｃ）の取り得る範囲を考えると、不等
式の右側は直ぐには納得し得ない。三角形の内角という性質が大きく関与するためだろう。
（証明） 三角形の内角の和は、１８０°なので、上記の不等式を書き直せば、
２（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）＜（ａ＋ｂ＋ｃ）（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）≦３（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）
となる。この不等式が成り立つことを証明する。
（ａ＋ｂ＋ｃ）（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）−２（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）
＝ａＡ＋ａ（Ｂ＋Ｃ）＋ｂＢ＋ｂ（Ｃ＋Ａ）＋ｃＣ＋ｃ（Ａ＋Ｂ）−２（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）
＝ａ（Ｂ＋Ｃ）＋ｂ（Ｃ＋Ａ）＋ｃ（Ａ＋Ｂ）−（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）
＝（ｂ＋ｃ−ａ）Ａ＋（ｃ＋ａ−ｂ）Ｂ＋（ａ＋ｂ−ｃ）Ｃ
三角形において、
ｂ＋ｃ＞ａ 、ｃ＋ａ＞ｂ 、ａ＋ｂ＞ｃ
が成り立つので、
（ａ＋ｂ＋ｃ）（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）−２（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）＞０
すなわち、 ２（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）＜（ａ＋ｂ＋ｃ）（Ａ＋Ｂ＋Ｃ） が成り立つ。
３（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）−（ａ＋ｂ＋ｃ）（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
＝３（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）−ａＡ−ａ（Ｂ＋Ｃ）−ｂＢ−ｂ（Ｃ＋Ａ）−ｃＣ−ｃ（Ａ＋Ｂ）
＝２（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）−ａ（Ｂ＋Ｃ）−ｂ（Ｃ＋Ａ）−ｃ（Ａ＋Ｂ）
＝２ａＡ−ａ（Ｂ＋Ｃ）＋２ｂＢ−ｂ（Ｃ＋Ａ）＋２ｃＣ−ｃ（Ａ＋Ｂ）
＝ａ（Ａ−Ｂ）＋ａ（Ａ−Ｃ）＋ｂ（Ｂ−Ｃ）＋ｂ（Ｂ−Ａ）＋ｃ（Ｃ−Ａ）＋ｃ（Ｃ−Ｂ）
＝（ａ−ｂ）（Ａ−Ｂ）＋（ｂ−ｃ）（Ｂ−Ｃ）＋（ｃ−ａ）（Ｃ−Ａ）
ここで、冒頭の関係を用いて、
（ａ−ｂ）（Ａ−Ｂ）≧０ 、（ｂ−ｃ）（Ｂ−Ｃ）≧０ 、（ｃ−ａ）（Ｃ−Ａ）≧０
が成り立つので、
３（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ）−（ａ＋ｂ＋ｃ）（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）≧０
すなわち、 （ａ＋ｂ＋ｃ）（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）≦３（ａＡ＋ｂＢ＋ｃＣ） が成り立つ。
以上から、
が成り立つ。 （証終）
（コメント） 直観では信じられない結果が示されてちょっと感動的ですね！