思い通りのあみだくじを作る方法             戻る

 何かを決めるとき、あみだくじのお世話になる時が多い。そんなとき、ズルをして、「自分の
思う通りのあみだくじが作れればいいのになあ〜!!」と考える人は少なからずいると思う。

 例えば、意にそわない仕事の担当を決めるときとか、コンパで席順を決めるとき、意中の
人のそばに座れるようにするとか、その活用例はたくさんあるだろう。

 このページでは、あみだくじの作り方についてまとめてみたい。

 あみだくじは、何本かの垂直な縦線と何本かの横線からなるもので、横線どうしがつなが
らないようなものである。

 まず、任意の縦線の上方からスタートし、横線にぶつかったら、そこで横線の方に進み、
縦線にぶつかったら、そこで縦線を下の方へ進む。順次このような手順で、最下段まで進
み続ける。

 上記のようなあみだくじの図式が、阿弥陀仏の後光に似ていることから、あみだくじと言
われるようになったとのことである。

 あみだくじは、数学的にとらえれば単なる順列で
ある。右図のあみだくじを例にとると、数字の並び

   1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6

があみだくじにより、

   4 ,6 ,2 ,5 ,1 ,3

に並べかえられたにすぎない。
  

 数学の世界では、これを置換という。置換は必ず互換の積で表される。横線の1本1本
が互換に相当する。

 即ち、互換とは、2つのものの交換を意味する。

 ここでは逆に、1,2,3,4,5,6 の並びが、4,6,2,5,1,3 の並びになるようなあ
みだくじを作る手順を考えようということである。

 これができれば、自分の思う通りのあみだくじが作れるということになるわけである。

次のような手順で簡単に作ることができる。

    

一番右側の折れ線を直線に直せば、上図のあみだくじになる。

(追記) なんとはなしに、子供の書棚にある本を眺めていたら、あみだくじの作り方は、他
    にもあることを知った。それを紹介したい。

 それは、横線を何本か引いて、端の方から一つずつ決めていくやり方である。数字の個
数が多い場合は、この方法のほうが有効だと思う。上記の方法だと、線がこみいって、作
りにくいかもしれない。

 
   同じ置換なのに、このように複数のあみだくじができる。

   置換は、互換の積で表されるが、その表現は一意でないとい
  うことが、この事実からも分かる。

   (参考文献:秋山 仁著
              ワンダー数学ランド(日本放送出版協会))










(追記) 平成21年7月28日付け

 本日の朝日新聞朝刊で、小島寛之さん(帝京大准教授)のコラム「数学カフェ」があみだく
じの話題を取り上げている。

 横棒が1本もない「素あみだ」に興味を引かれた。

 コラムでは、

 縦棒が4本のあみだくじを一つ作り、さらにこれと同じくじを縦に12個つなげて新し
いあみだくじを作ると必ず素あみだになる


という。

 コラムの説明は次のようになっていた。(置換の言葉に修正!)

 例えば、巡回置換 ( 1 2 3 ) において、

   ( 1 2 3 )3=( 1 2 3 )( 1 2 3 )( 1 2 3 )= e (恒等置換)

 同様に、巡回置換 ( 1 2 3 4 ) において、

   ( 1 2 3 4 )4=( 1 2 3 4 )( 1 2 3 4 )( 1 2 3 4 )( 1 2 3 4 )= e (恒等置換)

となる。したがって、3 と 4 の最小公倍数である 12個つなげば必ず恒等置換になる。

 「ほんとにそうかな〜?」と思って自分なりに根拠を考えてみた。

 あみだくじは基本的に置換であり、置換は必ず偶置換か奇置換に分かれ同数ある。
                            ( → 参考:「15ゲームの不可能性の評価」)

したがって、その位数は、4!/2=12 であり、任意の置換 σ に対して、 σ12 = e が

成り立つ。
 (こんな理解でいいのかな?)


(追記) 「お好みのあみだくじをつくろう」と題して、GAI さんからの投稿です。
                                        (平成28年2月8日付け)

 古来日本では順番を決めるのにあみだくじなる道具を利用してきた。

 例えば、3本の線を引き、

1  2  3
|  |  |
|--|  |
|  |--|
|--|  |
|  |  |


なるあみだくじを引けば、結果は 3, 2, 1 の順になり、上で引いた順番と全く逆の結果となる。

 そこで、7本の線が引かれていた場合、上で引いた7人の順番が引いた結果全く入れ替わっ
てしまうあみだくじを構成してほしい。ただし、可能な限り横線の数が少なくなるものを示してほ
しい。

 答えは幾通りも作れるので、その一つを再現できる様に表現を工夫してアップして下さい。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年2月8日付け)

 3本のとき

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ならば、7本のときは

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がわかりやすそうですね。


(コメント) 当HPの「順列の転位」の話題とも関係するかな?