有理化の真実                              戻る

 分母の有理化というと、「おおよその数の大きさを求めるため」という視点の他に、「数の
拡張で商の定義が適切かを確認するため」という視点もあるということを、当HPがいつも
お世話になっているS(H)さんからの一連の課題からご教示いただいた。
                                     (平成21年2月25日付け)

例 有理数体Qに、数  を添加した体Q()において、1/ は、 1 と の線形
  結合で表される。

  中学校数学風にやれば、 1//2 なので、 1/=0・1+(1/2) であ
 るが、分母の有理化の一般化を想定すれば、次のような計算をするのだろう。

(解) x= は、2次方程式 x2−2=0 を満たす。(→ 2次式 x2−2 の零点!)

    このとき、 x2=2 より、 1=x2/2 で、 1/x=x/2

    したがって、 1//2=0・1+(1/2)  (終)

例 有理数体Qに、数  を添加した体Q()において、1/(+1) は、 1 と
  の線形結合で表される。

(解) x= は、2次方程式 x2−2=0 を満たす。(→ 2次式 x2−2 の零点!)

    このとき、 x2=2 より、 x2−1=1 で、 (x+1)(x−1)=1 より、

         1/(x+1)=x−1

    したがって、 1/(+1)=−1=(−1)・1+1・


(追記) 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、累乗根の有理化問題を出題
    されました。(平成27年5月4日付け)

 平方根の有理化で、 1/(1+-)=(2++)/4 とできる。では、

  P=1/(1+3√2-3√4) 、Q=1/(1+4√2-4√8) 、R=1/(1+5√64-5√4)

をそれぞれ有理化したらどんな式になるか?


 S(H)さんが考察されました。(平成27年5月4日付け)

 或る発想で解くと、

1/(1 + 64^(1/5) - 4^(1/5)) = (25 + 8・2^(1/5) + 9・2^(2/5) - 10・2^(3/5) + 29・2^(4/5))/161

 1/(1 + 2^(1/7) + 64^(1/5) - 4^(1/3))  と冪を変えた場合の有理化は?


 よおすけさんからのコメントです。(平成27年5月4日付け)

 P=1/(1+3√2-3√4) で間違いないですか?もし、P=1/(1+3√2+3√4) なら、分母、分子
に、(1-3√2)をかけて、3√2-1 となりますが。


 らすかるさんが考察されました。(平成27年5月4日付け)

 1/{1+2^(1/3)-4^(1/3)} は、 x=2^(1/3) とおけば、 1/(1+x-x2)

 ここで、1+x-x2=-x2+x+1 … (1)は、x倍して、 x2+x-2 … (2) (∵x3=2)

再度x倍して、 x2-2x+2 … (3) で、(2)+(1)は、2x-1 、(3)+(1)は、-x+3 より、

 {(2)+(1)}+2{(3)+(1)}=5 すなわち、 (1)×3+(2)+(3)×2=5 だから、(1+x-x2)(3+x+2x2)=5

よって、 1/(1+x-x2)=(3+x+2x2)/5=[3+2^(1/3)+2・4^(1/3)}/5

 1/{1+2^(1/4)-8^(1/4)} は、 x=2^(1/4) とおけば、 1/(1+x-x3)

 ここで、1+x-x3=-x3+x+1 … (1)は、x倍して、 x2+x-2 … (2) (∵x4=2)

再度x倍して、 x3+x2-2x … (3) 、再度x倍して、 x3-2x2+2 … (4) で、

 (1)+(3)は、 x2-x+1 … (5) 、(1)+(4)は、 -2x2+x+3 … (6) 、(2)-(5)は、2x-3 … (7)

 (2)×2+(6)は、 3x-1 … (8) 、(8)×2-(7)×3は、7 より、

{(2)×2+(1)+(4)}×2-{(2)-(1)-(3)}×3=7 すなわち、 (1)×5+(2)+(3)×3+(4)×2=7 だから、

  (1+x-x3)(5+x+3x2+2x3)=7

よって、 1/(1+x-x3)=(5+x+3x2+2x3)/7={5+2^(1/4)+3・4^(1/4)+2・8^(1/4)}/7

 1/{1+64^(1/5)-4^(1/5)} は、 x=4^(1/5)とおけば、 1/(1+x3-x)

 ここで、1+x3-x=x3-x+1 … (1)は、x倍して、 x4-x2+x … (2)

再度x倍して、 -x3+x2+4 … (3) (∵x5=4) 、再度x倍して、 -x4+x3+4x … (4)

再度x倍して、 x4+4x2-4 … (5) で、

 (2)+(4)は、 x3-x2+5x … (6) 、(4)+(5)は、 x3+4x2+4x-4 … (7)

 (1)+(3)は、 x2-x+5 … (8) 、(3)+(6)は、 5x+4 … (9) 、(3)+(7)は、 5x2+4x … (10)

 (10)-(8)×5は、 9x-25 … (11) 、(9)×9-(11)×5は、161 より、

  {(3)+(2)+(4)}×9-[(3)+(4)+(5)-{(1)+(3)}×5]×5=161

すなわち、 (1)×25+(2)×9+(3)×29+(4)×4-(5)×5=161 だから、

 (1+x3-x)(25+9x+29x2+4x3-5x4)=161

よって、1/(1+x3-x)=(25+9x+29x2+4x3-5x4)/161
           ={25+9・4^(1/5)+29・16^(1/5)+4・64^(1/5)-5・256^(1/5)}/161


(コメント) らすかるさんの解法は、「有理化の真実」の趣旨に沿うもので参考になります。

 1/(+1) の有理化を考える場合、らすかるさんの手法を使えば次のようになります。

 x= とおく。 x+1 ・・・(1) に、xを掛けて、 x2+x=x+2 ・・・(2) (∵x2=2) で、

 (2)-(1)は、1 より、 (x+1)(x-1)=1 だから、 1/(x+1)=x-1=-1


 当HPの掲示板「出会いの泉」の平成27年5月6日付けのS(H)さんのコメントを参考に
P=1/(1+3√2-3√4)の有理化の別解を考えてみた。

 3√2=x とおくと、P=1/(1+x-x2) で、x3=2 より、 x3-2=0

 (x3-2)÷(-x2+x+1) を計算して、商は、-x-1 で、余りは、2x-1

 (-x2+x+1)÷(2x-1) を計算して、商は、-(1/2)x+1/4 で、余りは、5/4

 よって、 x3-2=(-x2+x+1)(-x-1)+2x-1 、-x2+x+1=(2x-1)(-(1/2)x+1/4)+5/4 より、

  -x2+x+1={x3-2-(-x2+x+1)(-x-1)}(-(1/2)x+1/4)+5/4

すなわち、 (x3-2)((1/2)x-1/4)+(-x2+x+1){1+(-x-1)(-(1/2)x+1/4)}=5/4 より、

  (x3-2)((2/5)x-1/5)+(-x2+x+1)((2/5)x2+(1/5)x+3/5)=1 ・・・(*)

 上式に、x=3√2 を代入して、 P=[3+2^(1/3)+2・4^(1/3)}/5 が示される。


(コメント) 上式のベズーの等式(*)が有理化のための基本の式になるんですね!



   以下、工事中