オメガ（ω）の真実　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　「オメガ」というと、一般の方が真っ先に思い浮かぶイメージは時計かな？世界的に有名
なスイスの高級腕時計ブランド名なので当然かも．．．。２０世紀初頭に、『我社の時計は究
極だ』という自負から、「究極」、「最高」を意味するギリシャ語の最終文字「Ω＝オメガ」をブ
ランド名としたとのことである。

　このページで扱う「ω」は、１ の３乗根の方で、しかも、因数分解の究極の武器という意味
合いで、時計のブランド名に相通じるものがあるような．．．そんな雰囲気にしたいと思う。

　因数分解の問題で、「　ｘ⁴＋ｘ²＋１　を因数分解せよ。　」はよくある問題である。

　　ｘ⁴＋ｘ²＋１＝ｘ⁴＋２ｘ²＋１−ｘ²＝（ｘ²＋１）²−ｘ²＝（ｘ²＋ｘ＋１）（ｘ²−ｘ＋１）

　このように複２次式の因数分解は、「平方の差」の形に式変形することがポイントだろう。

　複２次式の因数分解ではないが、次の式の因数分解を問われたら、多分多くの初心者
の方は頭を抱えることになるだろう。

問　題　　ｘ⁵＋ｘ＋１　を因数分解せよ。

　これらの問題に対する有効な方法として、１ の３乗根 ω を用いる解法が知られている。

　３次方程式　ｘ³＝１　の３つの解の内、虚数解の１つを ω で表す。

　　　　　　

　ω の定義から、次の性質が成り立つ。

（１）
　　　　

（２）　ω³＝１

（３）　ω²＋ω＋１＝０

　これらの基本的な性質を用いると、上記の問題は鮮やかに解かれうる。

（解）　Ｆ（ｘ）＝ｘ⁵＋ｘ＋１　とおくと、　

　　　　　　Ｆ（ω）＝ω⁵＋ω＋１＝ω²＋ω＋１＝０

　　　　　　Ｆ（ω²）＝ω¹⁰＋ω²＋１＝ω²＋ω＋１＝０

　　よって、　Ｆ（ｘ）は、　（ｘ−ω）（ｘ−ω²）＝ｘ²＋ｘ＋１　で割り切れる。

　　　このとき、　ｘ⁵＋ｘ＋１＝（ｘ²＋ｘ＋１）（ｘ³−ｘ²＋１）　と書ける。　（終）


　この手法を、「　ｘ⁴＋ｘ²＋１　」の因数分解に適用すると次のようである。

（解）　Ｆ（ｘ）＝ｘ⁴＋ｘ²＋１　とおくと、　

　　　　　　Ｆ（ω）＝ω⁴＋ω²＋１＝ω²＋ω＋１＝０

　　　　　　Ｆ（ω²）＝ω⁸＋ω⁴＋１＝ω²＋ω＋１＝０

　　よって、　Ｆ（ｘ）は、　（ｘ−ω）（ｘ−ω²）＝ｘ²＋ｘ＋１　で割り切れる。

　　　このとき、　ｘ⁴＋ｘ²＋１＝（ｘ²＋ｘ＋１）（ｘ²−ｘ＋１）　と書ける。　（終）

（コメント）　高校時代に教わった複２次式の因数分解の手法は、とても技巧的な感じがし
　　　　　　て美しさが感じられなかったが、因数定理を活用したこの手法は、自然で感動
　　　　　　的ですね！

　この手法に病みつきになった方のために練習問題を残しておこう。

練習問題　次の式を因数分解せよ。

（１）　ｘ⁷＋ｘ²＋１

（２）　ｘ⁸＋ｘ＋１

（３）　ｘ¹⁰＋ｘ²＋１

（４）　ｘ¹¹＋ｘ＋１

　　・・・・・　熱帯夜の一服の清涼剤になったでしょうか？

（追記）　平成２０年９月２日付け

　ｘ²＋ｘ＋１ と ω の関係に注目する問題が、平成１５年度入試　京都大学　理系　で出題
された。

　（ｘ¹⁰⁰＋１）¹⁰⁰＋（ｘ²＋１）¹⁰⁰＋１　は、ｘ²＋ｘ＋１ で割り切れるか？

（解）　Ｆ（ｘ）＝（ｘ¹⁰⁰＋１）¹⁰⁰＋（ｘ²＋１）¹⁰⁰＋１　とおき、さらに、１ の３乗根を ω とおく。

　　　このとき、　ω³＝１　、　ω²＋ω＋１＝０　なので、

　　　Ｆ（ω）＝（ω¹⁰⁰＋１）¹⁰⁰＋（ω²＋１）¹⁰⁰＋１

　　　　　　　＝（ω＋１）¹⁰⁰＋（−ω）¹⁰⁰＋１

　　　　　　　＝（−ω²）¹⁰⁰＋（−ω）¹⁰⁰＋１

　　　　　　　＝ω²⁰⁰＋ω¹⁰⁰＋１

　　　　　　　＝ω²＋ω＋１

　　　　　　　＝０

　　同様にして、

　　　Ｆ（ω²）＝（ω²⁰⁰＋１）¹⁰⁰＋（ω⁴＋１）¹⁰⁰＋１

　　　　　　　＝（ω²＋１）¹⁰⁰＋（ω＋１）¹⁰⁰＋１

　　　　　　　＝（−ω）¹⁰⁰＋（−ω²）¹⁰⁰＋１

　　　　　　　＝ω²⁰⁰＋ω¹⁰⁰＋１

　　　　　　　＝ω²＋ω＋１

　　　　　　　＝０

　　よって、　Ｆ（ｘ）は、　（ｘ−ω）（ｘ−ω²）＝ｘ²＋ｘ＋１　で割り切れる。　（終）

（コメント）　京都大学は、「ωの真実」に触れたいい問題を出題しましたね！現役の高校生
　　　　　　にとっては、数学がよく分かっている者と分かっていない者の、ちょうど境界線くら
　　　　　　いに位置する問題でしょうか？京大を受験される方にとっては、もちろん「易」に分
　　　　　　類される問題ですね．．．。