当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんから頂いた話題である。
（当ＨＰの掲示板「出会いの泉」 平成２２年５月１５日付け）
数研出版の「数学難問集１００」の入門の部の２番に次のような問題がある。
ｎ は２以上の整数とする。
（１） ｎ で割ると １ 余る正の整数は ｎ と互いに素であることを示せ。
（２） （ｎ−１）ｎ（ｎ＋１） の正の約数の中で ｎ で割ると １ 余るものをすべて求めよ。
（出典：お茶の水女子大学入試問題）
ＦＮさんによれば、掲載されている解答（平成１９年４月発行）が全く解答になっていないと
のことである。
ＦＮさんは、これよりも難しいが、一般的な状況を表していると思われるという類題を作ら
れた。
ｎ は２以上の整数とする。
（１） ｎ で割ると １ 余る正の整数は ｎ と互いに素であることを示せ。
（２） ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２） の正の約数の中で ｎ で割ると １ 余るものをすべて求めよ。
この類題を解くことで、冒頭の問題の理解が深まるそうである。さらに、数研出版の解答
のような方法では解けないことも分かるとのことである。
ＦＮさんが、類題の解答を寄せられた。（一部多少文言等を修正させていただきました。）
（類題の解答）
（１） ｎ で割ると １ 余る正の整数は、０ 以上の整数 ｋ を用いて、 ｎ・ｋ＋１ とおける。
このとき、 ｎ・（−ｋ）＋（ｎ・ｋ＋１）・１＝１ なので、ｎ と ｎ・ｋ＋１ の公約数は １ 以外に
あり得ない。よって、ｎ と ｎ・ｋ＋１ は互いに素である。
（２） （１）と同様にして、ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）の正の約数で、ｎ で割ると １ 余る数は、０ 以上
の整数 ｋ を用いて、 ｎ・ｋ＋１ とおける。
ｋ＝０ のときの ｎ・ｋ＋１＝１ 、ｋ＝１ のときの ｎ・ｋ＋１＝ｎ＋１ は、ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）
の正の約数で、明らかに、ｎ で割ると １ 余る数である。
よって、以下では、ｋ は２以上の整数として考えてもよい。
ｎ・ｋ＋１ は、ｎ で割ると １ 余る正の整数なので、（１）より、ｎ と互いに素である。
したがって、ｎ・ｋ＋１ は、（ｎ＋１）（ｎ＋２）の約数となる。
このとき、 （ｎ＋１）（ｎ＋２）＝（ｎ・ｋ＋１）・ｍ （ｍ は整数） とおける。
ここで、 ｎ＋１＜（ｎ・ｋ＋１） なので、 ｎ＋２＞ｍ である。
また、（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝（ｎ・ｋ＋１）・ｍ の左辺は、ｎ で割ると余りが２なので、右辺の ｍ
も ｎ で割ると余りが２でなければならない。
ところが、ｎ＋２＞ｍ なので、ｍ＝２ となる。
このとき、 ｎ2＋３ｎ＋２＝２ｎ・ｋ＋２ において、
ｎ が偶数のとき、上式を満たす整数 ｋ は存在しない。
ｎ が奇数のとき、上式より、 ｋ＝（ｎ＋３）/２
以上から、ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）の正の約数で、ｎ で割ると １ 余る数は、
ｎ が偶数のとき、 １ と ｎ＋１ のみ
ｎ が奇数のとき、 １ と ｎ＋１ と ｎ（ｎ＋３）/２＋１ のみ
（コメント） ＦＮさん、とてもエレガントな解答ですね！感動しました。ＦＮさんに感謝します。
以下、工事中