整数問題                                 戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「FN」さんから頂いた話題である。
                   (当HPの掲示板「出会いの泉」 平成22年5月15日付け)

 数研出版の「数学難問集100」の入門の部の2番に次のような問題がある。

 n は2以上の整数とする。

(1) n で割ると 1 余る正の整数は n と互いに素であることを示せ。

(2) (n−1)n(n+1) の正の約数の中で n で割ると 1 余るものをすべて求めよ。

                              (出典:お茶の水女子大学入試問題)

 FNさんによれば、掲載されている解答(平成19年4月発行)が全く解答になっていないと
のことである。

 FNさんは、これよりも難しいが、一般的な状況を表していると思われるという類題を作ら
れた。

 n は2以上の整数とする。

(1) n で割ると 1 余る正の整数は n と互いに素であることを示せ。

(2) n(n+1)(n+2) の正の約数の中で n で割ると 1 余るものをすべて求めよ。

 この類題を解くことで、冒頭の問題の理解が深まるそうである。さらに、数研出版の解答
のような方法では解けないことも分かるとのことである。

 FNさんが、類題の解答を寄せられた。(一部多少文言等を修正させていただきました。)

(類題の解答)

(1) n で割ると 1 余る正の整数は、0 以上の整数 k を用いて、 n・k+1 とおける。

  このとき、 n・(−k)+(n・k+1)・1=1 なので、n と n・k+1 の公約数は 1 以外に

 あり得ない。よって、n と n・k+1 は互いに素である。

(2) (1)と同様にして、n(n+1)(n+2)の正の約数で、n で割ると 1 余る数は、0 以上

 の整数 k を用いて、 n・k+1 とおける。

 k=0 のときの n・k+1=1 、k=1 のときの n・k+1=n+1 は、n(n+1)(n+2)

 の正の約数で、明らかに、n で割ると 1 余る数である。

  よって、以下では、k は2以上の整数として考えてもよい。

 n・k+1 は、n で割ると 1 余る正の整数なので、(1)より、n と互いに素である。

  したがって、n・k+1 は、(n+1)(n+2)の約数となる。

 このとき、 (n+1)(n+2)=(n・k+1)・m (m は整数) とおける。

  ここで、 n+1<(n・k+1) なので、 n+2>m である。

 また、(n+1)(n+2)=(n・k+1)・m の左辺は、n で割ると余りが2なので、右辺の m

 も n で割ると余りが2でなければならない。

 ところが、n+2>m なので、m=2 となる。

  このとき、 n2+3n+2=2n・k+2 において、

 n が偶数のとき、上式を満たす整数 k は存在しない。

 n が奇数のとき、上式より、 k=(n+3)/2

  以上から、n(n+1)(n+2)の正の約数で、n で割ると 1 余る数は、

   n が偶数のとき、 1 と n+1 のみ

   n が奇数のとき、 1 と n+1 と n(n+3)/2+1 のみ

(コメント) FNさん、とてもエレガントな解答ですね!感動しました。FNさんに感謝します。


(追記) 平成26年5月24日付け

 不定方程式の問題で、解に条件をつければ整数問題となる。島根大学医学部(2014)で
は次のような問題が出題された。何れもパターン化された問題であり、受験問題集での経験
もあるはずなので、受験生にとっては容易な問題だったと思う。

島根大学医学部(2014)

 a、b、c、n を自然数とし、a≦b≦c かつ n(a+b+c)=abc を満たすとする。

(1) a=b=c のとき、nは3の倍数であることを示せ。

(2) n=3のとき、自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

(解)(1) 題意より、 3na=a3 なので、 3n=a2 となる。このとき、a2 すなわち、a は3

     の倍数となる。a=3k (kは自然数) と書けるので、 3n=9k2

     すなわち、 n=3k2 となり、nは3の倍数である。

(2) 題意より、 3(a+b+c)=abc≦9c なので、 ab≦9

  よって、 (a,b)=(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,7)、
                       (1,8)、(1,9)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,3)

   (a,b)=(1,1)、(1,2)、(1,3) のとき、 等式を満たす自然数cは存在しない。
   (a,b)=(1,4) のとき、 3(c+5)=4c より、 c=15
   (a,b)=(1,5) のとき、 3(c+6)=5c より、 c=9
   (a,b)=(1,6) のとき、 3(c+7)=6c より、 c=7
   (a,b)=(1,7) のとき、 3(c+8)=7c より、 c=6 (不適)
   (a,b)=(1,8) のとき、 3(c+9)=8c  この式を満たす自然数cは存在しない。
   (a,b)=(1,9) のとき、 3(c+10)=9c より、 c=5 (不適)
   (a,b)=(2,2) のとき、 3(c+4)=4c より、 c=12
   (a,b)=(2,3) のとき、 3(c+5)=6c より、 c=5
   (a,b)=(2,4) のとき、 3(c+6)=8c   この式を満たす自然数cは存在しない。
   (a,b)=(3,3) のとき、 3(c+6)=9c より、 c=3

 以上から、求める解は、

(a,b,c)=(1,4,15)、(1,5,9)、(1,6,7)、(2,2,12)、(2,3,5)、(3,3,3)

                                                    (終)

(追記) 平成26年12月23日付け

 今日は、天皇誕生日で満81歳を迎えられた。TVからは元気なお姿を拝見することが出来
た。思えば、昭和天皇陛下が崩御されたのが、昭和64年1月7日。翌日から元号は平成と
なった。

 学習院大学文学部入試問題(平成15年度)に次のような整数問題が出題された。

問 題  mを整数とする。方程式 mx2+16x+m+2=0 の解のうち少なくとも1つが整数
     であるようなmをすべて求めよ。

 どこから手をつけるべきか悩む問題なので、いくつか実験してみよう。

 m=0 のとき、 16x+2=0 は整数解を持たないから不適。
 m=1 のとき、 x2+16x+3=0 は整数解を持たないから不適。
 m=−1 のとき、 −x2+16x+1=0 は整数解を持たないから不適。
 m=2 のとき、 2x2+16x+4=0 は整数解を持たないから不適。
 m=−2 のとき、 −2x2+16x=0 は、2x(x−8)=0 と変形され、整数解 0、8 を持
つので、適である。
 m=3 のとき、 3x2+16x+5=0 は、(3x+1)(x+5)=0 と変形され、整数解 −5
を一つ持つので、適である。
  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 こんな風に一つ一つ確かめていけば、条件にあうmが順次求められ、実際の試験でも部
分点はいくらかはもらえるだろう。mの取り得る値の範囲を制限していないから、それほど
でもないかな?

 まず、mの取り得る値の範囲を求めて、そこから題意に適するものを選択するという考え
方でいいだろう。

 上記では具体的な整数解を見て、mの値を求めている。問題には整数解を求めよとは一
切書いていないが、少なくとも一つ整数解を持つような整数mを求めるためには、実際の解
がどうなるかを調べないと、mの値が適かどうかは判明しない。

(解) m≠0 としてよいので、方程式は2次方程式である。判別式をDとすると、

  D/4=64−m(m+2)=−m2−2m+64

 題意より、 −m2−2m+64≧0 すなわち、 m2+2m−64≦0

 (m+1)2−65≦0 より、 −√65≦m+1≦√65

 よって、 −8≦m+1≦8 より、 −9≦m≦7

 mは0以外の整数なので、 m=±1、±2、±3、±4、±5、±6、±7、−8、−9

 これらの値に対して、D/4=−m2−2m+64が0以上の平方数になるのは、

  m=−2、3、−5、6、7、−8、−9

 これらの値に対して、解 x=(−8±√(D/4))/m に整数が現れるのは、

   m=−2、3、−5、6、7、−9 ( ← m=−8のみ不適)  (終)


 DD++さんからのコメントです。(平成26年12月23日付け)

 受験数学的正攻法は間違いなく上記の解答でしょうけれど、出題側の想定はこの手順で
はないかな、と。

 m=0 のとき、明らかに不適。以下では m≠0 とする。両辺に m をかけて、

 m2x2+16mx+m2+2m=0 より、 (mx+8)2 + (m+1)2 = 65

ここで、mx+8 と m+1 はともに整数で、また 65 を平方和で表す方法は 1+64 と 16+49 のみ

よって順序や正負を考慮して、

  (mx+8,m+1) = (±1,±8)、 (±4,±7)、 (±7,±4)、 (±8,±1)

このうち m≠0 かつ x が整数となるのは、

  (m,x) = (7,-1)、 (-9,1)、 (6,-2)、 (3,-5)、 (-5,3)、 (-2,0)

すなわち、求める m の値は、 m=-9、-5、-2、3、6、7


 なぜ、これが出題者想定と思われるのかというと、判別式=0を解いたときに出てくる √65
というところに、「2次不定方程式の問題でたくさん解を持たせたい」「2通りの平方和で表せ
る数字を使えばそれが実現できる」「それを実現できるのは 4N+1 型素因数を非平方で2つ
もち、4N+3型はあっても全て平方な数」「そういう数字の最小は 5×13=65」という数学的背景
を利用して作ったのが見え隠れしているので……。

 一見するといきなり m 倍する突飛な解答にも見えますが、判別式が(高校数学的には)二
次方程式の解の公式を作るときに平方完成した残骸に由来していること、またそのときに両
辺を 4a 倍してから解くと平方完成で分数計算にならないこと、この2つを知っていれば「4m
倍して平方完成」はさほど特殊な変形ではないような気も。実際は、今回は16が偶数なので
4倍は不要でこんな感じになります。


(コメント) mに何らかの制限を設けるために判別式を利用したわけですが、DD++さんの解
      のように平方の和に変形することも可能なんですね。とても美しい解答に仕上がっ
      ています。DD++さんに感謝します。


   以下、工事中