円順列の数え上げ                         戻る

 相異なる n 個のものを円形に並べる場合の数が(n−1)!通りになることは、高校の数
学Aで学ぶ。 n 個のもののうちに、同じものがいくつか含まれる場合の円順列については
簡単に求める公式はないとされている。

例1 赤球2個、青球2個を円形に並べる場合の数を求めよ。

 この場合は、実際に図を書いて考えた方がはやいかな?答は下図の2通りしかない。

                  

 しかし、次の例の場合には図を書いて考えようとは思わないだろう!

例2 赤球4個、青球4個を円形に並べる場合の数を求めよ。

        

 赤球4個、青球4個を一列に並べる場合の数は、

         

である。これを円形に並べると、一般には、8通りずつ同じものができるが、赤球2個、青球

2個ずつ左右同順に並ぶ場合はこの限りでない。

 赤球2個、青球2個を一列に並べる場合の数は、

         

であるが、これを円形に並べるときにできる場合は次の2通りしかない。

              

 したがって、求める場合の数は、

       

(補足) 例2のように例1も計算で解こうと思ったら、次のように解けるだろう。

        

 上記の問題では赤球、青球の数が固定されていたが、次のように問題を拡張したらどう
だろうか?

問題  赤球、青球、黄球
                   

    の何れか4個を円形に並べる場合の数を求めよ。

            

(解) 4個全てが同色の場合は、  3×1=3 (通り)

    3個が同色で1個が異なる場合は、  31×21×1=6 (通り)

    2個ずつ同色の場合は、  32×2=6 (通り) (← 例1の結果利用)

    2個が同色で他の2球がそれぞれ異なる場合

       まず、色の場合の数は、31=3 (通り)で、そのうちの1通り、たとえば、赤球
     2個、青球1個、黄球1個の場合は、次の3通りができる。

              

      よって、この場合の数は、 31×3=9 (通り)

   以上から、求める場合の数は、
                        3+6+6+9=24 (通り)  (終)


 このような円順列の数え上げ問題に対して、バーンサイドの定理が知られている。

バーンサイドの定理

  集合 S の置換群 G によって誘起される同値関係による S の同値類の個数は、

            

 によって与えられる。
  ここで、|G|は、G に含まれる要素の個数、φ(σ) は、置換 σ で不変な S の要
素の個数を表すものとする。



 この定理を証明する前に、上記の問題に、この定理を適用して解いてみよう。

(別解) 集合 S は、下図のように番号の割り振られた場所に

           

   赤球、青球、黄球の何れか4個を並べる場合すべてを要素とする。

  したがって、その要素の個数は、 34=81 (個) ある。

   求める場合の数は、このうち回転により重なるものを同じものと見なして、異なる並べ

 方の総数に等しい。

   集合 G は、上記の円形の図形を時計回りに 0°の回転、90°の回転、180°の回

 転、270°の回転させる置換により構成される。

   その置換を、それぞれ σ0 、σ1 、σ2 、σ3 と表すと、

         G={ σ0 、σ1 、σ2 、σ3 } で、  |G|= 4

  である。 集合 G は、置換の合成 に関して群となる。単位元は、σ0 である。

   x 、 y ∈ S に対して、 ある置換 σ により、 σ(x)=y  であるとき、

               x 〜 y

  と定義する。このとき、 〜 は、置換群 G によって誘起される同値関係となる。

   よって、求める場合の数は、 同値関係 〜 による集合 S の同値類の個数に等しい。

   ここで、 φ(σ0)= σ0 により不変な S の要素の個数 =81

         φ(σ1)= σ1 により不変な S の要素の個数 =3

         φ(σ2)= σ2 により不変な S の要素の個数 =3×3=9

         φ(σ3)= σ3 により不変な S の要素の個数 =3

  したがって、バーンサイドの定理より、
                          (81+3+9+3)/4=24 (個)  (終)

 今まで経験のない新鮮な方法で、その解法の美しさに感動しました!その感動を与えてく
れたバーンサイドの定理をますます深く勉強しようと思った。そのために、置換群の基礎知
識をまずまとめることにしよう。

 群Gに含まれる元の個数(位数という)が有限個のとき、特に、有限群と言われる。群の
位数のことを記号で |G| と表すことは上記で用いた通りである。

例 3次方程式 x3=1 の解の集合を G とする。1 の3乗根を ω で表すと、

     G={ 1 , ω , ω2

 で、明らかに、Gは、乗法について群となる。その位数|G|は 3 である。

 Gはまた、{恒等変換、原点中心の120°回転、原点中心の240°回転}とも捉えること
ができる。

 Gは、下図のように番号が割り振られた集合 S={ 1 , 2 , 3 } の置換群となる。

           


 当HPがいつもお世話になっているHN「攻略法」さんが、冒頭の問題 例1、例2に取り組
まれました。(平成23年10月27日付け)

例1 赤球2個、青球2個を円形に並べる場合の数を求めよ。

 実際に計算してみた。赤球、青球をそれぞれ 1、2 とする。
すべての解は、4!/(2!2!)=6(通り)である。

 1: 1 1 2 2
σ0: 1 1 2 2 =3* 不変
σ1: 1 2 2 1 =6
σ2: 2 2 1 1 =12
σ3: 2 1 1 2 =9
No. 1  ← 異なる解
1 1 2 2
   2: 1 2 1 2
σ0: 1 2 1 2 =5* 不変
σ1: 2 1 2 1 =10
σ2: 1 2 1 2 =5 不変
σ3: 2 1 2 1 =10
No. 2
1 2 1 2
   3: 1 2 2 1
σ0: 1 2 2 1 =6* 不変
σ1: 2 2 1 1 =12
σ2: 2 1 1 2 =9
σ3: 1 1 2 2 =3*
 4: 2 1 1 2
σ0: 2 1 1 2 =9* 不変
σ1: 1 1 2 2 =3*
σ2: 1 2 2 1 =6
σ3: 2 2 1 1 =12
   5: 2 1 2 1
σ0: 2 1 2 1 =10* 不変
σ1: 1 2 1 2 =5*
σ2: 2 1 2 1 =10 不変
σ3: 1 2 1 2 =5
    6: 2 2 1 1
σ0: 2 2 1 1 =12* 不変
σ1: 2 1 1 2 =9*
σ2: 1 1 2 2 =3*
σ3: 1 2 2 1 =6

 よって、φ(σm)=6、0、2、0 より、(6+2)/4=2通り

 並びのパターンの抽出について

 上記の計算過程で、並びのパターンはすべて出現される。具体的には、2進法4桁の数に
対応付けられる。では、どれが異なる解のパターンなのか。

 たとえば、1122は、並びを2進法4桁の数と考えると、1122は0011として、

   0・23+0・22+1・22+1・20=3

と符号化する。回転させた他も同様に算出すると、この並びが最小値を示す。ここで、この
並びを「採用する」とする。(同様に考えて、最大値でもよい)

例2 赤球4個、青球4個を円形に並べる場合の数を求めよ。

  すべての解は、8!/(4!4!)=70通り

 1: 1 1 1 1 2 2 2 2
σ0: 1 1 1 1 2 2 2 2 =15* 不変
σ1: 1 1 1 2 2 2 2 1 =30
σ2: 1 1 2 2 2 2 1 1 =60
σ3: 1 2 2 2 2 1 1 1 =120
σ4: 2 2 2 2 1 1 1 1 =240
σ5: 2 2 2 1 1 1 1 2 =225
σ6: 2 2 1 1 1 1 2 2 =195
σ7: 2 1 1 1 1 2 2 2 =135
No. 1  ← 異なる解
1 1 1 1 2 2 2 2
   2: 1 1 1 2 1 2 2 2
σ0: 1 1 1 2 1 2 2 2 =23* 不変
σ1: 1 1 2 1 2 2 2 1 =46
σ2: 1 2 1 2 2 2 1 1 =92
σ3: 2 1 2 2 2 1 1 1 =184
σ4: 1 2 2 2 1 1 1 2 =113
σ5: 2 2 2 1 1 1 2 1 =226
σ6: 2 2 1 1 1 2 1 2 =197
σ7: 2 1 1 1 2 1 2 2 =139
No. 2
1 1 1 2 1 2 2 2
   3: 1 1 1 2 2 1 2 2
σ0: 1 1 1 2 2 1 2 2 =27* 不変
σ1: 1 1 2 2 1 2 2 1 =54
σ2: 1 2 2 1 2 2 1 1 =108
σ3: 2 2 1 2 2 1 1 1 =216
σ4: 2 1 2 2 1 1 1 2 =177
σ5: 1 2 2 1 1 1 2 2 =99
σ6: 2 2 1 1 1 2 2 1 =198
σ7: 2 1 1 1 2 2 1 2 =141
No. 3
1 1 1 2 2 1 2 2
 4: 1 1 1 2 2 2 1 2
σ0: 1 1 1 2 2 2 1 2 =29* 不変
σ1: 1 1 2 2 2 1 2 1 =58
σ2: 1 2 2 2 1 2 1 1 =116
σ3: 2 2 2 1 2 1 1 1 =232
σ4: 2 2 1 2 1 1 1 2 =209
σ5: 2 1 2 1 1 1 2 2 =163
σ6: 1 2 1 1 1 2 2 2 =71
σ7: 2 1 1 1 2 2 2 1 =142

No. 4
1 1 1 2 2 2 1 2
 5: 1 1 1 2 2 2 2 1
σ0: 1 1 1 2 2 2 2 1 =30* 不変
σ1: 1 1 2 2 2 2 1 1 =60
σ2: 1 2 2 2 2 1 1 1 =120
σ3: 2 2 2 2 1 1 1 1 =240
σ4: 2 2 2 1 1 1 1 2 =225
σ5: 2 2 1 1 1 1 2 2 =195
σ6: 2 1 1 1 1 2 2 2 =135
σ7: 1 1 1 1 2 2 2 2 =15*
 6: 1 1 2 1 1 2 2 2
σ0: 1 1 2 1 1 2 2 2 =39* 不変
σ1: 1 2 1 1 2 2 2 1 =78
σ2: 2 1 1 2 2 2 1 1 =156
σ3: 1 1 2 2 2 1 1 2 =57
σ4: 1 2 2 2 1 1 2 1 =114
σ5: 2 2 2 1 1 2 1 1 =228
σ6: 2 2 1 1 2 1 1 2 =201
σ7: 2 1 1 2 1 1 2 2 =147
No. 5
1 1 2 1 1 2 2 2
 7: 1 1 2 1 2 1 2 2
σ0: 1 1 2 1 2 1 2 2 =43* 不変
σ1: 1 2 1 2 1 2 2 1 =86
σ2: 2 1 2 1 2 2 1 1 =172
σ3: 1 2 1 2 2 1 1 2 =89
σ4: 2 1 2 2 1 1 2 1 =178
σ5: 1 2 2 1 1 2 1 2 =101
σ6: 2 2 1 1 2 1 2 1 =202
σ7: 2 1 1 2 1 2 1 2 =149
No. 6
1 1 2 1 2 1 2 2
 8: 1 1 2 1 2 2 1 2
σ0: 1 1 2 1 2 2 1 2 =45* 不変
σ1: 1 2 1 2 2 1 2 1 =90
σ2: 2 1 2 2 1 2 1 1 =180
σ3: 1 2 2 1 2 1 1 2 =105
σ4: 2 2 1 2 1 1 2 1 =210
σ5: 2 1 2 1 1 2 1 2 =165
σ6: 1 2 1 1 2 1 2 2 =75
σ7: 2 1 1 2 1 2 2 1 =150
No. 7
1 1 2 1 2 2 1 2
 9: 1 1 2 1 2 2 2 1
σ0: 1 1 2 1 2 2 2 1 =46* 不変
σ1: 1 2 1 2 2 2 1 1 =92
σ2: 2 1 2 2 2 1 1 1 =184
σ3: 1 2 2 2 1 1 1 2 =113
σ4: 2 2 2 1 1 1 2 1 =226
σ5: 2 2 1 1 1 2 1 2 =197
σ6: 2 1 1 1 2 1 2 2 =139
σ7: 1 1 1 2 1 2 2 2 =23*
10: 1 1 2 2 1 1 2 2
σ0: 1 1 2 2 1 1 2 2 =51* 不変
σ1: 1 2 2 1 1 2 2 1 =102
σ2: 2 2 1 1 2 2 1 1 =204
σ3: 2 1 1 2 2 1 1 2 =153
σ4: 1 1 2 2 1 1 2 2 =51 不変
σ5: 1 2 2 1 1 2 2 1 =102
σ6: 2 2 1 1 2 2 1 1 =204
σ7: 2 1 1 2 2 1 1 2 =153
No. 8
1 1 2 2 1 1 2 2
11: 1 1 2 2 1 2 1 2
σ0: 1 1 2 2 1 2 1 2 =53* 不変
σ1: 1 2 2 1 2 1 2 1 =106
σ2: 2 2 1 2 1 2 1 1 =212
σ3: 2 1 2 1 2 1 1 2 =169
σ4: 1 2 1 2 1 1 2 2 =83
σ5: 2 1 2 1 1 2 2 1 =166
σ6: 1 2 1 1 2 2 1 2 =77
σ7: 2 1 1 2 2 1 2 1 =154
No. 9
1 1 2 2 1 2 1 2
12: 1 1 2 2 1 2 2 1
σ0: 1 1 2 2 1 2 2 1 =54* 不変
σ1: 1 2 2 1 2 2 1 1 =108
σ2: 2 2 1 2 2 1 1 1 =216
σ3: 2 1 2 2 1 1 1 2 =177
σ4: 1 2 2 1 1 1 2 2 =99
σ5: 2 2 1 1 1 2 2 1 =198
σ6: 2 1 1 1 2 2 1 2 =141
σ7: 1 1 1 2 2 1 2 2 =27*
13: 1 1 2 2 2 1 1 2
σ0: 1 1 2 2 2 1 1 2 =57* 不変
σ1: 1 2 2 2 1 1 2 1 =114
σ2: 2 2 2 1 1 2 1 1 =228
σ3: 2 2 1 1 2 1 1 2 =201
σ4: 2 1 1 2 1 1 2 2 =147
σ5: 1 1 2 1 1 2 2 2 =39*
σ6: 1 2 1 1 2 2 2 1 =78
σ7: 2 1 1 2 2 2 1 1 =156
14: 1 1 2 2 2 1 2 1
σ0: 1 1 2 2 2 1 2 1 =58* 不変
σ1: 1 2 2 2 1 2 1 1 =116
σ2: 2 2 2 1 2 1 1 1 =232
σ3: 2 2 1 2 1 1 1 2 =209
σ4: 2 1 2 1 1 1 2 2 =163
σ5: 1 2 1 1 1 2 2 2 =71
σ6: 2 1 1 1 2 2 2 1 =142
σ7: 1 1 1 2 2 2 1 2 =29*
15: 1 1 2 2 2 2 1 1
σ0: 1 1 2 2 2 2 1 1 =60* 不変
σ1: 1 2 2 2 2 1 1 1 =120
σ2: 2 2 2 2 1 1 1 1 =240
σ3: 2 2 2 1 1 1 1 2 =225
σ4: 2 2 1 1 1 1 2 2 =195
σ5: 2 1 1 1 1 2 2 2 =135
σ6: 1 1 1 1 2 2 2 2 =15*
σ7: 1 1 1 2 2 2 2 1 =30
16: 1 2 1 1 1 2 2 2
σ0: 1 2 1 1 1 2 2 2 =71* 不変
σ1: 2 1 1 1 2 2 2 1 =142
σ2: 1 1 1 2 2 2 1 2 =29*
σ3: 1 1 2 2 2 1 2 1 =58
σ4: 1 2 2 2 1 2 1 1 =116
σ5: 2 2 2 1 2 1 1 1 =232
σ6: 2 2 1 2 1 1 1 2 =209
σ7: 2 1 2 1 1 1 2 2 =163
17: 1 2 1 1 2 1 2 2
σ0: 1 2 1 1 2 1 2 2 =75* 不変
σ1: 2 1 1 2 1 2 2 1 =150
σ2: 1 1 2 1 2 2 1 2 =45*
σ3: 1 2 1 2 2 1 2 1 =90
σ4: 2 1 2 2 1 2 1 1 =180
σ5: 1 2 2 1 2 1 1 2 =105
σ6: 2 2 1 2 1 1 2 1 =210
σ7: 2 1 2 1 1 2 1 2 =165
18: 1 2 1 1 2 2 1 2
σ0: 1 2 1 1 2 2 1 2 =77* 不変
σ1: 2 1 1 2 2 1 2 1 =154
σ2: 1 1 2 2 1 2 1 2 =53*
σ3: 1 2 2 1 2 1 2 1 =106
σ4: 2 2 1 2 1 2 1 1 =212
σ5: 2 1 2 1 2 1 1 2 =169
σ6: 1 2 1 2 1 1 2 2 =83
σ7: 2 1 2 1 1 2 2 1 =166
19: 1 2 1 1 2 2 2 1
σ0: 1 2 1 1 2 2 2 1 =78* 不変
σ1: 2 1 1 2 2 2 1 1 =156
σ2: 1 1 2 2 2 1 1 2 =57*
σ3: 1 2 2 2 1 1 2 1 =114
σ4: 2 2 2 1 1 2 1 1 =228
σ5: 2 2 1 1 2 1 1 2 =201
σ6: 2 1 1 2 1 1 2 2 =147
σ7: 1 1 2 1 1 2 2 2 =39*
20: 1 2 1 2 1 1 2 2
σ0: 1 2 1 2 1 1 2 2 =83* 不変
σ1: 2 1 2 1 1 2 2 1 =166
σ2: 1 2 1 1 2 2 1 2 =77*
σ3: 2 1 1 2 2 1 2 1 =154
σ4: 1 1 2 2 1 2 1 2 =53*
σ5: 1 2 2 1 2 1 2 1 =106
σ6: 2 2 1 2 1 2 1 1 =212
σ7: 2 1 2 1 2 1 1 2 =169
21: 1 2 1 2 1 2 1 2
σ0: 1 2 1 2 1 2 1 2 =85* 不変
σ1: 2 1 2 1 2 1 2 1 =170
σ2: 1 2 1 2 1 2 1 2 =85 不変
σ3: 2 1 2 1 2 1 2 1 =170
σ4: 1 2 1 2 1 2 1 2 =85 不変
σ5: 2 1 2 1 2 1 2 1 =170
σ6: 1 2 1 2 1 2 1 2 =85 不変
σ7: 2 1 2 1 2 1 2 1 =170
No. 10
1 2 1 2 1 2 1 2
22: 1 2 1 2 1 2 2 1
σ0: 1 2 1 2 1 2 2 1 =86* 不変
σ1: 2 1 2 1 2 2 1 1 =172
σ2: 1 2 1 2 2 1 1 2 =89
σ3: 2 1 2 2 1 1 2 1 =178
σ4: 1 2 2 1 1 2 1 2 =101
σ5: 2 2 1 1 2 1 2 1 =202
σ6: 2 1 1 2 1 2 1 2 =149
σ7: 1 1 2 1 2 1 2 2 =43*
23: 1 2 1 2 2 1 1 2
σ0: 1 2 1 2 2 1 1 2 =89* 不変
σ1: 2 1 2 2 1 1 2 1 =178
σ2: 1 2 2 1 1 2 1 2 =101
σ3: 2 2 1 1 2 1 2 1 =202
σ4: 2 1 1 2 1 2 1 2 =149
σ5: 1 1 2 1 2 1 2 2 =43*
σ6: 1 2 1 2 1 2 2 1 =86
σ7: 2 1 2 1 2 2 1 1 =172
24: 1 2 1 2 2 1 2 1
σ0: 1 2 1 2 2 1 2 1 =90* 不変
σ1: 2 1 2 2 1 2 1 1 =180
σ2: 1 2 2 1 2 1 1 2 =105
σ3: 2 2 1 2 1 1 2 1 =210
σ4: 2 1 2 1 1 2 1 2 =165
σ5: 1 2 1 1 2 1 2 2 =75*
σ6: 2 1 1 2 1 2 2 1 =150
σ7: 1 1 2 1 2 2 1 2 =45*
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σ0: 2 2 1 1 2 2 1 1 =204* 不変
σ1: 2 1 1 2 2 1 1 2 =153*
σ2: 1 1 2 2 1 1 2 2 =51*
σ3: 1 2 2 1 1 2 2 1 =102
σ4: 2 2 1 1 2 2 1 1 =204 不変
σ5: 2 1 1 2 2 1 1 2 =153
σ6: 1 1 2 2 1 1 2 2 =51
σ7: 1 2 2 1 1 2 2 1 =102
62: 2 2 1 2 1 1 1 2
σ0: 2 2 1 2 1 1 1 2 =209* 不変
σ1: 2 1 2 1 1 1 2 2 =163*
σ2: 1 2 1 1 1 2 2 2 =71*
σ3: 2 1 1 1 2 2 2 1 =142
σ4: 1 1 1 2 2 2 1 2 =29*
σ5: 1 1 2 2 2 1 2 1 =58
σ6: 1 2 2 2 1 2 1 1 =116
σ7: 2 2 2 1 2 1 1 1 =232
63: 2 2 1 2 1 1 2 1
σ0: 2 2 1 2 1 1 2 1 =210* 不変
σ1: 2 1 2 1 1 2 1 2 =165*
σ2: 1 2 1 1 2 1 2 2 =75*
σ3: 2 1 1 2 1 2 2 1 =150
σ4: 1 1 2 1 2 2 1 2 =45*
σ5: 1 2 1 2 2 1 2 1 =90
σ6: 2 1 2 2 1 2 1 1 =180
σ7: 1 2 2 1 2 1 1 2 =105
64: 2 2 1 2 1 2 1 1
σ0: 2 2 1 2 1 2 1 1 =212* 不変
σ1: 2 1 2 1 2 1 1 2 =169*
σ2: 1 2 1 2 1 1 2 2 =83*
σ3: 2 1 2 1 1 2 2 1 =166
σ4: 1 2 1 1 2 2 1 2 =77*
σ5: 2 1 1 2 2 1 2 1 =154
σ6: 1 1 2 2 1 2 1 2 =53*
σ7: 1 2 2 1 2 1 2 1 =106
65: 2 2 1 2 2 1 1 1
σ0: 2 2 1 2 2 1 1 1 =216* 不変
σ1: 2 1 2 2 1 1 1 2 =177*
σ2: 1 2 2 1 1 1 2 2 =99*
σ3: 2 2 1 1 1 2 2 1 =198
σ4: 2 1 1 1 2 2 1 2 =141
σ5: 1 1 1 2 2 1 2 2 =27*
σ6: 1 1 2 2 1 2 2 1 =54
σ7: 1 2 2 1 2 2 1 1 =108
66: 2 2 2 1 1 1 1 2
σ0: 2 2 2 1 1 1 1 2 =225* 不変
σ1: 2 2 1 1 1 1 2 2 =195*
σ2: 2 1 1 1 1 2 2 2 =135*
σ3: 1 1 1 1 2 2 2 2 =15*
σ4: 1 1 1 2 2 2 2 1 =30
σ5: 1 1 2 2 2 2 1 1 =60
σ6: 1 2 2 2 2 1 1 1 =120
σ7: 2 2 2 2 1 1 1 1 =240
67: 2 2 2 1 1 1 2 1
σ0: 2 2 2 1 1 1 2 1 =226* 不変
σ1: 2 2 1 1 1 2 1 2 =197*
σ2: 2 1 1 1 2 1 2 2 =139*
σ3: 1 1 1 2 1 2 2 2 =23*
σ4: 1 1 2 1 2 2 2 1 =46
σ5: 1 2 1 2 2 2 1 1 =92
σ6: 2 1 2 2 2 1 1 1 =184
σ7: 1 2 2 2 1 1 1 2 =113
68: 2 2 2 1 1 2 1 1
σ0: 2 2 2 1 1 2 1 1 =228* 不変
σ1: 2 2 1 1 2 1 1 2 =201*
σ2: 2 1 1 2 1 1 2 2 =147*
σ3: 1 1 2 1 1 2 2 2 =39*
σ4: 1 2 1 1 2 2 2 1 =78
σ5: 2 1 1 2 2 2 1 1 =156
σ6: 1 1 2 2 2 1 1 2 =57
σ7: 1 2 2 2 1 1 2 1 =114
69: 2 2 2 1 2 1 1 1
σ0: 2 2 2 1 2 1 1 1 =232* 不変
σ1: 2 2 1 2 1 1 1 2 =209*
σ2: 2 1 2 1 1 1 2 2 =163*
σ3: 1 2 1 1 1 2 2 2 =71*
σ4: 2 1 1 1 2 2 2 1 =142
σ5: 1 1 1 2 2 2 1 2 =29*
σ6: 1 1 2 2 2 1 2 1 =58
σ7: 1 2 2 2 1 2 1 1 =116
70: 2 2 2 2 1 1 1 1
σ0: 2 2 2 2 1 1 1 1 =240* 不変
σ1: 2 2 2 1 1 1 1 2 =225*
σ2: 2 2 1 1 1 1 2 2 =195*
σ3: 2 1 1 1 1 2 2 2 =135*
σ4: 1 1 1 1 2 2 2 2 =15*
σ5: 1 1 1 2 2 2 2 1 =30
σ6: 1 1 2 2 2 2 1 1 =60
σ7: 1 2 2 2 2 1 1 1 =120

 よって、φ(σm)=70、0、2、0、6、0、2、0 より、10通り

問題  赤球、青球、黄球の何れか4個を円形に並べる場合の数を求めよ。

 すべての解は、34=81通り

 1: 1 1 1 1
σ0: 1 1 1 1 =0* 不変
σ1: 1 1 1 1 =0 不変
σ2: 1 1 1 1 =0 不変
σ3: 1 1 1 1 =0 不変
No. 1
1 1 1 1
   2: 1 1 1 2
σ0: 1 1 1 2 =1* 不変
σ1: 1 1 2 1 =3
σ2: 1 2 1 1 =9
σ3: 2 1 1 1 =27
No. 2
1 1 1 2
   3: 1 1 1 3
σ0: 1 1 1 3 =2* 不変
σ1: 1 1 3 1 =6
σ2: 1 3 1 1 =18
σ3: 3 1 1 1 =54
No. 3
1 1 1 3
 4: 1 1 2 1
σ0: 1 1 2 1 =3* 不変
σ1: 1 2 1 1 =9
σ2: 2 1 1 1 =27
σ3: 1 1 1 2 =1*
 5: 1 1 2 2
σ0: 1 1 2 2 =4* 不変
σ1: 1 2 2 1 =12
σ2: 2 2 1 1 =36
σ3: 2 1 1 2 =28
No. 4
1 1 2 2
 5: 1 1 2 3
σ0: 1 1 2 3 =5* 不変
σ1: 1 2 3 1 =15
σ2: 2 3 1 1 =45
σ3: 3 1 1 2 =55
No. 5
1 1 2 3
 7: 1 1 3 1
σ0: 1 1 3 1 =6* 不変
σ1: 1 3 1 1 =18
σ2: 3 1 1 1 =54
σ3: 1 1 1 3 =2*
 8: 1 1 3 2
σ0: 1 1 3 2 =7* 不変
σ1: 1 3 2 1 =21
σ2: 3 2 1 1 =63
σ3: 2 1 1 3 =29
No. 6
1 1 3 2
 9: 1 1 3 3
σ0: 1 1 3 3 =8* 不変
σ1: 1 3 3 1 =24
σ2: 3 3 1 1 =72
σ3: 3 1 1 3 =56
No. 7
1 1 3 3
10: 1 2 1 1
σ0: 1 2 1 1 =9* 不変
σ1: 2 1 1 1 =27
σ2: 1 1 1 2 =1*
σ3: 1 1 2 1 =3
11: 1 2 1 2
σ0: 1 2 1 2 =10* 不変
σ1: 2 1 2 1 =30
σ2: 1 2 1 2 =10 不変
σ3: 2 1 2 1 =30
No. 8
1 2 1 2
12: 1 2 1 3
σ0: 1 2 1 3 =11* 不変
σ1: 2 1 3 1 =33
σ2: 1 3 1 2 =19
σ3: 3 1 2 1 =57
No. 9
1 2 1 3
13: 1 2 2 1
σ0: 1 2 2 1 =12* 不変
σ1: 2 2 1 1 =36
σ2: 2 1 1 2 =28
σ3: 1 1 2 2 =4*
14: 1 2 2 2
σ0: 1 2 2 2 =13* 不変
σ1: 2 2 2 1 =39
σ2: 2 2 1 2 =37
σ3: 2 1 2 2 =31
No. 10
1 2 2 2
15: 1 2 2 3
σ0: 1 2 2 3 =14* 不変
σ1: 2 2 3 1 =42
σ2: 2 3 1 2 =46
σ3: 3 1 2 2 =58
No. 11
1 2 2 3
16: 1 2 3 1
σ0: 1 2 3 1 =15* 不変
σ1: 2 3 1 1 =45
σ2: 3 1 1 2 =55
σ3: 1 1 2 3 =5*
17: 1 2 3 2
σ0: 1 2 3 2 =16* 不変
σ1: 2 3 2 1 =48
σ2: 3 2 1 2 =64
σ3: 2 1 2 3 =32
No. 12
1 2 3 2
18: 1 2 3 3
σ0: 1 2 3 3 =17* 不変
σ1: 2 3 3 1 =51
σ2: 3 3 1 2 =73
σ3: 3 1 2 3 =59
No. 13
1 2 3 3
19: 1 3 1 1
σ0: 1 3 1 1 =18* 不変
σ1: 3 1 1 1 =54
σ2: 1 1 1 3 =2*
σ3: 1 1 3 1 =6
20: 1 3 1 2
σ0: 1 3 1 2 =19* 不変
σ1: 3 1 2 1 =57
σ2: 1 2 1 3 =11*
σ3: 2 1 3 1 =33
21: 1 3 1 3
σ0: 1 3 1 3 =20* 不変
σ1: 3 1 3 1 =60
σ2: 1 3 1 3 =20 不変
σ3: 3 1 3 1 =60
No. 14
1 3 1 3
22: 1 3 2 1
σ0: 1 3 2 1 =21* 不変
σ1: 3 2 1 1 =63
σ2: 2 1 1 3 =29
σ3: 1 1 3 2 =7*
23: 1 3 2 2
σ0: 1 3 2 2 =22* 不変
σ1: 3 2 2 1 =66
σ2: 2 2 1 3 =38
σ3: 2 1 3 2 =34
No. 15
1 3 2 2
24: 1 3 2 3
σ0: 1 3 2 3 =23* 不変
σ1: 3 2 3 1 =69
σ2: 2 3 1 3 =47
σ3: 3 1 3 2 =61
No. 16
1 3 2 3
25: 1 3 3 1
σ0: 1 3 3 1 =24* 不変
σ1: 3 3 1 1 =72
σ2: 3 1 1 3 =56
σ3: 1 1 3 3 =8*
26: 1 3 3 2
σ0: 1 3 3 2 =25* 不変
σ1: 3 3 2 1 =75
σ2: 3 2 1 3 =65
σ3: 2 1 3 3 =35
No. 17
1 3 3 2
27: 1 3 3 3
σ0: 1 3 3 3 =26* 不変
σ1: 3 3 3 1 =78
σ2: 3 3 1 3 =74
σ3: 3 1 3 3 =62
No. 18
1 3 3 3
28: 2 1 1 1
σ0: 2 1 1 1 =27* 不変
σ1: 1 1 1 2 =1*
σ2: 1 1 2 1 =3
σ3: 1 2 1 1 =9
29: 2 1 1 2
σ0: 2 1 1 2 =28* 不変
σ1: 1 1 2 2 =4*
σ2: 1 2 2 1 =12
σ3: 2 2 1 1 =36
30: 2 1 1 3
σ0: 2 1 1 3 =29* 不変
σ1: 1 1 3 2 =7*
σ2: 1 3 2 1 =21
σ3: 3 2 1 1 =63
31: 2 1 2 1
σ0: 2 1 2 1 =30* 不変
σ1: 1 2 1 2 =10*
σ2: 2 1 2 1 =30 不変
σ3: 1 2 1 2 =10
32: 2 1 2 2
σ0: 2 1 2 2 =31* 不変
σ1: 1 2 2 2 =13*
σ2: 2 2 2 1 =39
σ3: 2 2 1 2 =37
33: 2 1 2 3
σ0: 2 1 2 3 =32* 不変
σ1: 1 2 3 2 =16*
σ2: 2 3 2 1 =48
σ3: 3 2 1 2 =64
34: 2 1 3 1
σ0: 2 1 3 1 =33* 不変
σ1: 1 3 1 2 =19*
σ2: 3 1 2 1 =57
σ3: 1 2 1 3 =11*
35: 2 1 3 2
σ0: 2 1 3 2 =34* 不変
σ1: 1 3 2 2 =22*
σ2: 3 2 2 1 =66
σ3: 2 2 1 3 =38
36: 2 1 3 3
σ0: 2 1 3 3 =35* 不変
σ1: 1 3 3 2 =25*
σ2: 3 3 2 1 =75
σ3: 3 2 1 3 =65
37: 2 2 1 1
σ0: 2 2 1 1 =36* 不変
σ1: 2 1 1 2 =28*
σ2: 1 1 2 2 =4*
σ3: 1 2 2 1 =12
38: 2 2 1 2
σ0: 2 2 1 2 =37* 不変
σ1: 2 1 2 2 =31*
σ2: 1 2 2 2 =13*
σ3: 2 2 2 1 =39
39: 2 2 1 3
σ0: 2 2 1 3 =38* 不変
σ1: 2 1 3 2 =34*
σ2: 1 3 2 2 =22*
σ3: 3 2 2 1 =66
40 : 2 2 2 1
σ0: 2 2 2 1 =39* 不変
σ1: 2 2 1 2 =37*
σ2: 2 1 2 2 =31*
σ3: 1 2 2 2 =13*
41: 2 2 2 2
σ0: 2 2 2 2 =40* 不変
σ1: 2 2 2 2 =40 不変
σ2: 2 2 2 2 =40 不変
σ3: 2 2 2 2 =40 不変
No. 19
2 2 2 2
42: 2 2 2 3
σ0: 2 2 2 3 =41* 不変
σ1: 2 2 3 2 =43
σ2: 2 3 2 2 =49
σ3: 3 2 2 2 =67
No. 20
2 2 2 3
43: 2 2 3 1
σ0: 2 2 3 1 =42* 不変
σ1: 2 3 1 2 =46
σ2: 3 1 2 2 =58
σ3: 1 2 2 3 =14*
44: 2 2 3 2
σ0: 2 2 3 2 =43* 不変
σ1: 2 3 2 2 =49
σ2: 3 2 2 2 =67
σ3: 2 2 2 3 =41*
45: 2 2 3 3
σ0: 2 2 3 3 =44* 不変
σ1: 2 3 3 2 =52
σ2: 3 3 2 2 =76
σ3: 3 2 2 3 =68
No. 21
2 2 3 3
46: 2 3 1 1
σ0: 2 3 1 1 =45* 不変
σ1: 3 1 1 2 =55
σ2: 1 1 2 3 =5*
σ3: 1 2 3 1 =15
47: 2 3 1 2
σ0: 2 3 1 2 =46* 不変
σ1: 3 1 2 2 =58
σ2: 1 2 2 3 =14*
σ3: 2 2 3 1 =42
48: 2 3 1 3
σ0: 2 3 1 3 =47* 不変
σ1: 3 1 3 2 =61
σ2: 1 3 2 3 =23*
σ3: 3 2 3 1 =69
49: 2 3 2 1
σ0: 2 3 2 1 =48* 不変
σ1: 3 2 1 2 =64
σ2: 2 1 2 3 =32*
σ3: 1 2 3 2 =16*
50: 2 3 2 2
σ0: 2 3 2 2 =49* 不変
σ1: 3 2 2 2 =67
σ2: 2 2 2 3 =41*
σ3: 2 2 3 2 =43
51: 2 3 2 3
σ0: 2 3 2 3 =50* 不変
σ1: 3 2 3 2 =70
σ2: 2 3 2 3 =50 不変
σ3: 3 2 3 2 =70
No. 22
2 3 2 3
52: 2 3 3 1
σ0: 2 3 3 1 =51* 不変
σ1: 3 3 1 2 =73
σ2: 3 1 2 3 =59
σ3: 1 2 3 3 =17*
53: 2 3 3 2
σ0: 2 3 3 2 =52* 不変
σ1: 3 3 2 2 =76
σ2: 3 2 2 3 =68
σ3: 2 2 3 3 =44*
54: 2 3 3 3
σ0: 2 3 3 3 =53* 不変
σ1: 3 3 3 2 =79
σ2: 3 3 2 3 =77
σ3: 3 2 3 3 =71
No. 23
2 3 3 3
55: 3 1 1 1
σ0: 3 1 1 1 =54* 不変
σ1: 1 1 1 3 =2*
σ2: 1 1 3 1 =6
σ3: 1 3 1 1 =18
56: 3 1 1 2
σ0: 3 1 1 2 =55* 不変
σ1: 1 1 2 3 =5*
σ2: 1 2 3 1 =15
σ3: 2 3 1 1 =45
57: 3 1 1 3
σ0: 3 1 1 3 =56* 不変
σ1: 1 1 3 3 =8*
σ2: 1 3 3 1 =24
σ3: 3 3 1 1 =72
58: 3 1 2 1
σ0: 3 1 2 1 =57* 不変
σ1: 1 2 1 3 =11*
σ2: 2 1 3 1 =33
σ3: 1 3 1 2 =19
59: 3 1 2 2
σ0: 3 1 2 2 =58* 不変
σ1: 1 2 2 3 =14*
σ2: 2 2 3 1 =42
σ3: 2 3 1 2 =46
60: 3 1 2 3
σ0: 3 1 2 3 =59* 不変
σ1: 1 2 3 3 =17*
σ2: 2 3 3 1 =51
σ3: 3 3 1 2 =73
61: 3 1 3 1
σ0: 3 1 3 1 =60* 不変
σ1: 1 3 1 3 =20*
σ2: 3 1 3 1 =60 不変
σ3: 1 3 1 3 =20
62: 3 1 3 2
σ0: 3 1 3 2 =61* 不変
σ1: 1 3 2 3 =23*
σ2: 3 2 3 1 =69
σ3: 2 3 1 3 =47
63: 3 1 3 3
σ0: 3 1 3 3 =62* 不変
σ1: 1 3 3 3 =26*
σ2: 3 3 3 1 =78
σ3: 3 3 1 3 =74
64: 3 2 1 1
σ0: 3 2 1 1 =63* 不変
σ1: 2 1 1 3 =29*
σ2: 1 1 3 2 =7*
σ3: 1 3 2 1 =21
65: 3 2 1 2
σ0: 3 2 1 2 =64* 不変
σ1: 2 1 2 3 =32*
σ2: 1 2 3 2 =16*
σ3: 2 3 2 1 =48
66: 3 2 1 3
σ0: 3 2 1 3 =65* 不変
σ1: 2 1 3 3 =35*
σ2: 1 3 3 2 =25*
σ3: 3 3 2 1 =75
67: 3 2 2 1
σ0: 3 2 2 1 =66* 不変
σ1: 2 2 1 3 =38*
σ2: 2 1 3 2 =34*
σ3: 1 3 2 2 =22*
68: 3 2 2 2
σ0: 3 2 2 2 =67* 不変
σ1: 2 2 2 3 =41*
σ2: 2 2 3 2 =43
σ3: 2 3 2 2 =49
69: 3 2 2 3
σ0: 3 2 2 3 =68* 不変
σ1: 2 2 3 3 =44*
σ2: 2 3 3 2 =52
σ3: 3 3 2 2 =76
70: 3 2 3 1
σ0: 3 2 3 1 =69* 不変
σ1: 2 3 1 3 =47*
σ2: 3 1 3 2 =61
σ3: 1 3 2 3 =23*
71: 3 2 3 2
σ0: 3 2 3 2 =70* 不変
σ1: 2 3 2 3 =50*
σ2: 3 2 3 2 =70 不変
σ3: 2 3 2 3 =50
72: 3 2 3 3
σ0: 3 2 3 3 =71* 不変
σ1: 2 3 3 3 =53*
σ2: 3 3 3 2 =79
σ3: 3 3 2 3 =77
73: 3 3 1 1
σ0: 3 3 1 1 =72* 不変
σ1: 3 1 1 3 =56*
σ2: 1 1 3 3 =8*
σ3: 1 3 3 1 =24
74: 3 3 1 2
σ0: 3 3 1 2 =73* 不変
σ1: 3 1 2 3 =59*
σ2: 1 2 3 3 =17*
σ3: 2 3 3 1 =51
75: 3 3 1 3
σ0: 3 3 1 3 =74* 不変
σ1: 3 1 3 3 =62*
σ2: 1 3 3 3 =26*
σ3: 3 3 3 1 =78
76: 3 3 2 1
σ0: 3 3 2 1 =75* 不変
σ1: 3 2 1 3 =65*
σ2: 2 1 3 3 =35*
σ3: 1 3 3 2 =25*
77: 3 3 2 2
σ0: 3 3 2 2 =76* 不変
σ1: 3 2 2 3 =68*
σ2: 2 2 3 3 =44*
σ3: 2 3 3 2 =52
78: 3 3 2 3
σ0: 3 3 2 3 =77* 不変
σ1: 3 2 3 3 =71*
σ2: 2 3 3 3 =53*
σ3: 3 3 3 2 =79
79: 3 3 3 1
σ0: 3 3 3 1 =78* 不変
σ1: 3 3 1 3 =74*
σ2: 3 1 3 3 =62*
σ3: 1 3 3 3 =26*
80: 3 3 3 2
σ0: 3 3 3 2 =79* 不変
σ1: 3 3 2 3 =77*
σ2: 3 2 3 3 =71*
σ3: 2 3 3 3 =53*
81: 3 3 3 3
σ0: 3 3 3 3 =80* 不変
σ1: 3 3 3 3 =80 不変
σ2: 3 3 3 3 =80 不変
σ3: 3 3 3 3 =80 不変
No. 24
3 3 3 3

 よって、φ(σm)=81、3、9、3 より、24通り (以上)


 攻略法さんからのコメントです。(平成23年10月28日付け)

 「p、q、・・・、r個が計p+q+・・・+r=S個」のSが素数の場合、場合の数は、

  (1列に並べる場合の数)÷S、すなわち、{S!/(p!q!・・・r!)}/S 通り

となる。例えば、

(1) 赤球2個、青球1個を円形に並べる場合の数を求めよ。
  (112の円順列の総数を求めよ。)

(解) {3!/(2!1!)}/3=1(通り) 実際に、「赤赤青」のみ (終)

(2) 赤球2個、青球3個を円形に並べる場合の数を求めよ。
  (11222の円順列の総数を求めよ。)

(解) {5!/(2!3!)}/5=2(通り) 実際に、「赤赤青青青」と「赤青赤青青」 (終)

(3) 赤球1個、青球2個、緑球2個を円形に並べる場合の数を求めよ。
  (12233の円順列の総数を求めよ。)

(解) {5!/(1!2!2!)}/5=6(通り)

  実際に、「赤青青緑緑」、「赤青緑青緑」、「赤青緑緑青」、「赤緑青青緑」、
       「赤緑青緑青」、「赤緑緑青青」 (終)

(4) 赤球3個、青球2個、緑球2個を円形に並べる場合の数を求めよ。
  (1112233の円順列の総数を求めよ。)

(解) {7!/(3!2!2!)}/7=30(通り)

  実際に、「赤赤赤青青緑緑」、「赤赤赤青緑青緑」、「赤赤赤青緑緑青」、
       「赤赤赤緑青青緑」、「赤赤赤緑青緑青」、「赤赤赤緑緑青青」、
       「赤赤青赤青緑緑」、「赤赤青赤緑青緑」、「赤赤青赤緑緑青」、
       「赤赤青青赤緑緑」、「赤赤青青緑赤緑」、「赤赤青緑赤青緑」、
       「赤赤青緑赤緑青」、「赤赤青緑青赤緑」、「赤赤青緑緑赤青」、
       「赤赤緑赤青青緑」、「赤赤緑赤青緑青」、「赤赤緑赤緑青青」、
       「赤赤緑青赤青緑」、「赤赤緑青赤緑青」、「赤赤緑青青赤緑」、
       「赤赤緑青緑赤青」、「赤赤緑緑赤青青」、「赤赤緑緑青赤青」、
       「赤青赤青赤緑緑」、「赤青赤青緑赤緑」、「赤青赤緑赤青緑」、
       「赤青赤緑赤緑青」、「赤青赤緑青赤緑」、「赤青青赤緑赤緑」 (終)

 gcd(p,q,・・・,r)=1 の場合、場合の数は、

  (1列に並べる場合の数)÷S、すなわち、{S!/(p!q!・・・r!)}/S 通り

 前出の(1)、(2)、(3)、(4)はこれにも該当する。

(5) 赤球4個、青球5個を円形に並べる場合の数を求めよ。
  (111122222の円順列の総数を求めよ。)

(解) {9!/(4!5!)}/9=14(通り)

  実際に、「赤赤赤赤青青青青青」、「赤赤赤青赤青青青青」、「赤赤赤青青赤青青青」、
       「赤赤赤青青青赤青青」、「赤赤赤青青青青赤青」、「赤赤青赤赤青青青青」、
       「赤赤青赤青赤青青青」、「赤赤青赤青青赤青青」、「赤赤青赤青青青赤青」、
       「赤赤青青赤赤青青青」、「赤赤青青赤青赤青青」、「赤赤青青赤青青赤青」、
       「赤赤青青青赤青赤青」、「赤青赤青赤青赤青青」

(6) 赤球2個、青球3個、緑球3個を円形に並べる場合の数を求めよ。
  (111122222の円順列の総数を求めよ。)

(解) {8!/(2!3!3!)}/8=70(通り)

  実際に、「赤赤青青青緑緑緑」、「赤赤青青緑青緑緑」、「赤赤青青緑緑青緑」、
       「赤赤青青緑緑緑青」、「赤赤青緑青青緑緑」、「赤赤青緑青緑青緑」、
       「赤赤青緑青緑緑青」、「赤赤青緑緑青青緑」、「赤赤青緑緑青緑青」、
       「赤赤青緑緑緑青青」、「赤赤緑青青青緑緑」、「赤赤緑青青緑青緑」、
       「赤赤緑青青緑緑青」、「赤赤緑青緑青青緑」、「赤赤緑青緑青緑青」、
       「赤赤緑青緑緑青青」、「赤赤緑緑青青青緑」、「赤赤緑緑青青緑青」、
       「赤赤緑緑青緑青青」、「赤赤緑緑緑青青青」、「赤青赤青青緑緑緑」、
       「赤青赤青緑青緑緑」、「赤青赤青緑緑青緑」、「赤青赤青緑緑緑青」、
       「赤青赤緑青青緑緑」、「赤青赤緑青緑青緑」、「赤青赤緑青緑緑青」、
       「赤青赤緑緑青青緑」、「赤青赤緑緑青緑青」、「赤青赤緑緑緑青青」、
       「赤青青赤青緑緑緑」、「赤青青赤緑青緑緑」、「赤青青赤緑緑青緑」、
       「赤青青赤緑緑緑青」、「赤青青青赤緑緑緑」、「赤青青青緑赤緑緑」、
       「赤青青青緑緑赤緑」、「赤青青緑赤青緑緑」、「赤青青緑赤緑青緑」、
       「赤青青緑赤緑緑青」、「赤青青緑青赤緑緑」、「赤青青緑青緑赤緑」、
       「赤青青緑緑赤青緑」、「赤青青緑緑赤緑青」、「赤青青緑緑青赤緑」、
       「赤青緑赤青緑青緑」、「赤青緑赤青緑緑青」、「赤青緑赤緑青青緑」、
       「赤青緑赤緑青緑青」、「赤青緑赤緑緑青青」、「赤青緑青赤青緑緑」、
       「赤青緑青赤緑青緑」、「赤青緑青赤緑緑青」、「赤青緑青青赤緑緑」、
       「赤青緑青青緑赤緑」、「赤青緑青緑赤緑青」、「赤青緑青緑青赤緑」、
       「赤青緑緑赤緑青青」、「赤青緑緑青赤緑青」、「赤青緑緑青青赤緑」、
       「赤緑赤緑青青青緑」、「赤緑赤緑青青緑青」、「赤緑赤緑青緑青青」、
       「赤緑赤緑緑青青青」、「赤緑青赤緑青青緑」、「赤緑青赤緑青緑青」、
       「赤緑青赤緑緑青青」、「赤緑青青赤緑青緑」、「赤緑青青赤緑緑青」、
       「赤緑青青青赤緑緑」


 攻略法さんからの続報です。(平成23年10月29日付け)

例1 赤球2個、青球2個を円形に並べる場合の数を求めよ。

数学的解法を試みると、

 「周期がm」とは、「m個分を回転させると元の並びと同じになること」を言うとする。

周期が1の並びは、x│x│x│x だが、2種類を扱うので、0通り。

周期が2の並びは、赤青│赤青 の 2!/(1!1!)=2通り。

 周期が1との重複を除くと、2-0=2通り

周期が4の並びは、赤赤青青 の 4!/(2!2!)=6通り。

 周期が2との重複を除くと、6-2=4通り

よって、「周期」の部分は円順列なので、2/2 + 4/4 = 1 + 1 = 2 通り (終)

CF定理では、

周期が1、2、4の値より、 (6+2)/4=2通り (終)


 「周期がm」は、「(4/m)等分する」なので、球の個数 gcd(2,2)=2 の約数、すなわち、1、2
より、4/1=4、4/2=2を考えればよい。

 例1と同様にして、

例2 赤球4個、青球4個を円形に並べる場合の数を求めよ。

数学的解法を試みる。周期は、gcd(4,4)=4より、8/1=8、8/2=4、8/4=2を考える。

周期が2の並びは、赤青│赤青│赤青│赤青 の 2!/(1!1!)=2通り。

周期が4の並びは、赤赤青青│赤赤青青 の 4!/(2!2!)=6通り。

 周期が2との重複を除くと、6-2=4通り

周期が8の並びは、赤赤赤赤青青青青 の 8!/(4!4!)=70通り。

 周期が4との重複を除くと、70-6=64通り

よって、「周期」の部分は円順列なので、2/2 + 4/4 +64/8 = 1 + 1 + 8 = 10 通り (終)

CF定理では、

周期が1、2、4、8の値より、 (70+2*2+6)/8=10通り (終)


 当HP読者のHN「プレリュード」さんから、同じものを含む円順列についての話題を頂いた。
                                       (平成24年5月31日付け)

 高校にて円順列について勉強している際、以下のような問題が出されました。

  袋の中に白と黒の碁石が無数に入っている。その中から4つ石を取り出して円形
  に並べると、その並べ方は何通りあるか。


 答は、
     白    白    白    白    白    黒
    白 白  黒 白  黒 白  黒 黒  黒 黒  黒 黒
     白    白    黒    白    黒    黒


の6通り。この問題では石が4つということで数え上げてもたいした手間はかかりませんでし
たが、5個になったらどうなるだろうと興味が出ました。その結果、8通りとなりました。では、
6個にしたら10通りになるのではないかと思い考えてみたところ、14通りになってしまいま
した(自信がありません)。公式化できるのかと思いネットで調べたところ、同じものを含む
円順列に該当するのではないかという結論に達し、さらにこちらのサイトにたどり着きました。

 ちなみに、私が見つけた公式は、

   (Σk=1〜n(n,k))/n  (ただし、(n,k)は最大公約数)

という式で、計算してみたところ、石4個の場合や石5個の場合で成り立つようなので、これ
で分かったと一度は納得しました。

 はじめ、この問題を自宅で考えているとき碁石の代わりにオセロを用いていたのですが、
その際に面白いことに気付きました。オセロですと裏が違う色になっているので、ひっくり返
すと同じ順列になる組み合わせがあります。これは数珠順列の問題になるのではないかと
思い、その個数を求める公式を調べてみましたが、バーンサイドの定理などを用いて導いた
n個のときの円順列の個数に関する公式

   (Σk|d φ(k) (n/k)!/(n1/k)!(n2/k)!)/n

というのにたどり着きました。この式の意味もあまり理解できなかったのですが、これに碁石
の問題を適用して計算を試みたところ、白3個、黒2個などの時の組み合わせが計算できる
のかなと思いました。

 ここからが質問です。

 最初の例題のように、石n個と決まっていた場合の全ての組み合わせの個数を一気に求
める公式はありますでしょうか?白4黒0、白3黒1、白2黒2、白1黒3、黒4白0の場合を
それぞれ計算するのは骨が折れるように思えます。

 数え上げてみたところ、石4個では4通り、石5個ではやはり4通りとなり、計6個では9通
りができました。特に、計6個の時は、

     黒      黒
    白 黒    黒 白
    黒 白    白 黒
     白      白


という組み合わせがあって、これは回転や対角線で折り返しても重ならない関係にあって、
丁度ひっくり返した形になっています。このような組み合わせを数学的に区別できるのでしょ
うか?


 空舟さんからのコメントです。(平成24年5月31日付け)

 「らいおんの家」というwebサイトに群論入門のpdfファイルが公開されており、「群論入門そ
の3
」のバーンサイドの定理の所に、腕輪問題と言って、今回と似た問題が扱われています。
参考にされてはと思います。(説明が面白くておすすめです)


 プレリュードさんからのコメントです。(平成24年6月1日付け)

 空舟さん、ご紹介いただきありがとうございました。私の疑問は郡論という分野であること
は理解できました。

 腕輪問題が非常に気になります。こちらを詳細に見る事によって疑問が解ける気がしまし
た。紹介いただいたサイトのpdfファイルでは裏返しを考慮しない例となっていました。また、
回転だけを考えているようですが、石5個ではいいかもしれませんが、石6個の時は成り立
たないように思えます。単純に、(26+2+2+2+2+2)/6 では自然数になりません。他の置換群
を考える必要がありそうなのですが、それをn角形に一般化するのは容易ではないでしょう
か?


 S(H)さんからのコメントです。(平成24年6月1日付け)

 「円順列の数え上げ」(当頁)に、バーンサイドの定理の応用と在り、「群論入門3」等も在
り。私は、D--f-->R なるRD の全体に、Dに作用する群とRに作用する群で、RD を類別する
等、長期に亘り、随分悩んだことを想起しました。「Advanced Combinatorics」の249p に
Burnside-Frobenius の定理とあり、美し過ぎる定理で人を沈黙させる力が在ります。この目
次を視て、250p 以降に記されている事柄を忖度願います。


 空舟さんからのコメントです。(平成24年6月1日付け)

 この「私的数学塾」にも既にこの話題があるのに気づかず、他のウェブページを紹介して
しまって失礼しました。

 頂点が6個の場合に詳細に見てみましたので参考にして下さい。同一視したい頂点の置
換の仕方の集合をGとします。

<回転だけ考慮する場合はGは次の6つの置換の集合です>

(123456)→(123456)、(123456)→(234561)、(123456)→(345612)、(123456)→(456123)
(123456)→(561234)、(123456)→(612345)

<裏返しも考慮する場合は次の6個の置換が加わります>

(123456)→(165432)、(123456)→(216543)、(123456)→(321654)、(123456)→(432165)
(123456)→(543216)、(123456)→(654321)

 Gの各元をγとして、γによって不変な塗り方の個数をφ(γ)とすると、Σφ(γ)/ |G| で
色の塗り方の個数が求まる、というのがバーンサイドの定理です。

 そこで、γによって不変な色の塗り方の個数φ(γ)を知る必要があります。

・γ=(123456)→(123456)の時は、任意の塗り方がγによって不変です。φ(γ)=26
・γ=(123456)→(234561)の時は、全部黒or全部白だけがγで不変です。φ(γ)=2
・γ=(123456)→(345612)によって不変な塗り方は次の4通りです:
  白白白白白白、黒黒黒黒黒黒、黒白黒白黒白、白黒白黒白黒白
....

・一般に、γによって不変な色の塗り方は、2(部分巡回の個数) であることが理解されます。

 例えば、頂点1、4を軸とする裏返し:(123456)→(165432)では、(1)(4)(26)(35)の4つの部分
巡回からなっていますので、この置換によって不変な色の塗り方は、24=16通りとなります。
(4つの部分巡回する頂点集合に、それぞれ2通りの色を与え得るから。)

・全部のγとφ(γ)を一覧にすると、以下の通りです。

 (123456)→(123456):26  、(123456)→(234561):2  、(123456)→(345612):22
 (123456)→(456123):23  、(123456)→(561234):22  、(123456)→(612345):2
 (123456)→(165432):24  、(123456)→(216543):23  、(123456)→(321654):24
 (123456)→(432165):23  、(123456)→(543216):24  、(123456)→(654321):23
(頂点をつなぐ軸での裏返しでは、24、辺の中点をつなぐ軸での裏返しは23となっています。
ちなみに、頂点の数が奇数の時にはこの場合分けは必要なくなります。)

 よって、回転だけを考慮した場合の塗り方の個数は、

         (26+2+22+23+22+2)/6=14通り

  裏返しも考慮した場合は、

         (26+2+22+23+22+2+24+23+24+23+24+23)/12=13通り

という風に計算されます。

 回転だけを考慮する場合は、まさにプレリュードさんの式そのものです。裏返しも考慮する
場合は上記のようにちょっと項が増えることになります。


 プレリュードさんからのコメントです。(平成24年6月1日付け)

 S(H)さん、ご紹介ありがとうございました。サイトやファイルを読ませていただきました。残
念ながら、高校生の身では、Amazonの専門書を買う余力もなく、また英語で数学を理解す
るというのもハードルが高いです。迷惑ではございませんので、何かアドバイスをいただけ
れば嬉しいです。

 空舟さん、詳細なご説明ありがとうございました。私は、「私的数学塾」が検索でヒットして、
こちらのサイトにたどりつきました。

 6個の並び替えは私もオセロを使って試行錯誤しまして、14通りというのを見つけました。

 26=64通り並べ方があり、その中で回転と裏返しで同じものを場合分けした結果やっとた
どり着いた結論です。その過程が空船様に説明していただいた操作に該当するものと理解
できました。

 裏返しを入れる場合は、重複数珠順列の個数の公式

 r が偶数のとき、 1/(2r)(Σk=1〜r {n(r,k)+(r/2)nr/2+1+(r/2)nr/2

で13通りと計算できました。

 そして、先日の質問では大きな勘違いをしていることに気づきました。オセロをひっくり返し
たら重なるから数珠順列になるかと思ったら、全く違いますね。こんな事を考えた人がいな
いのか、こういったケースは検索しても一向に出てきませんでした。

 オセロの場合は、全部黒と全部白などが同じものとみなされるので、頂点が6個の時の円
順列の14通りの半分の7通りとなるのかと始め思ったのですが、

1白白白白白白(2黒黒黒黒黒黒) 、3黒白白白白白(4白黒黒黒黒黒)
5黒黒白白白白(6白白黒黒黒黒) 、7黒白黒白白白(8白黒白黒黒黒)
9黒白白黒白白(10白黒黒白黒黒) 、11黒黒黒白白白(白白白黒黒黒)回転で重なる
12黒白黒白黒白(白黒白黒白黒)回転で重なる 、13黒黒白白黒白 、14白白黒黒白黒

の9通りとなりました。このうち、11と12はひっくり返すのではなく、回転でも同じものになるの
で、14通りの中でも、もとから裏返しが同じものとみなされています。私が面白いと思ったの
は13と14で、この二つは黒と白が入れ替わっているだけなのに裏返しても重ならず違う組み
合わせとして数えられています。

 石が7個の場合、重複数珠順列の数は公式で求める事ができそうだとわかりましたが、オ
セロのひっくり返して上の13、14のような関係が現れるかをやってみようと思ったのですが
27=128通りもあるので躊躇しています。やはり、n個の時には何通りというのを一つの式で
表すのは無理でしょうか?


 空舟さんからのコメントです。(平成24年6月2日付け)

 どうやら前回「裏返し」の意味を、私が勝手に誤解していたようでした。私の説明の「裏返
し」は、「ひっくり返し」ではなく「鏡的反転」のつもりでした。改めて、以下「ひっくり返し」を含
めて考察します。

・まず、n=6で「ひっくり返し」を入れた場合、ご指摘のうち

  13黒黒白白黒白 と 14白白黒黒白黒

は同一視されるので、9通りではなく8通りということになります。

 偶数 n=6 でひっくり返しをバーンサイドの定理で計算するには、ひっくり返し置換で不変に
なる並びを数えれば良いと思います。

 γ=(123456)→裏(******) という置換で不変である並べ方は、部分巡回の長さが全部偶
数のときに限り可能で、2(部分巡回) 通りです。(やはり各部分巡回に2通りずつの色を与えうるから

・(123456)→裏(123456):不可能       ・(123456)→裏(234561):φ(γ)=2
・(123456)→裏(345612):不可能       ・(123456)→裏(456123):φ(γ)=23
・(123456)→裏(561234):不可能       ・(123456)→裏(612345):φ(γ)=2

<一般に回転の長さkとnの最大公約数(n,k)が、n/(偶数)の時のみ可能です>

・(123456)→裏(165432):不可能       ・(123456)→裏(216543):φ(γ)=23
・(123456)→裏(321654):不可能       ・(123456)→裏(432165):φ(γ)=23
・(123456)→裏(543216):不可能       ・(123456)→裏(654321):φ(γ)=23

<一般に辺の中点をつなぐ軸での鏡的反転の時のみ可能です>

 以前のφ(γ)に新たにこれらを項に加えることによって、

 {(26+2+22+23+22+2)+(24+23+24+23+24+23)+(0+2+0+23+0+2)+(0+23+0+23+0+23)}/24=8

を得ます。

・n=7個の場合では、よく考えれば、黒石と白石の個数が違うので、「ひっくり返したものが回
転で重なったり鏡的反転で重なったりする」のは不可能です。

 従って、7個のような奇数個の場合では、「14通りの半分の7通りとなるのかと始め思ったの
ですが...」というような推論が正しく成り立ちます。

 一般のnについて、同様の考察をすれば以下のようになります。

 回転置換での(Σφ(γ))/n: A=Σk=1〜n 2(n,k)/n

 鏡的反転置換の(Σφ(γ))/n: B={2n/2+1+2n/2}/2  (nが偶数の時)
                     B=2n/2+1/2  (nが奇数の時)

 回転+ひっくり返しの(Σφ(γ))/n: C=Σk=1〜n 2(n,k) /n
                  [ただし、n/(n,k)が偶数の時のみの和をとる。nが奇数なら0]

 鏡的反転+ひっくり返しの(Σφ(γ))/n: D={2n/2}/2  (nが偶数の時)
                          D=0  (nが奇数の時)

・回転のみを同一視する並びは、W=A

・回転・鏡的反転を同一視する並びは、X=(A+B)/2

・回転・ひっくり返しを同一視する並びは、Y=(A+C)/2

・回転・鏡的反転・ひっくり返しを同一視する並びは、Z=(A+B+C+D)/2

という風になります。

 n=6では、(A,B,C,D)=(14,12,2,4)、(W,X,Y,Z)=(14,13,8,8)

 n=7では、(A,B,C,D)=(20,16,0,0)、(W,X,Y,Z)=(20,18,10,9)

 n=8では、(A,B,C,D)=(36,24,4,8)、(W,X,Y,Z)=(36,30,20,18)

  ・・・・・・・・・


 南海さんからのコメントです。(平成24年6月2日付け)

 この問題は、GRAPES の友田先生 の古い論文が一番まとまっていてわかりよいと思いま
す。


 攻略法さんからのコメントです。(平成24年6月3日付け)

 参考サイトの紹介です。

   2色の円順列 → A000031       2色のじゅず順列 → A000029
   2色のオセロ円順列 → A000013   2色のオセロじゅず順列 → A000011

 枚挙すると、並びは、時計の文字盤のように、12時の位置から時計まわりに順に並べた
ものを、2進法N桁(0:白、1:黒)とみなし、それを10進法て表記しました。実際の並びを得る
には、2進法N桁に変換してください。

例 4: 5 ( 10 17 20 34 40 ) なら、

  ○○○●○● ( ○○●○●○、○●○○○●、○●○●○○、●○○○●○、●○●○○○

 として、

   ○     ○    ○    ○    ●    ●
  ● ○   ○ ○  ● ●  ○ ●  ○ ○  ○ ○
  ○ ○   ● ●  ○ ○  ○ ○  ● ○  ○ ●
   ●     ○    ○    ●    ○    ○


 となる。括弧内は同一視するものである。

 N=6 の場合

円順列

  1: 0 ()
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 )
  3: 3 ( 6 12 24 33 48 )
  4: 5 ( 10 17 20 34 40 )
  5: 7 ( 14 28 35 49 56 )
  6: 9 ( 18 36 )
  7: 11 ( 22 25 37 44 50 )
  8: 13 ( 19 26 38 41 52 )
  9: 15 ( 30 39 51 57 60 )
  10: 21 ( 42 )
  11 : 23 ( 29 43 46 53 58 )
  12 : 27 ( 45 54 )
  13 : 31 ( 47 55 59 61 62 )
  14 : 63 ()

 以上 14 通り
  じゅず順列

  1: 0 ()
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 )
  3: 3 ( 6 12 24 33 48 )
  4: 5 ( 10 17 20 34 40 )
  5: 7 ( 14 28 35 49 56 )
  6: 9 ( 18 36 )
  7: 11 ( 13 19 22 25 26 37
          38 41 44 50 52 )
  8: 15 ( 30 39 51 57 60 )
  9: 21 ( 42 )
  10: 23 ( 29 43 46 53 58 )
  11: 27 ( 45 54 )
  12: 31 ( 47 55 59 61 62 )
  13: 63 ()

 以上 13 通り
  オセロ円順列

  1: 0 ( 63 )
  2: 1 ( 2 4 8 16 31 32
       47 55 59 61 62 )
  3: 3 ( 6 12 15 24 30
       33 39 48 51 57 60 )
  4: 5 ( 10 17 20 23 29
       34 40 43 46 53 58 )
  5: 7 ( 14 28 35 49 56 )
  6: 9 ( 18 27 36 45 54 )
  7: 11 ( 13 19 22 25 26
       37 38 41 44 50 52 )
  8: 21 ( 42 )

 以上 8 通り
 
オセロじゅず順列

  1: 0 ( 63 )
  2: 1 ( 2 4 8 16 31 32 47 55 59 61 62 )
  3: 3 ( 6 12 15 24 30 33 39 48 51 57 60 )
  4: 5 ( 10 17 20 23 29 34 40 43 46 53 58 )
  5: 7 ( 14 28 35 49 56 )
  6: 9 ( 18 27 36 45 54 )
  7: 11 ( 13 19 22 25 26 37 38 41 44 50 52 )
  8: 21 ( 42 )

 以上 8 通り

 N=7 の場合

円順列

  1: 0 ()
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 64 )
  3: 3 ( 6 12 24 48 65 96 )
  4: 5 ( 10 20 33 40 66 80 )
  5: 7 ( 14 28 56 67 97 112 )
  6: 9 ( 17 18 34 36 68 72 )
  7: 11 ( 22 44 49 69 88 98 )
  8: 13 ( 26 35 52 70 81 104 )
  9: 15 ( 30 60 71 99 113 120 )
  10: 19 ( 25 38 50 73 76 100 )
  11: 21 ( 37 41 42 74 82 84 )
  12: 23 ( 46 57 75
           92 101 114 )
  13: 27 ( 51 54 77
           89 102 108 )
  14: 29 ( 39 58 78
           83 105 116 )
  15: 31 ( 62 79 103
          115 121 124 )
  16: 43 ( 45 53 85 86
          90 106 )
  17: 47 ( 61 87 94 107
          117 122 )
  18: 55 ( 59 91 93 109
          110 118 )
  19: 63 ( 95 111 119
          123 125 126 )
  20: 127 ()

 以上 20 通り
じゅず順列

  1: 0 ()
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 64 )
  3: 3 ( 6 12 24 48 65 96 )
  4: 5 ( 10 20 33 40 66 80 )
  5: 7 ( 14 28 56 67 97 112 )
  6: 9 ( 17 18 34 36 68 72 )
  7: 11 ( 13 22 26 35 44 49 52
        69 70 81 88 98 104 )
  8: 15 ( 30 60 71 99 113 120 )
  9: 19 ( 25 38 50 73 76 100 )
  10: 21 ( 37 41 42 74 82 84 )
  11: 23 ( 29 39 46 57 58 75 78
      83 92 101 105 114 116 )
  12: 27 ( 51 54 77 89 102 108 )
  13: 31 ( 62 79 103 115
              121 124 )
  14: 43 ( 45 53 85 86 90 106 )
  15: 47 ( 61 87 94 107
              117 122 )
  16: 55 ( 59 91 93 109 110 118 )
  17: 63 ( 95 111 119 123
               125 126 )
  18: 127 ()

 以上 18 通り
オセロ円順列

  1: 0 ( 127 )
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 63 64 95
     111 119 123 125 126 )
  3: 3 ( 6 12 24 31 48 62 65
     79 96 103 115 121 124 )
  4: 5 ( 10 20 33 40 47 61 66
     80 87 94 107 117 122 )
  5: 7 ( 14 15 28 30 56 60 67
     71 97 99 112 113 120 )
  6: 9 ( 17 18 34 36 55 59 68
     72 91 93 109 110 118 )
  7: 11 ( 22 29 39 44 49 58 69
     78 83 88 98 105 116 )
  8: 13 ( 23 26 35 46 52 57 70
     75 81 92 101 104 114 )
  9: 19 ( 25 27 38 50 51 54 73
     76 77 89 100 102 108 )
  10: 21 ( 37 41 42 43 45 53 74
      82 84 85 86 90 106 )

 以上 10 通り
オセロじゅず順列

  1: 0 ( 127 )
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 63 64 95 111 119 123 125 126 )
  3: 3 ( 6 12 24 31 48 62 65 79 96 103 115 121 124 )
  4: 5 ( 10 20 33 40 47 61 66 80 87 94 107 117 122 )
  5: 7 ( 14 15 28 30 56 60 67 71 97 99 112 113 120 )
  6: 9 ( 17 18 34 36 55 59 68 72 91 93 109 110 118 )
  7: 11 ( 13 22 23 26 29 35 39 44 46 49 52 57 58 69 70 75 78 81 83 88 92 98 101 104 105 114 116 )
  8: 19 ( 25 27 38 50 51 54 73 76 77 89 100 102 108 )
  9: 21 ( 37 41 42 43 45 53 74 82 84 85 86 90 106 )

 以上 9 通り

 N=8 の場合

円順列

  1: 0 ()
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 64 128 )
  3: 3 ( 6 12 24 48
          96 129 192 )
  4: 5 ( 10 20 40 65
          80 130 160 )
  5: 7 ( 14 28 56 112
          131 193 224 )
  6: 9 ( 18 33 36 66
          72 132 144 )
  7: 11 ( 22 44 88 97
         133 176 194 )
  8: 13 ( 26 52 67 104
         134 161 208 )
  9: 15 ( 30 60 120 135
         195 225 240 )
  10: 17 ( 34 68 136 )
  11: 19 ( 38 49 76 98
         137 152 196 )
  12: 21 ( 42 69 81 84
         138 162 168 )
  13: 23 ( 46 92 113 139
         184 197 226 )
  14: 25 ( 35 50 70 100
         140 145 200 )
  15: 27 ( 54 99 108 141
         177 198 216 )
  16: 29 ( 58 71 116 142
         163 209 232 )
  17: 31 ( 62 124 143 199
         227 241 248 )
  18: 37 ( 41 73 74 82 146
            148 164 )
  19: 39 ( 57 78 114 147
         156 201 228 )
  20: 43 ( 86 89 101 149
         172 178 202 )
  21: 45 ( 75 90 105 150
         165 180 210 )
  22: 47 ( 94 121 151 188
         203 229 242 )
  23: 51 ( 102 153 204 )
  24: 53 ( 77 83 106 154
         166 169 212 )
  25: 55 ( 110 115 155
      185 205 220 230 )
  26: 59 ( 103 118 157
      179 206 217 236 )
  27: 61 ( 79 122 158
      167 211 233 244 )
  28: 63 ( 126 159 207
      231 243 249 252 )
  29: 85 ( 170 )
  30: 87 ( 93 117 171
      174 186 213 234 )
  31: 91 ( 107 109 173
      181 182 214 218 )
  32: 95 ( 125 175 190
      215 235 245 250 )
  33: 111 ( 123 183 189
      219 222 237 246 )
  34: 119 ( 187 221 238 )
  35: 127 ( 191 223 239
      247 251 253 254 )
  36: 255 ()

 以上 36 通り
じゅず順列

  1: 0 ()
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 64 128 )
  3: 3 ( 6 12 24 48
          96 129 192 )
  4: 5 ( 10 20 40 65
          80 130 160 )
  5: 7 ( 14 28 56 112
          131 193 224 )
  6: 9 ( 18 33 36 66
           72 132 144 ) 
  7: 11 ( 13 22 26 44 52 67 88
    97 104 133 134 161
    176 194 208 )
  8: 15 ( 30 60 120 135
          195 225 240 )
  9: 17 ( 34 68 136 )
  10: 19 ( 25 35 38 49 50 70
    76 98 100 137 140 145
          152 196 200 )
  11: 21 ( 42 69 81 84
          138 162 168 )
  12: 23 ( 29 46 58 71 92 113
    116 139 142 163 184
    197 209 226 232 )
  13: 27 ( 54 99 108 141
          177 198 216 )
  14: 31 ( 62 124 143
       199 227 241 248 )
  15: 37 ( 41 73 74 82
          146 148 164 )
  16: 39 ( 57 78 114 147
          156 201 228 )
  17: 43 ( 53 77 83 86 89
    101 106 149 154 166
    169 172 178 202 212 )
  18: 45 ( 75 90 105 150
         165 180 210 )
  19: 47 ( 61 79 94 121 122
    151 158 167 188 203
    211 229 233 242 244 )
  20: 51 ( 102 153 204 )
  21: 55 ( 59 103 110 115
    118 155 157 179 185
    205 206 217 220 230
               236 )
  22: 63 ( 126 159 207 231
          243 249 252 )
  23: 85 ( 170 )
  24: 87 ( 93 117 171 174
         186 213 234 )
  25: 91 ( 107 109 173 181
         182 214 218 )
  26: 95 ( 125 175 190 215
         235 245 250 )
  27: 111 ( 123 183 189
      219 222 237 246 )
  28: 119 ( 187 221 238 )
  29: 127 ( 191 223 239
      247 251 253 254 )
  30: 255 ()

 以上 30 通り
オセロ円順列

  1: 0 ( 255 )
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 64 127 128
  191 223 239 247 251 253 254 )
  3: 3 ( 6 12 24 48 63 96 126 129
  159 192 207 231 243 249 252 )
  4: 5 ( 10 20 40 65 80 95 125
  130 160 175 190 215
             235 245 250 )
  5: 7 ( 14 28 31 56 62 112 124
  131 143 193 199 224
             227 241 248 )
  6: 9 ( 18 33 36 66 72 111 123
  132 144 183 189 219
             222 237 246 )
  7: 11 ( 22 44 61 79 88 97 122
  133 158 167 176 194
             211 233 244 )
  8: 13 ( 26 47 52 67 94
  104 121 134 151 161 188
          203 208 229 242 )
  9: 15 ( 30 60 120 135
             195 225 240 )
  10: 17 ( 34 68 119 136
             187 221 238 )
  11: 19 ( 38 49 59 76 98 103
   118 137 152 157 179
         196 206 217 236 )
  12: 21 ( 42 69 81 84 87 93
   117 138 162 168 171 174
            186 213 234 )
  13: 23 ( 29 46 58 71 92 113
   116 139 142 163 184 197
            209 226 232 )
  14: 25 ( 35 50 55 70 100 110
  115 140 145 155 185 200
            205 220 230 )
  15: 27 ( 39 54 57 78 99 108
  114 141 147 156 177 198
           201 216 228 )
  16: 37 ( 41 73 74 82 91 107
  109 146 148 164 173 181
           182 214 218 )
  17: 43 ( 53 77 83 86 89
  101 106 149 154 166 169
        172 178 202 212 )
  18: 45 ( 75 90 105 150
           165 180 210 )
  19: 51 ( 102 153 204 )
  20: 85 ( 170 )

 以上 20 通り
オセロじゅず順列

  1: 0 ( 255 )
  2: 1 ( 2 4 8 16 32 64 127 128 191 223 239 247 251 253 254 )
  3: 3 ( 6 12 24 48 63 96 126 129 159 192 207 231 243 249 252 )
  4: 5 ( 10 20 40 65 80 95 125 130 160 175 190 215 235 245 250 )
  5: 7 ( 14 28 31 56 62 112 124 131 143 193 199 224 227 241 248 )
  6: 9 ( 18 33 36 66 72 111 123 132 144 183 189 219 222 237 246 )
  7: 11 ( 13 22 26 44 47 52 61 67 79 88 94 97 104 121 122 133 134 151 158 161 167 176 188
                                          194 203 208 211 229 233 242 244 )
  8: 15 ( 30 60 120 135 195 225 240 )
  9: 17 ( 34 68 119 136 187 221 238 )
  10: 19 ( 25 35 38 49 50 55 59 70 76 98 100 103 110 115 118 137 140 145 152 155 157 179
                                      185 196 200 205 206 217 220 230 236 )
  11: 21 ( 42 69 81 84 87 93 117 138 162 168 171 174 186 213 234 )
  12: 23 ( 29 46 58 71 92 113 116 139 142 163 184 197 209 226 232 )
  13: 27 ( 39 54 57 78 99 108 114 141 147 156 177 198 201 216 228 )
  14: 37 ( 41 73 74 82 91 107 109 146 148 164 173 181 182 214 218 )
  15: 43 ( 53 77 83 86 89 101 106 149 154 166 169 172 178 202 212 )
  16: 45 ( 75 90 105 150 165 180 210 )
  17: 51 ( 102 153 204 )
  18: 85 ( 170 )


 以上 18 通り

 プレリュードさんからのコメントです。(平成24年6月3日付け)

 ほとんど空舟様のご説明で考え方を含めて理解できました。どうもありがとうございました。
n個のときの一般式まで教えていただきありがとうございました。本当に分かりやすくて、今
まで悩んでたのはなんだったんだろうかという位、明るく前が開けました。実は昨日7個の場
合などを必死に数えていたのですが、途中で挫折しておりました。

 ただ、 まずn=6で「ひっくり返し」を入れた場合、ご指摘のうち、
        13黒黒白白黒白 と 14白白黒黒白黒
     は同一視されるので9通りではなく8通り、ということになります。


がどうも納得できていなくて、「13黒黒白白黒白」をひっくり返しても「14白白黒黒白黒」とは同
じにならないのではないかということです。

 このように一列で書いてしまうとひっくり返しで同じになりますが、実物は一致しないのです。
ちょうど鏡で映したようになっています。ちなみに13をひっくり返すと、

    黒     白       白
   白 黒 → 白 黒 となり、黒 白 とはなりません。
   黒 白   黒 白     白 黒
    白     黒       黒


 右回り、左回りの違いですが、これが数珠になっているとすると、別の物と考えるべきでは
ないでしょうか?

 南海さん、友田先生の論文をご紹介いただきありがとうございました。こちらのPDFファイル
は検索にて探し当てておりました。メビウス関数、オイラー関数など難解な用語があり、解読
に苦労しましたが、結局のところ私の悩んでいた組み合わせの個数を導くのには最後の公
式が役立ちそうなことまでは理解できました。

 ただ、この公式ですと、例えばn=6の時、黒4白2の場合といった個別の個数が計算できる
ものの、その他の黒白の組み合わせ全て考えて計算しなければいけないので、nが大きくな
ったらしんどいのかなあと思いました。

 攻略法さん、参考サイトを教えていただきありがとうございました。英語は少し不慣れだった
のですが、参考になる文献が書かれているのがわかりました。ただ、その文献を手に入れる
術が無くて・・・。

 2色のオセロじゅず順列という用語があるのですね。正に私が悩んでいる問題そのものな
ので、私のような高校生が考えるようなことは、どこかで誰かが思いついているんでちょっと
残念な気もしました(思い上がりはよくないですね)。

 空舟様へのレスにも書かせていただきましたが、じゅず順列であれば鏡に映して重ならな
い組み合わせを考慮しなければいけないと思うのですが、オセロじゅず順列ではそれは同じ
ものとみなされるのが普通でしょうか?


 空舟さんからのコメントです。(平成24年6月4日付け)

 私は「ひっくり返し」の意味を、「オセロの位置を固定したまま全部のオセロをめくる」という
意味でとらえておりました。「下から見る」ということでしたら、「ひっくり返し」+「鏡的反転」と
いうことになります。ということは、「回転」「下から見る」だけを同一視する場合は、以前の投
稿の記号を使うと、(A+D)/2 で計算できて、実際、n=6のときに、9 を与えます。


 攻略法さんからのコメントです。(平成24年6月4日付け)

 「2色のオセロじゅず順列」という用語は、私の造語です。正式な呼称は知りません。また、

 じゅず順列であれば鏡に映して重ならない組み合わせを考慮しなければいけないと思うの
ですが、オセロじゅず順列ではそれは同じものとみなされるのが普通でしょうか?


については、「ひっくり返す」などの用語の定義(意味)によると思います。
(→ 参考サイト:「A053656」)

 N=6 の場合

1: 0 ( 63 )
2: 1 ( 2 4 8 16 31 32 47 55 59 61 62 )
3: 3 ( 6 12 15 24 30 33 39 48 51 57 60 )
4: 5 ( 10 17 20 23 29 34 40 43 46 53 58 )
5: 7 ( 14 28 35 49 56 )
6: 9 ( 18 27 36 45 54 )
7: 11 ( 22 25 37 44 50 )
8: 13 ( 19 26 38 41 52 )
9: 21 ( 42 )

以上 9 通り
   N=7 の場合

1: 0 ( 127 )
2: 1 ( 2 4 8 16 32 63 64 95 111 119 123 125 126 )
3: 3 ( 6 12 24 31 48 62 65 79 96 103 115 121 124 )
4: 5 ( 10 20 33 40 47 61 66 80 87 94 107 117 122 )
5: 7 ( 14 15 28 30 56 60 67 71 97 99 112 113 120 )
6: 9 ( 17 18 34 36 55 59 68 72 91 93 109 110 118 )
7: 11 ( 22 23 44 46 49 57 69 75 88 92 98 101 114 )
8: 13 ( 26 29 35 39 52 58 70 78 81 83 104 105 116 )
9: 19 ( 25 27 38 50 51 54 73 76 77 89 100 102 108 )
10: 21 ( 37 41 42 43 45 53 74 82 84 85 86 90 106 )

以上 10 通り
 
 N=8 の場合

1: 0 ( 255 )
2: 1 ( 2 4 8 16 32 64 127 128 191 223 239 247 251 253 254 )
3: 3 ( 6 12 24 48 63 96 126 129 159 192 207 231 243 249 252 )
4: 5 ( 10 20 40 65 80 95 125 130 160 175 190 215 235 245 250 )
5: 7 ( 14 28 31 56 62 112 124 131 143 193 199 224 227 241 248 )
6: 9 ( 18 33 36 66 72 111 123 132 144 183 189 219 222 237 246 )
7: 11 ( 22 44 47 88 94 97 121 133 151 176 188 194 203 229 242 )
8: 13 ( 26 52 61 67 79 104 122 134 158 161 167 208 211 233 244 )
9: 15 ( 30 60 120 135 195 225 240 )
10: 17 ( 34 68 119 136 187 221 238 )
11: 19 ( 38 49 55 76 98 110 115 137 152 155 185 196 205 220 230 )
12: 21 ( 42 69 81 84 87 93 117 138 162 168 171 174 186 213 234 )
13: 23 ( 46 92 113 139 184 197 226 )
14: 25 ( 35 50 59 70 100 103 118 140 145 157 179 200 206 217 236 )
15: 27 ( 39 54 57 78 99 108 114 141 147 156 177 198 201 216 228 )
16: 29 ( 58 71 116 142 163 209 232 )
17: 37 ( 41 73 74 82 91 107 109 146 148 164 173 181 182 214 218 )
18: 43 ( 86 89 101 149 172 178 202 )
19: 45 ( 75 90 105 150 165 180 210 )
20: 51 ( 102 153 204 )
21: 53 ( 77 83 106 154 166 169 212 )
22: 85 ( 170 )

以上 22 通り

 プレリュードさんからのコメントです。(平成24年6月5日付け)

 空舟さん、私の説明不足で申し訳ありませんでした。正に、この計算式 (A+D)/2 で私の
求めているものが分かりました。昨日から、n=7 の時の並びを必死にやってみたところ、計
算とぴったり合いました!流石に、n=8 を自力でやる気はもう起きないのでこれで納得です。

 ちなみに「下から見る」ときだけ一致する数は簡単には出ないですよね?教えていただい
た{(A+B+C+D)/4}-{(A+D)/2}で求められることはわかりました。

 空舟様、攻略法様、多数の方々からあたたかいアドバイスをいただき本当に感謝していま
す。私のような小娘に対しても丁寧に教えていただきましたこと、なんとお礼を言っていいか
言葉もありません。オセロを使って並べ替えたり、難しい式を解いたりするのは本当に楽しか
ったです。将来数学の道に進むかはちょっとわかりませんが、理系には行きたいと思ってい
るので、またなにかありましたらその時はまたよろしくお願いします!



   以下、工事中