未来をひらく数学を　一子どもたちのひとみ輝く「数楽」を 一　 数学教育協議会第51回全国研究大会 2003年札幌大会報告 「数学教室」2003.12月号から 「21世紀に活きる日本国憲法・教育 基本法」 講師：中村睦男氏（北海道大学総長） 第51回全国研究大会記念講演報告〈文賓・菊池三郎〉　　 　中村総長は，まず最初に，会場校・北海道大学を代表して，参加者の皆さんに歓迎の挨拶を述べられました。 　次に，本題に入る前に，実行委員長（須田北大教授）が開会の挨拶で述べた「教育困難に遭遇したその度毎に新しい実践を産み出し，次の時代の基礎を作って きた」の言に全面的に賛意を表明した後，大学が当面している「困難」の一つである，直前の国会で成立した国立大学の法人化法について触れられました。様々 な不安が現実のものにならないよう，「学生のための最善」を尽くすという「コンセンサス」を基礎に，「大学改革」を引き続き行っていく決意が語られまし た。 　本題の冒頭に，憲法に関しては「憲法調査会」が両院において設置（2000年1月）され，教育基本法に関しては，本年5月に中教審が「教育基本法改正の 方向と教育振興基本計画」についての答申をまとめ，その理念の中に「国を愛する心」があげられていることの問題を指摘されました。与党内の都合によって， 「改正」は，先送りになっている状況も紹介されました。 　日本国憲法の制定と特色についての話に移り，「米国の押し付けか否か」のテーマを持ちつつ，歴史的経過を明快に述べる中で「憲法改正論者の押し付け論」 批判を展開されました。 　45年（敗戦直後）の日本国政府は，憲法問題調査会（松本委員会）を設置し，憲法の改正を，明治憲法〈欽定憲法〉の若干の手直しで済まそうと考えていた が，マッカーサーは，46年2月2日に《�@天皇制を残す，�A戦争放棄，�B封建制の廃止》の三原則を表明し，新憲法の「骨格」を示します。新憲法制定はこの 方向で進んだという点では「押しつけ」と言えるが，この年の4月の総選挙で選ばれた議員の圧倒的多数の賛成で憲法が確定されたこと，前年12月には，民間 人による憲法研究会の憲法草案要綱でマッカーサーと同様な原則を提示していたこと，憲法制定の国会では，国民主権・戦争放棄・基本的人権の尊重などの原則 を巡って格調高い議論が展開されていたこと，今日，「基本原則」には国民の間に高い支持があり，浸透・定着を見るに至っていること等によって「押し付け」 とは言えない旨の見解を示しました。 　また，「憲法の原則は変えられない」という「規定」があり，「天皇主権」が「国民主権」になるのは「無効」との意見に対しては，宮沢俊義氏の「8月革命 説」を引用されて，明快に批判されました。またポツダム宣言受諾は，条約の受諾であり，憲法の上にあるので，この点から見ても「日本国憲法制定に正当性が ある」旨の見解も述べられました。 　次に，憲法の特色については，次の三点�@国民主義と象徴天皇〈天皇が政治に関与しないのであるから矛盾しないの説明あり〉�A基本的人権の尊重�B戦争の放 棄を，強調・説明されました。 　そして，次の柱である教育基本法の制定と特色についての話に移りました。 　教育基本法は，敗戦直後（45年10月〜12月）において，連合軍総司令部から発せられた4つの指令（�@超国家主義・軍国主義教育の禁止と平和主義・基 本的人権の教育理念としての提示�A教師および教育関係者の教職追放と適格検査�B国家と神道の分離�C修身・日本歴史・地理三教科の授業停止）と，次の年の3 月の教育使節団（46・3／5〜3／31）の来日と報告書を土台にして，田中耕太郎文部大臣・田中二郎文部省参事を中心とした文部省当局と，南原繁・務台 理作委員などの教育刷新委員会との協力で自主的に作成され，無修正のまま両院を通過し，47年3月31日に公布・施行された法であること。 　性格としては，教育宣言的（道徳的，倫理的規定の色彩を濃厚に持ち，教育勅語に代わる）意味と，教育憲法的（前文を付し憲法の教育に関する諸条項に関連 し，それを敷衍し，教育法令に対する架橋的な一般的規定を設けている〕意味を持っている。 　制定経過の手続や内容からいって，真っ当で，今直ぐに変更する必要のない旨が語られました。 　最後に，戦争の憲法論争〈特に第9条2項についての〉に触れられた後，憲法と教育基本法の将来について述べられました。日本国憲法は，現政府見解におい ても海外派兵を許しておらず，集団的自衛権も認めていない。これは今後も守り，発展させ，平和主義は貫き，下ろしてはならない。 　違憲審査制度はもっと発展されるべきで，憲法裁判所を導入して，「違憲問題」についての審理がもっとなされるべきである。教育基本法は，「愛国心を付け 加える」ようなことではなく，現基本法の理念を活かす方向を追求すべき旨が語られました。 　広島市長が今年の「原爆記念日」に，「核兵器廃絶」に対する「政府の態度」を批判する挨拶をされた。ここに〈批判すべきは批判する〉21世紀にも憲法・ 教育基本法を活かす「姿」があるとのお話をされて話を終えられました。 「未来をひらく数学」への着実 な一歩 大会実行委員会　須田勝彦　　 　大会直前，台風10号が列島を直撃しました。北海道へ来られなくなった方，ご苦労の上来られた方，道内でも水害等に直接，間接にあわれた方も多かったと 思います。それでも，数学教育協議会第51回全国研究大会（北海道大会）が，多くの方のご協力と参加によって成功のうちに終えることができました。大会を 準傭した北海道の会員を代表して，心からお礼を申し上げます。 　大会テーマは「未来をひらく数学を　一子どもたちのひとみ輝く「数楽」を一」と設定しました。テーマにこめた願いは次のようなものでした。 　今年から新しい学習指導要領が全面実施となリました。学校が変わリました。教科書が変わリました。また，もっと大きなもの，日本の教育そのものが大きく 変わろうとしています。その変化は良いものばかリというよリ，心配なことがたくさんあリます。最近，先生方の会話の中には子どもや学校への危惧，不安が様 々に語られるようになリました。「学力低下」への危惧はそのひとつでしょう。 　私自信はそれほど悲観しておリません。戦前，戦後を含めて，日本の教育は多くの困難に遭遇し，多くの間違いもしてきましたが，そのたびに新しい教育実践 を産み出し，次の時代の基礎を創ってきました。数学教育の世界も然リです。数学の学力が落ちた，数学がきらいな児童・生徒が増えた，など，困難な状況はい たるところに見られます。しかしそれは，新しい教育実践の開拓の課題が豊富に提出されていることも意味しています。 　第1に「基礎・基本の確実な定着」という課題があリます。この課題に対して「基礎・基本はとにかくたたきこもう」という立場があリます。しかし私たちの 先輩が創リ出してきた水道方式の授業には，全く違った解決の方法が示されています。基礎・基本だからわかリやすい，基礎・基本だからたのしく学ぶことがで きる，という方向です。 　第2に「なせ数学を学ぶかがわからない」という多くの生徒の声があリます。これに対しても，先輩が創リ出してきた量指導という思想の中に，解決の鍵があ るように思われます。量は現実と数学を結びつけます。数学と現実との関連は，いつの時代にも数学学習の最大の動機づけでした。現代の子どもに，現代の世界 に即して，数学を提供することは私たちにとってたいへん魅力的な課題です。 　第3に，別な側面として，児童・生徒は，現実からはなれた数理の世界そのものでも楽しむことができます。数・図形の世界の深さ，不思議さもまた，いつの 時代にも多くの若い人たちの心をひきつけてきました。私たちはこの課題にも挑戦することができます。 　これらの課題は，子ども，教師，研究者，親など，多くの人の協同によって一つひとつ，具体的に解決が見出されます。この大会が，開かれた，自由な協同の 場の一つとなることを心から願って準備を進めてきました。大会を終了して，講座，分科会，ポスター展，教具展，AMIサロンなどいずれも，着実な一歩とな リえたのではないかと考えています。 　会場の北海道大学は，ハードとしてはそれほど立派なものではあリません。また，試験期間や集中講義等とも重なリ，いろいろなご不自由をおかけしました。 ただ，北海道大学は創立以来，フロンティア精神を大切にしてきました。多くの先輩たちは，都の栄華ではなく，辺境の開拓地に生きる道を求めました。今日の 学校をめぐる状況の中で，先輩たちもきっと応援してくださったと思います。 　本学を会場にするに当たリ，北海道大学の研究・教育の一端にも触れていただきたいと考えました。先述のように，教育が，日本全体が，世界が大きく変わろ うとしています。このような状況をふまえて，日本における憲法学のリーダーのお一人である中村睦男総長に記念講演をお願いしたところ，快く引き受けて下さ いました。中村先生からは，今日の問題状況の中で，日本国憲法と教育基本法を新しい世紀に活かすための合意形成の方向と可能性について，学問的な講演をい ただきました。私自信は，講演内容に加えて，先生の真撃な学問的態度に触れる機会となリ，感銘を受けました。 　最後に，大会を後援していただいた北海道教育委員会，札幌市教育委員会をはじめ，多くの方々に心から感謝申し上げます。

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未来をひらく数学を　「うまんちゅの数学」めざして燃えた沖縄大会 数学教育協議会　第50回全国研究大会　2002年沖縄大会報告  【『数学教室』2002年12月号より】 うちなーんかい，いめんそうち，いつぺーにヘーでーびたん （沖縄へ，来てくださり，大変ありがとうございました） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実行委員長　小田切 忠人 　数学教育協議会第50回全国研究大会（沖縄大会）が，多くの教師，父母，学生の参加と協力によって大成功のうちに終えることができたことを，何はともあ れ報告し，お礼を申し上げたいと思います。 　第50回という節目の研究大会を沖縄で開催するにあたって，戦後の民間教育研究運動の一翼を担ってきた研究団体の全国大会らしさと沖縄らしさを合わせて 強調したいと考えました。そして，「未来をひらく数学を」に続けて「うまんちゅの数学」とサブテーマを付けました。「うまんちゅ」とは「御万人」と漢字を 当て，言わば“Education For All（EFA）”のAllのことです。Allを「国民」と訳すのは，国籍によって語義が定義される限りふさわしくありません。「市民」という訳がありま すが，「町民」とか「村民」と言うと全く別の脈絡の話になってしまいます。そして，「万人」でなく「御万人」と言うところに，侵略と支配に，武力に頼らず 立ち向かう賢さと沖縄発の提案があります。 　戦後の半世紀，20世紀という時代の後半は，中央集権的な体制下，言い換えれぱ強い国家，大きな国家の主導により民主主義の普及が図られてきたと言える と思います。しかし，「構造改革」を必然の課題とする今日，その体制が破綻しているのだということになるのではないでしようか。教育分野における学習指導 要領体制は，正に「それ」だと言えると思います。文部科学省主導により，「学習指導要領」や「教科書」の再定義も行われつつあります。「新学力観」・「生 きる力」の提唱に続き，新教育課程下「学力低下」が危惧されるや「学力向上総合計画」をすすめるのだと言います。テスト勉強よろしく，その場限りの対応に しか思えません。「すべての子ども」のための教育を真に進めるための枠組み，いわば「構造」をこそ「改革」すべきではないでしょうか。 　「うまんちゅの数学」は，子どもの権利条約後の，経済のグローバル化に対抗する全世界的な合意，いわばもうlつのスタンダードを意識したものです。それ は，「すべての子どもに質の高い数学を」と数教協がスローガンに掲げてきた「すべて」を，「今」という時代の中で確認することを期待するものでもありま す。「すべての子ども」のための数学教育の枠組みを創るためには，その哲学を具体的に展開する必要があります。「AMIサロン」では，数学的な「知」を 「学校教育」の枠の中に閉じ込めないということに加えて，そのような議論や意見交換が行われることも期待しました。 　未来を見据える議論は，日々の教育実践を導くものでありますが，同時に，日々の教育実践によって裏打ちされる必要があります。分科会は，そのような作業 の不可欠な一環です。地域で学校ごとの自主力リキユラムを開発するということが，「構造改革」後，新たな課題となってくるはずです。このような力を教育現 場がつけ，蓄える機会として，分科会や授業研究会での討議は大切です。一人ひとりの子どもについて算数・数学がどんな意味を持つのか，一人の例外も無く論 じることが今後具体的に問われることになるでしよう。 　沖縄には，特別な意味があります。それは，固有の文化と歴史（開会行事のアトラクションと大交流会でその一端を紹介）があるということに加えて「日本の 縮図」としての意味があるということです。沖縄について知ることは，日本について知ることであり，世界について考えることであります。本大会では，「沖縄 戦」や「基地の中の沖縄」を知るオプショナル・ツアーに加えて，「沖縄入門講座」を「基礎講座」に併設しました。 　最後に，参加者規模を報告します。大会参加者873名，公開授業参加の児童生徒589名，その同伴者約450名，計1912名の大会になりました。沖縄 県内参加者の多くの方には，会員はもとより，会員でない方でも，参加費を払っていただいた上に準備委員を引き受けていただき，大会の成功のために力を貸し ていただきました。参加者の皆さん，協力してくれた皆さん。ありがとうございました。 「開会行事＋記念講演」の報告 【『数学教室』2002年12月号より】 ●AMI50回研究大会＆復帰30周年 　数学教育協議会のl／2世紀目の記念すべき大会を，沖縄で開催できました。くしくも今年は沖縄復帰30周年でした。 　森先生の記念講演を中心に開会行事の様子を報告します。 　開会行事と記念講演は，元気いっぱいの宮城千恵さんの司会で始まりました。「司会が良かった。沖縄の先生はみんなあんなにテンションがたかいのでしよう か？」という感想がありました。彼女はとても盛り上げてくれました。 　野崎数学教育協議会委員長と小田切大会実行委員長のあいさつの後，森毅先生の講演が始まりました。 ○森先生のほにゃらら教育談義一21世紀の歩き方 　わたしの父は30前後でクビになり，大阪でベンチャーを始めました。大阪にはだれも親戚がいませんし，一人っ子です。つまり完全核家族です。今では核家 族で高学歴で財産がないひとはたくさんいるでしよう。わたしはずっと昔から，今のふつーの家族と同じような状況（核家族・高学歴・リストラ・財産なし）を やっていたんです。 　今，クラスの人数を減らそうと運動しているじゃないですか，それはいいことですが，みんなクラスの生徒さんの人数が少ないと目が届くとか，愛情がよく行 き届くとかいうでしよう？ 　これは一人っ子にはキツイ！しかも，うっとうしいんです。 　ボクは一人っ子ですから，とってもそれが分かるんです。 　ボクの母は，宝塚にのめり込んだからボクは助かったと思います。お父さん，お母さんがそれぞれ独立して生きていって，少しずつ交わるっていうのが正しい 核家族だと思います。そうしないと隠れる場所がなくなってしまう。学校でも柱に隠れて悪いことをする場所があったほうがいいんです。そして教師は柱に隠れ るヤツを見ていて子どもたちの物語を想像するわけです。 「あいつは柱のそばにず〜といる。」 「あいつは今日はたまたま柱の陰に隠れている。」 「いつもは柱の陰に入るあいつが，今日は柱のそばにいない。」 　そういう物語が生まれてくる。隠れる場所がないと物語が生まれてこない。 ○協調性と社交性 　ボクは協調性は皆無なんです。でも社交性は，100点でしたよ。 　それはね。母の宝塚のおかげですね。ボクの社交性は，宝塚の社交術です。協調性というのは運命共同体ではないですか。でも社交性というのは，運命共同体 でないですよね。 　20世紀は，協調性の時代でした。21世紀は，社交性の時代だと思います。 　大学で協調性をいうのは，守旧派，保守派，抵抗勢力です。 　ボクは21世紀を半世紀以上，先取りしていたんです。 ○分からない時代を生きるために 　今の子らは，決まったコースをしっかりやれば○○になれるかもしれない。それ以外ではダメだというすり込みがされている。今の子らは15歳で人生が決 まっています。人生相談でこういうのがありました。 「わたしは15歳なんですけど，25歳で結婚することに決めています。すると大学を卒業して3年しか勤められないんですが，どうしましょう。」（笑い） 　15歳のときに好きな作家と25歳に好きな作家は変わるのが当たり前です。 　それが成長です，変わることが前提です。 　創造というのは，みんなと同じことをやってもだめなことははっきりしています。みんながやっていないことをすることが大事でね。 　変なことをやってナンボ！でっせ。 　21世紀の多様性を生きるすべはまだ確立していないのです。 　どう生きるかは，これから模索するんですよ。 ○迷うよりハチャメチャにやれ！ 　パスカルは神様がいるかいないか分からんと考えていた。 　でも，いないと思っていいかげんなことをするよりも，神様はいると思っていろんなことをやったほうが損はないと考えたわけです。 　いると考えたほうが得をするわけです。確率的というよりも，期待値でしょうね。ですから「こういうことが起きるかな？いや起こらないかな？いやもしかす ると起こるかも？」なんて迷うのはムダですね。 　ハチャメチャにするほうがいいんです。 　AMIだってところによって違ったほうがいいですよ。 「先生の考えかたはいいですね。ぜひ学校挙げて先生の考えでやりましょう！」 というのは許せないですね。新しいことは一人でさせたほうかいい。広がる可能性を残しておけばいいんです。 ○21世紀に向かつて変人を作るのが教育の使命 　遠山さんていうのは，都市型でヘンな人ですね。僕と同じ完全核家族型でね。先生ギライ，教師ギライ。なのに教育運動をするというギャップがおもしろかっ たですね。AMIは面白かったですね。40年前のAMIは芸人ぞろいだった。変人ぞろいだった。ちよっと変人の割合が減っているじゃないですか？ 　21世紀に向かってヘンなことをする変人を作っていくのが教育の使命だと思います。変な人でいいんだが，変人に閉じこもっていてばダメで，社交性をもつ 変人になってほしいと思います。 ○「生きるカ」vs「学力」？ 「生きる力」vs「学カ」というふうに議論されていますが，そもそも学力についてあいまいですね。 　決まったやりかたを知っていて，それをどれだけ知っているかが学力という人たちもいるが，おかしいと思う。 　決まったやり方が分からんときに，何とかするのが本当の学力だと思う。 　生きる力についてもおかしい。学力とか生きる力がないほうがhappyなんですよ。だって学力とか生きる力とかなくてもみんな楽しく生きれる社会がいい に決まっているでしよ。 ○21世紀のモデルは沖縄 　21世紀は変人と共人の時代でず。 　沖縄の固有の文化を持ちながら，アメリカと日本の文化も認めてチャンプルーに食べてしまう沖縄を，21世紀のモデルにしましょう。時間がきたので，終わ ります。 ●アトラクション…高校生の瞳に感激！ 　講演の後は，県立南風原高校郷土芸能コースのみなさんによる「四つ竹」「上がり口調」「古武術」「谷茶前」「黒島口調」の演技を堪能しました。 　講演を終えられて会場の外で休まれていた森先生が，はつらつとした演技を見て，会場に戻り，最前列でじっと見ていたのが印象的でした。 　美しく，そして力強い高校生の演技と演奏，そして瞳の輝きに21世紀の希望が見えてきました。南風原高校の浜元先生と生徒のみなさん，ありがとうござい ました。 （※森先生の講演は，レポーターの記憶でまとめています。聞き違いがあるかもしれません。ご容赦下さい） （報告：和泉康彦・沖縄）

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鳥羽大会速報『しんじゅがい』に載った上野健爾先生の講演の感想から 上野先生の講演を聴くのは数学的なものも含めて、今回が５〜６回になると思うが、いつも新しい知見を得ることができ、（しかも、元気に なり）「自分もがんばらなければ」という気持ちにさせられます。 今回の講演でもOHP用紙を50枚以上も用意されるなど、いつも主題に対して、徹底的に調べ自分でとことん考えぬくという姿勢には、毎回頭の下がる思いが します。 教育の可能性について、江崎玲於奈氏の「優生学」と林竹二氏の教育実践を対比され、教育の限りない可能性と人間の発達可能性のすばらしさを話された部分 は、われわれ教師にとって「常に原点に立ち返ること−人間の発達可能性に信頼をおくこと」を示唆されていて、改めて深く考えさせられました。 今の子どもたち（小学生から高校生にいたるまで）は、われわれの時代とは比較にならないほど厳しい「競争」にさらされています。その中で「じっくり考える 時間」や「わかることの喜び」を奪われているのが現実です。「数学は、その成り立ちからして総合的なものである」「現場の先生方に自由にまかされた総合的 な学習の時間を子どもたちのために、今までとは少し違った観点から質の高いものにしていただきたい」という先生の熱い思い（＝「日本総合学習学会」を設立 した趣旨）をまっすぐに受け止めて、高校における「総合的な学習の時間」の教材編成に今後取り組みたいと思います。     記念講演（概要）　　『数学教室』2001.12月号より 総合学習を数学にどう生かすか　−数学教育から数学の教育へ− 数学と現実社会との関係をどう取り戻すか　なぜ数学を教えることが必要なのか 講師：上野健爾氏 ０　はじめに　　 　教育をめぐる状況は，年々悪くなっている。どうしていけばよいのだろうか。大学の数学科の授業で分かっていないことが自 分で判断できない大学生が出てきている。高校数学の学習指導要領改訂に関わった人の話を聞いてから，そのあり方に疑問を抱くようになってきた。 　教育に関する話はよくされるが，学力論争一つとってみても，きちんとした議論がなされず，深まっていないように思う。 １　新学習指導要領にどのように対応していくのか 　教科時数の減少や総合的な学習の時間の設定に対して，どのようにとらえていくのか。いろいろな考え方の相違はあるかも知 れないが，どのように作りどのように運用していくのかは学校や先生に任されているので，積極的に利用していった方がよいだろう。 　学習指導要領は，内容が極めてお粗末なので，それを元にして作られた教科書を批判することは簡単かも知れないが，子ともたちをどのようにして救っていく のか，時間数減少にどのように対応し，本来の教育をどのようにして取り戻していくのかが大切だろう。 ２　教育の可能性について 　教育国民会議座長の江崎玲於奈氏の持論は「優生学」であり，遺伝がほとんど全てを決定していくから，教育は機会不平等で よいとする考え方に立っている。これに対して，林竹二氏の人間の尊厳と教育の無限の可能性を信じて教育の荒廃に立ち向かった姿勢が，現在の我々教師にとっ て「責任をもつ者の責任」として問われているのではないか。 ３　世紀を生きる子どもたちに真の学カを 　21世紀は地球環境問題（二酸化炭素排出量による地球温暖化など）をはじめとして，多くの困難な問題が待ちかまえていま す。21世紀を生きる子どもたちが困難に立ち向かう勇気と未来への希望を育む確かな学力を持つために，朝来町の基礎学力をつけさせる実践なども参考にして いかなければならないのではないか。 　教育基本法は人格の完成を目指すという目標を掲げ，あらゆる機会にあらゆる場所において実現という方針を持ち，世界の平和と人類の福祉に貢献するという 高い理想を掲げていて，まさに世界の時代要請にふさわしい法律であり，これからますます大切になってくる。 ４　数学はなぜ嫌われるのか 　選別の手段として使われることが多かったことや，成績のよい子がいわゆる頭のよい子とされたり，テストのための勉強を強 制されたりしている。また，数学を面白いと思わない教師が増えていることなど，数学が嫌いになっていく原因が考えられる。 ５　総合的な学習の時間の活用 　総合的な学習の時間のねらいは （1）自ら課題を見つけ，自ら学び，自ら考え，主体的に判断し，よりよく問題を解決する資質や能力を育てること （2）学び方や考え方を身につけ，問題の解決や探究活動に主体的に創造的に取リ組む態度を育て，自己の生き方を考えることができるようにすること であると学習指導要領は述べている。これは，教育そのものの大切な目標であって，わざわざ特別な時間を作るところに現在の教育の混迷が現れている。総合的 な学習の時間は全てが各学校の自主的な取り組みに任されている。このことを積極的に利用すべきである。 　数学はその成り立ちからして総合的なものであり，数学そのものが独立した学問ではなくて，他の学問（物理や化学など）とも密接に結びついている。たとえ ぱ数学の対数と地震のマグニチユードは深い関係があるし，日常生活とも関連している。 　また，総合的学習の時間では体験重視がよく言われているが，過去の数学者たちの研究を追体験することも中学校や高校では重要な役割を果たしている。 　総合的な学習の時間は教科学習の結果を活用しながら，教科学習を学ぶ必然性を理解することのできる時間，学び方を学ぶ時間として捉えることができる。こ のように考えれば，総合的な学習の時間を教科学習の時間にあてて，学力向上をめざすよりは，生徒一人一人の学習意欲を高める時間に使う方が効果が大きいと 考えられる。 ６　最後に 　総合的な学習の時間があるから学力が落ちるのでもなく，総合的な学習の時間があるから学ぶ意欲が高まり，学力向上が図れ るわけでもない。この時間の活用の仕方でその効果は大きく変わる。日本の教育行政はバランス感覚を欠き，新学習指導要領にはたくさんの問題点がある。しか し日本の教育が基礎・基本を弱める方向にいっているが，指導要領のせいにしているだけでは子とものためにならない。学ぶことと自ら考えることは車の両輪で あり，基礎学力なくして自ら考えることは不可能であり，自ら考えることなくして知識は身につかない。大変な指導要領の中でも子どもたちに確かな学カを持た ぜるために現場の先生には頑張ってもらいたい。 （報告：野村　敏）

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48回大会報告

２１世紀への始動 −第48回全国研究大会を終えて− 2000年東京大会実行委員長　　小澤　健一　　　 ●研究・実践と運動の接点 　「学ぶ」とか「わかる」という言葉は、子どもや生徒のためにだけあるのではなく、教える私たちにとっても共通の概念だ。私たちはいつまでも学び続けるだ ろうし、わかる努力をし続けるに違いない。それが研究である。 　子どもが一人ぼっちで数学を身につけることはできないのと同じように、私たちも社会や自然とのゆたかな交流なしには研究を進めることはできない。とりわ け仲間の意見を聞き、他と自分との対比の中で成長し合うことがなにより効果的である。そんな仲間を増やし全体としての力をつけ、影響力を身につけて成果を 子どもや世に問う、それが運動であろう。 　だから、研究ぬきの運動も、運動ぬきの研究も私はあまり意義を感じない。 　今年も数教協の全国研究大会が開催された。 　毎年のことだが、数百人から1000人規模の集会を自前で準備・運営することは並大抵なことではない。２年以上も前から会場や宿舎そして日程のことを準 備し始め、数十人の実行委員が当日まで走り回る。これが48年間も繰り返されてきたことになる。いつも全国大会の度に思うのは、ここで流される汗こそ、ま さに研究・実践と運動の接着剤であろうということだ。 　今回の大会も、保育担当の人は始めから終わりまで参加者からお預かりした幼児たちの面倒を見続け、受付担当の人は固い椅子に座り続けた。速報、要綱、用 具、案内、会計、分科会、全体会、ハッピーアワー、その他諸々の担当者も研究と運動の接点で接着剤や潤滑油の役割を果たしてくれた。こうしたみんなの力が いつも全国研究大会の魅力の根元である。 ●世紀末を明るく 　 今回の研究大会は、大きな３つの背景・特徴をもっていた。   １．20世紀の最後の年の大会であること。   ２．幕張でICME9が開催され、それに引き続く大会であること。   ３．全国大会としては初めて東京都心で行う都市型大会であること。  　さらに、常任幹事会が関東地区と東京地区の応援を得て準備・運営にあたったということも特徴の一つ。具体的には次のような内容が盛り込まれた。    （ア）これまでの数学教育を総括し、21世紀を展望できるような会にしたいという考えのもとに、「流れをつかむ基礎風講座」「杉山日数教会 長、野崎数教協委員長、小澤による鼎談」を挙行。  （イ）国際的な数学教育との関連で私たちの研究・実践を位置づけたり考えたりする機会にしたいというねらいで「ハンガリーの数学教育研究者セ ンドレイ・ユリアナさんの記念講演」を実現。  （ウ）大妻女子大のご厚意で使用させてもらえた各会場の視聴覚機器を十分活用し、「分科会−授業まるみえ−」「数楽サロン」「パソコン数楽」 他で、ビジュアルな発表。 （エ）地域や家庭に根ざした運動の試みとして「親子で楽しむ算数・数学教室」の実施。 　鼎談はこの間数教協が忘れかけていたある種の緊張感と熱っぽさを与えてくれたと思う。センドレイさんは私たちの実践の普遍性を証明してくれ、「親子で学 ぶ」は新しい形の地元サービスとして大好評を得た。もちろん人によって評価の違いがあるにしても21世紀の数教協運動に向けて何種類かの花の種を蒔けたと 思う。飛躍や脱皮の出芽を感じた方が多いと思う。 　大会規模は、参加費登録者だけでも800人を超え、親子で楽しむ算数・数学教室の参加者も含めると900人に上った。当初はICME9のこともあるため 小集会になることも覚悟したが、それどころか最近まれな大集会になった。参加した方、参加できなかった方、後援団体、会場の大学関係の方、そして実行委員 の皆さんのご協力に深く感謝したい。　　　　　　　　　　　　　　　　 （東野高校）

記念講演I　「数学ゲームと数学的思考」 講師：センドレイ・ユリアンナ氏 ●センドレイさんを招待した経緯について 　2000年大会は，ICME9に引き続いて行うことが決まり，国際交流を深めるという目的で，講演の1つを外国の人にお願いしたらという話がでていた。 ICMEに参加する人にお願いすれぱ，交通費はクリアできるので，いい機会というわけである。 　一年ほど前，会議の後二次会でどんな人を呼ぶかという話題で，意見を交わしているうち，ハンガリーがよいのではないかということになった。理由は定かで ないが，ブタペストで開かれたICME6のときの印象がよいことが一番大きいだろう。 　サンチバニ氏を知っていたので，その方に手紙を出すことにした。サンチバニ氏は，ICMEの6と7で「パズルと数学」のコーディネータを努めた人で ICME7では特にポスター発表の中から選択して，野崎先生と碇先生に発表を依頼してきた経緯がある。サンチバ二氏からは忙しくて来れないが，責任をもっ て適当な人を推薦するという返事があり，ようやく2000年3月末にセンドレイ・ユリアンナさんに決定した。決定した後も，ハンガリーはまだe‐mail の事情が悪く（大学に行って担当者にお願いしないとメールを見たり出したりできない）レジメもぎりぎりでもらうことができた。 　センドレイ氏とは面識がなかったので，会うまではどんな方か心配でしたが，いい方に来ていただき，皆さんに心配をかけたぶん嬉しく思いました。 ●数学ゲームと数学的思考 　数学を教える理由として，（１）文化としての数学，（２）科学としての数学，（３）思考訓練のための数学，（４）道具としての数学なとがある。（３）に ついては，数学は思考訓練に役立つと認められてきたけれども，実際にはうまく機能しているとはいえない。 　数学ゲームにおける数学的思考は数学者の創造的な活動に類似している。また，数学ゲームから数学に興味を持った数学者も多い。数学ゲームや謎解きは興味 をそそり，解けたときに満足感や喜ぴがある。そういう活動を通して数学的な思考や，普段の生活に役立つ柔軟な思考が身についてゆく。 　このような話のもとに，具体例として，タングラム，魔法のカード（2進法による数当てゲーム），メビウスの帯やそれらをつなげたものの切断，不可能物 体，だまし絵（視覚のトリック）などが紹介された。 　言葉の壁があるとはいえ，具体例を通しての話だったので，興味をもって聞く人が多く，また，紹介されたものが数教協の人たちも取り上げているものが多 かったので共感したり，進む方向に自信を得た人もあった。 　注目したいことは，ここで紹介されたことは，数学の導入として使うのではなく，数学的な思考の訓練そのものであるという考え方である。質疑応答でタイミ ングよく，だまし絵について生徒は興味を示すがそこから先の数学はどうなるのか，という質問があった。 　だまし絵は生徒を引きつけずにはおかない。常識的に解釈することはできない。そこで何がおかしいのか生徒を挑発して自然で刺激的な方法で，空間を把握す る思考訓練が行われる。また説明をするときには，空間の概念や用語が必要となる、というような返答であった。このような数学の幅広い捉え方は，大いに参考 になる。 　ICMEが日本で開かれ，タイミングの良い企画であった。 （報告：野町直史）

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99琴平大会報告 「数学教室」１２月号から、好評だった銀林浩氏の記念講演の概要と、運営委員会事務局長の文章を紹介いたします。

記念講演「21世紀の数学に自由を」 　　　講師　銀林　浩（数学教育協議会前委員長、明治大学名誉教授） 0　今の時点 　今回の教育課程改訂作業が始まったのが1995年で，実施が2002年，あと3年足らずである。新指導要領も告示されて大方の関心はその実施の具体的方 策の方に移っているように見える。しかし，こと算数・数学で見る限り，内容3割削減のための「時間数合わせ」との酷評に見られる通り極めてできが悪い。他 教科では教科審答申にそったように複数の学年をまとめて提示されているのに，小学校では算数と理科だけが，中学校では数学だけが，相も変わらず学年ごとの 枠に縛られている。文部省の係官はその理由を「算数・数学は系統性が強いので」と弁明しているそうだが，これは何か大きな誤解をしているのではあるまい か？このために数学教育の自由が大幅に制限されているのに気づかないのであろうか？ 　それに，内容削減は小学校から中学校ヘ，中学校から高校へと上学年に先送りされただけだから，まるで一本道を引き伸ばしたように，基本構造には変わりが ない。これでは，数学の系統性はただの一本しかないと考えているのと同じである。それがまた教授の自由を一層狭めている。 1　数の大きさか操作の結合か 　今回の改訂で小学校の数計算の系統は極めて中途半端なものとなった。たとえば，小2での加減は2位数までで，3位数は3年に送られたし，小4の乗法は II，IIIXI，IIXIIまでで，IIIXII（3位数×2位数）はない。小5の除法はII，III÷I，IIまでに限定されている。これではまる で，整数計算の難易度は桁数の多少にあるといわんばかりである。 　一般の暗算なら確かに，桁数が増えると急速にむずかしさが増すだろうが，筆算は，位取り記数法に基づくからどの位も同じ処理をするので，桁数や数そのも のの大きさとはそれほど関係がないはずである。そこで大事なのは，むしろ素課程をどう組み合わせるかという「操作」の視点である。水道方式はその立場に 立ったからこそ，子どもの計算力の養成に成功したのではなかったか。 　整数の加減では，3位数までいって初めて連続繰り上がり繰り下がりやいわゆるオジイサン型（十の位が0）が出てきて操作の結合の型が出揃うのである。そ こまで扱って初めて単元（ユニット）が完結する。同様に，整数の乗法でも，IIIXIとIIXIIまではやるがIIIXIIを扱わない理由はない。除法で はIII÷I，III÷IIをやってIV÷Iをやらないのは理解しがたい。商がIII位数になるところまでやらないと，操作の視点からいえば完結しないの である。かつて遠山先生は『教師のための数学入門』（1958年）の中で，水道方式の考え方を見事な言葉で言い表しておられる。表題は「概念の立体化」で ある。数学の概念というものはただ並列してあるのではなく，上位概念と下位概念あるいは並列する概念などによって立体的に作られている。わかりやすい比喩 として，水道方式でいう水源地に当たるものはちょうど見晴らし台なんだと。見晴らし台に上がれば全体が一望の下に見渡せる，こういうものを押さえておけば 後のことは自然にできるようになる。今回の指導要領を，この比喩を使っていうと，もう少しやれば眺めの臭い見晴らし台に上がれるのに，その一歩手前でとど まってしまうのと同じではないか，といえる。 　同様に考えると，小数の概念や加減は小数第2位までいって初めて一般性を備えるようになることに注意しなければならない。 2　分数は多様だ 　今回の改訂では，分数の導入（3年→4年），同分母加減（4年→5年）異分母加減（5年→6年）はいずれも1年ずつ繰り上げられた。しかし，どのような 分数観からそのようにしたのかはよく判らない。4年でも一応「端数部分の大きさや等分してできる部分の大きさ」と意味づけしているから，依然として量分数 から分割分数へという方針なのかと思うが，一方「単位分数の幾つか分で表されること」（新設）とあるから，欧米流の分数に近づいたのかとも思う。 　分数観によって，分数の指導方針は大きく異なってくる。欧米流の分数は1／2分数の世界，1／3分数の世界，・・・の合併から成るので，それを言葉とと もに教え，小数第1位はそのうちの一部である1／10分数の世界にすぎない。かつて指導要領（1958年）では割合分数が主流だったこともある。一方，今 日の大部分の検定教科書や数教協ゼミナール48『分数指導の新しい方向を求めて』では，未測量の等分割操作から入ってすぐにそれを普遍単位に適用するいわ ゆる「分割量分数」の方針がとられている。また，数教協ゼミナール49『量分数理論の再構築』や鈴木一巳氏の「共測量による新しい分数の指導」（『数学教 室』99年3月号）のような，共測牲による分数指導もあり得る。 　このように，分数は多面的な意味を持っているから多様な指導方針があり得る。このうちどれが最も自然でわかりやすいかは，実践による対比によってしか決 定でさない。指導要領は指導法は規定しない（といっても完全には無理があるだろうが，なるべく）というのが当初の建て前であることをもう一度確認する必要 がある。 3　式の形に従属ずる中学代数 　目を中学校に転じてみよう。1995年，数教協の会員を中心とする26名の有志が中教審に提出した提言『開かれた多様な数学教育を目指して』でも指摘さ れていたことだが，中学校の代数教材は，1年は1元1次式（ax＋b），2年は多元1次式と単項式の乗除，3年になってやっと一般的な多項式と，式の形で 分けられている。このために，例えば，中lのl次方程式では，未知数を増やして連立にしたほうがずっと自然な間題（例えばツルカメ算）も扱えないか，ある いは無理して1元で立式しなければならない。それに，1年ではl次式しかないから次数一般を定義することはできず，そのため当の「1次式」の定義すら難渋 するありさまである。あえて善意に解釈すると「無味乾燥な文字式の形式性を抑制」しようとしたのかもしれないが，これはかえって形式性を強めてしまってい る。これは一種のパラドックスである。前記の提言にあるように学年枠を取り払ってしまえば，直ちに解決することである。また，代数の一番良いところはその 一般性にあるということを忘れてはいけない。 　これまで中学代数の一つの目標であった2次方程式の解の公式が高校に送られることになった。つまり因数分解できる問題だけを扱うことになる。ここには， 因数分解は易しいが解の公式は難しいという固定観念が現れている。因数分解はやるが一般的な解の公式を先送りするというのは，19世紀的な因数分解偏重主 義（当時，因数分解は受験の際のできるできないの差をつけるのに都合がよいとされた）を強めているとしかいいようがない，代数の旨みはその一般性にあると いうのに。 4　不毛な直観幾何・論証幾何への2分法 　中学の幾何を中１までは直観幾何，中2からは論証幾何というのは，前回の89年改訂以来強化されたものだが，これは小学校でろくに図形指導をやっていな かった戦前の教育課程の復活である。今では算数でもかなりの図形の素地を扱っている（今回「合同」や「対称」が除かれたが）ので，意味のないことである。 　また，円が中2に下ろされた代わりに相似が3年に上がり，しかも面積比・体積比はやはり高校の数Iへ送られた。中学幾何では何が大事かというと，相似と ピタゴラスの定理であろう。この2つさえあれば大低の問題は解決できる。それらがいずれも3年配当ということは，要するにそれらを使ってなにかをやるとい う意図がないものと思わなくてはならない，これでは「絵に描いた餅」に終わるだろう。相似だってピタゴラスだって，やりようによっては中１からでも扱え る。現に今まで縮図・拡大図として小6でも相似は扱えたし，面積比を使えばピタゴラスの定理も導かれる。これらは座標を使っても扱えるものだ。 　一般に幾何教材は代数教材以上に自由な多様な扱いようがある。皆さんは19世紀後半に当時万能と思われていた解析幾何（analytic geometory）に対して，総合幾何（synthetic geometry）という名で初等幾何の復権が図られたことがあるのをご存知だろうか？射影幾何などは，斉次座標を用いる解析的方法に対して，射影と切断 による総含的扱いなどが対置される。方べきや反転などもどちらのやり方でも扱うことができるのはよく知られている。解析幾何と総合幾何と2通りの流派があ ることは，幾何教育の道筋が一本とは限らないことをよく示しているように思うが，どうだろうか。 5　微積分だつていくつもの方法がある 　今回の教育課程では，次々と玉突きのように上の学年へ先送りされたわけだが，それによって微積分は数IIIのどん詰まりに追いやられた感がある。そこに は，文字と式，座標，いろいろな関数，そして数列や極限などを経て，それらの終着駅として微分積分があるとする，一本道のカリキュラム観が頑固に見て取れ る。 　戦前にはこれはもっと露骨であった。「微積分を学ぶには解析幾何が必要，その解析幾何には三角関数がいる，そのためには相似と円が，そしてその前提とし て三角形の合同や四角形の性質がなくてはならない」というルートが確立していて，微積分は旧制中学では学べず，旧制高校でやっと学べるのであった。こうし た硬直化した教材観は19世紀後半から今世紀へかけてのものである。 　しかし，微積分法が生まれたニュートンやライプニッツの時代に遡って考えてみよう。当時微分法は速度や接線を求めるための秘法であり，積分法は面積を求 めるための計算法であった。そのころは文字計算の体系も三角関数の公式も整備されていなかったし，おそらく分数計算だってそうだろう。極限だっていいい加 減だったことはよく知られている。そんなことは，微分積分法が成果を上げていることの障害とはなりえなかった。西洋では，小数だってネピアの対数の考えと 一緒だったことを思い起こそう。正負の数が市民権を得たのははるか後の19世紀のことだった。 　教育課程が発達すればするほど，微積分のような強力な数学が遠ざかっていくというのはおかしな話ではなかろうか？微分の典型例である速度や勾配の感覚は 人問誰でも持っている。それらについては，小学校での内包量の指導の発展にともなって教材化されているから，その内包量から微分への直接パスする（つなげ る）道も考えられてよいはずである。積分だって同様に小学校からの求積法の延長と見なされてよい。自由の森学園における増島氏らの実践は高校におけるもの ではあるが，こうした考え方の一例ともいえる。セルジュ・ラングの素敵な『さあ数学しよう〜ハイスクールでの対話〜』（岩波書店）は，円や球の求積を素材 に，立派に微積分の考え方を展開している。 　また，社会の量の分野では，流量（フロ一）と蓄積量（ストック）が出てくる。経済学の本では，まずこの2つの言葉の区別から始まる。国民所得，国内総生 産は1年間という期間によって決まる量（フロー）であるし，これに対して国富というものはそういうものが積み重なっている量（ストック）である。これは離 散的な差分と和分であり，そこから連続的な微分と積分へつなげるやり方だって可能であろう。微積分へ至る道だって一本道とは限らないのだ。 6　数学教育に自由を 　「数学の本質はその自由性にある」という名言を述べたのは，集合論の創始者ゲオルグ・カントルであった。つづいて彼は「数学はその自由な意志によって概 念や公埋を構成する」と述べているが，彼の集合論はまさにそのようなものであった。20世紀の数学はこのカントルの集合概念の上に築かれたものだし，彼の この言葉を歴史の上で実証するものでもある。 　数学が自由であるのならば，数学教育もまた自由であって然るべきものであろう。数学の一つの概念へ至る道も一通りとは限らないし，カリキュラムも単線と は限らない。山頂へ至る登山道はいくつもありうるのである。新しい登山道を開拓することは教育課程の進歩なのではないか。21世紀にこの方向に向かないな らば，19世紀に逆戻りしてしまうだろう。 ------------------------------------------------------------ 　以上が，琴平大会の銀林先生の講演の概略です。参加者からは，“扱いが難しいからと先送りする発想は一本道のカリキュラム観につながる，アレをするには コレをという発想につながる，という先生の指摘はズシンとこたえました。今までの教材を見直す一つの視点をいただきました。”“新指導要領の内容は見晴ら し台への途中で止めてしまっているというお話，考えさせられました。自分の実践では何とか工夫して見晴らし台まで是非とも行きたい。”など，多くの感想が 間かれました。銀林先生ありがとうございました。（報告・中川鈴恵）

’99琴平大会報告大会運営を振り返つて 　　　　　　’99全国大会運営事務局長中山祥一（岡山） 　今回の大会では基礎講座，分科会1，分科会2，数楽サロン，模擬授業の運営の事務局を担当しました。大会まで，2年前から，企画や全 国の方との連絡，分科会の運営委員の委嘱などの仕事にかかわりました。 　年が明けて，大会が始まるまでがなかなか忙しく，文書づくりや依頼文書などの発送や受付に追われました。原稿の到着が遅かったり，運営委員の調整に戸 惑ったりして，いらいらしたこともありましたが，全国の方や中国地区や真庭サークルの仲間の協力などで，7月末までには分科会の準備を終え，大会に参加す ることができました。大 　会の当日は，分科会の運営委員の補充や運営会議などの仕事の他，分科会が始まると，分科会のようすを見てまわったり，分科会で足りない用具を準備した り，ホワイトボードに誤って油性マジックで書いたものを自分のヘアトニックで落としたりする珍事などもありました。分科会が終わると，運営の本部に帰って くる報告書を受け取ったり，連絡をしたりなどの事務をしました。 　会場をまわってみて，まず，感心したのは，全国の発表者の人がたくさんの教具やレポートを用意してくださって，分科会を盛り上げてくださっていたことで した。そして，用具係の方が，分科会に必要なものをほぼ完璧に用意してくださったことです。さすがに「手弁当」の数教協の大会ならではの光景でした。 　はじめて，大会の裏方として分科会の運営にかかわってみて，自由な雰囲気の大会をする裏で苦労している人がいること、また，「手弁当」の大会を続けるた めには，会員の支えや協カがこれまで以上に必要なことも感じました。 　最後に，この紙面をお借りして，こちらの要請に応えて基礎講座・サークル発表・分科会・模擬授業・数楽サロンなどについて準備や発表をして下さった全国 の方々，分科会運営に携わって下さった中国地区協の方々，大会準備に尽力された四国地区協の方々にお礼と感謝を申し上げます。

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